WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 32 |

Достаточно просто приближенные решения разностных уравнений в дискретные моменты времени могут быть получены при =1, x(tn) = xn. В этом случае нелинейное уравнение (2.52) принимает форму уравнения в конечных разностях первого порядка xn+1=xn+fn(xn)t+n(xn)n, x0=x(0) где n - дискретный белый шум, n(xn)=(x,tn)t, fn(xn)=f(x,tn).

Для наиболее распространенного в практических расчетах класса марковских процессов полагают n(xn)=(tn)t=n. В этом случае используемые далее в задачах анализа и синтеза нелинейное или линейное уравнение одномерного марковского процесса в дискретном времени могут быть представлены соответственно в форме xn+1=xn+t fn(xn)+nn, x0=x(0) (2.53) или xn+1=xn+t fnxn+nn, x0=x(0) (2.54) Для нелинейной дискретной системы многомерный марковский процесс на основании (2.50) записывается в векторной форме xn+1=xn+t fn(xn)+nn, x0=x(0) где xn и fn() – r-мерные векторы соответственно марковского процесса и вектор-функции; n - диагональная переходная матрица воздействия размера (rr) с компонентами nii; n - r-мерный вектор дискретного белого шума, корреляционная матрица которого равна M{nl}=Qnnl, nl - символ Кронекера: nl=1 при n=l и nl=0 при nl;

матрица размера (rr) Qn равна: Qn=N,t=nt/t, где N,t - неотрицательная диагональная матрица спектральных плотностей вектора белых шумов t.

В случае линейных дискретных систем, описываемых многомерным гауссовским марковским процессом, рекуррентное уравнение записывается в векторной форме xn+1=nxn+nn, x0=x(0) (2.55) где n=I+tFn - переходная матрица состояния размера (rr), I - единичная матрица; Fn - нестационарная матрица дискретных значений компонент fjn уравнений состояния (2.48).

Полученные при =1 разностные уравнения, как уже было отмечено ранее, являются приближенными. В связи с этим необходимо оценить погрешность при переходе от стохастических дифференциальных уравнений к рекуррентным уравнениям с дискретным временем. Среднеквадратическая погрешность в результате этого перехода в интервале (0,T) на основании данных работы [10] определяется формулой 1/ T t M{[ ft (x)t (x)]2 + [Lt (t (x))]2 | x(o)}dt, (2.56) 1 где оператор Lt = () + ft (x) () + t2(x) ().

t x xС помощью неравенства (2.56) можно выбрать шаг дискретизации t. Например, уравнению (2.46) соответствует разностное уравнение одномерного гауссовского марковского процесса xn+1=nxn+nn, x0=x(0), (2.57) где n=1-t, n=t.

1/ 2 Имеем ft (x) = -x, (x) = N, отсюда t(N T )1/ 2.

t 2.4. СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ Исследования динамики систем, моделями сигналов в которых служат точечные процессы (случайные потоки), получили в последнее время развитие в связи с освоением для передачи информации наиболее коротковолнового диапазона электромагнитного излучения (оптического, рентгеновского), внедрением информационно-управляющих систем, функционирующих на основе использования современных компьютерных технологий, при анализе отказов в сложных динамических системах, изучении транспортных потоков и т.д.

2.4.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ Случайный поток N( ) = {Nt0,t0 t} образуют неразличимые (одинаковые) точки (события), выпавшие по случайным законам на временном интервале (t0,t). Реализацию случайного потока можно представить в виде неубывающей ступенчатой функции Nt0, принимающей целые неотрицательные значения, моменты роста (смены состояния) которой являются случайными (Рис. 2.2).

Величина ступенек также является, вообще говоря, случайной. В дальнейшем будут рассматриваться ординарные потоки, т.е. потоки исключающие взаимное наложение точек. Поэтому величина ступеньки реализации случайного потока будет всегда равняться единице. Еще одним видом реализации случайного потока является последовательность дельта-импульсов (случайный импульсный поток), положение которых совпадает с координатами появления точек.

Nt tt0 t Рис. 2.2. Реализация случайного точечного процесса.

Для описания свойств случайных потоков удобно пользоваться производящей функцией [11]. Зададимся вероятностью появлений n точек на интервале (0,T)-Pn(T). Для этой вероятности справедливы условия неотрицательности Pn(T)0 и нормировки P (T ) = 1.

n n=Производящая функция (пф) определяется как разложение в ряд по степеням вспомогательного параметра z (z,T ) = Pn(T )zn. (2.58) n=Соотношение (2.58) соответствует среднему значению величины zn, поэтому формально его можно представить в виде (z,T)=M{zn}.

Коэффициенты ряда (2.58) равняются вероятности появления на интервале (0, Т) точек и определяются из соотношения n 1 d (z,T ) Pn(T ) =. (2.59) n! z = dzn Формальными операциями над пф, например, дифференцированием по z и приравниванием оснований различных степеней параметра z нулю или единицы можно получить другие полезные интегральные характеристики. Например, систему коэффициентов, называемых факториальными моментами n d (z,T ) Fn (T ) =. (2.60) z = dzn Разложение пф в ряд относительно этих коэффициентов имеет вид Fn(T ) (z,T ) = 1+ (z -1)n.

n! n=С помощью факториальных моментов вычислим наиболее существенные интегральные характеристики (статистики отсчетов) – математическое ожидание mN(Т) и дисперсию DN(Т) числа появления точек на интервале (0,Т). Указанные статистики по определению равны mN (T ) = M{n} = (2.61) nP (T ), n n= DN (T ) = M{[n - mN (T )]2} = n Pn (T ) - nP (T ). (2.62) n n=0 n=Получим ряд промежуточных результатов из формулы (2.58) d(z,T ) = (2.63) nP (T ), n dz z =n= d (z,T ) = n Pn(T ) - nP (T ). (2.64) n z = dzn=0 n=С другой стороны, используя (2.60), имеем d(z,T ) d (z,T ) = F1(T ), = F2(T ) dz z = 1 z = dzС учетом (2.63) и (2.64) на основании соотношений для рассматриваемых статистик (2.61) и (2.62) окончательно получаем mN(T)=F1(T), (2.65) DN(T)=F1(T)+F2(T)-F12(T) (2.66) Для описания модулированных потоков можно получить еще одну полезную систему коэффициентов Xn(Т):

n d ln(z,T ) Xn (T ) =, z = dzn (2.67) Xn(T ) (z,T ) = exp (zn -1).

n! n=Математическое ожидание и дисперсия числа появления точек на интервале (0,Т) соответственно равны mN(T)=X1(T), DN(t)=X1(T)+X2(T).

Коэффициент Х2(Т) определяет дополнительную по сравнению с дисперсией пуассоновского процесса – Х1(Т) составляющую дисперсии, обусловленную модулирующим сигналом. Такой процесс называется двойным стохастическим пуассоновским процессом или процессом с двойной случайностью (одна случайность порождена пуассоновским процессом, другая – модулирующим сигналом).

2.4.2. ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИИ ПЛОТНОСТИ Наиболее полное описание случайных потоков можно получить с помощью производящего функционала (ПФ), который имеет вид [11] n L[u,T ] = M (2.68) [1+ u(ti ), i=где u(t) - вспомогательная действительная функция. Усреднение производится по числу n и моментам появления точек ti на рассматриваемом интервале (0, Т).

Как и в случае характеристического функционала ПФ выражается через локальные характеристики – свои системы моментных fn() и корреляционных gn() функций, которые назовем соответственно функциями плотности и корреляции плотности n-ого порядка. Функция плотности n-ого порядка fn(t1,...,tn) характеризует совместную вероятность появления n точек в каждом из неперекрывающихся подынтервалов ti безоотносительно к появлению дополнительного числа точек на остальных t - подынтервалах интервала (0,Т):

pn=fn(t1,...,tn)t1...ti...tn+0(t), где t = max ti, i =1, n, lim 0(t) / t = 0.

tФункция первого порядка f1(t) имеет особое значение и называется интенсивностью потока (ИП). Наряду с функцией плотности для описания потока вводят другую систему функций – корреляционных или, как их будем по аналогии называть, функции корреляции плотности gn(t1,...,tn). Естественно допустить, например, что функции корреляции плотности второго порядка выражаются через функции плотности следующим образом:

g2(t1,t2)=f2(t1,t2)-f1(t1)f1(t2).

Функция f2(t1,t2) характеризует совместную вероятность появлений точек вблизи моментов времени t1 и t2 и при разнесении аргументов стремится к произведению f1(t1)f1(t2), каждый из сомножителей которого характеризует вероятность независимых событий. Следовательно, функция g2(t1,t2) при разнесении аргументов стремится к нулю, что означает ослабление корреляционных связей.

Соотношения, связывающие функции плотности и функции корреляции плотности любого порядка, можно получить на основании ПФ. Последний выражается через указанные функции в форме функциональных рядов T T n L[u,T ] =1+ fn(t1,...,tn) u(t )dt1...dtn, (2.69) i...

n! n=1 i=0 T T n L[u,T ] = exp gn(t1,...,tn), u(t )dt1...dtn (2.70) i...

i=n=1n! 0 где соответствующие функции определяются путем функционального дифференцирования n L[u,T ] fn(t1,...,tn) =, u(t1)...u(ti )...u(tn) u(ti ) = n ln L[u,T ] gn(t1,...,tn) =. (2.71) u(t1)...u(ti )...u(tn) u(ti ) = Сравнивая выражения (2.69) и (2.70), можно получить аналогичные по форме, что для моментных и корреляционных функций, соотношения, связывающие f() и g(), f1(t) = g1(t);

f2(t1,t2) = g2(t1,t2) + g1(t1)g1(t2);

f3(t1,t2,t3) = g3(t1,t2,t3) + g1(t1)g2(t2,t3) + g1(t2)g2(t1,t3) + (2.72) + g1(t3)g2(t1,t2) + g1(t1)g1(t2)g1(t3);

............................................

g1(t) = f1(t);

g2(t1,t2) = f2(t1,t2) - f1(t1) f1(t2);

g3(t1,t2,t3) = f3(t1,t2,t3) - f1(t1) f2(t2,t3) - f1(t2) f2(t1,t3) - (2.73) - f1(t3) f2(t1,t2) + 2 f1(t1) f1(t2) f1(t3);

............................................

Обратим внимание на глубокую аналогию между полученными соотношениями и выражениями (1.9) и (1.10). Эта аналогия прослеживается в форме записи ХФ и ПФ, что указывает на внутреннее единство объединенной теории случайных процессов и потоков.

Наряду с безусловными функциями важную роль играют условные функции плотности, в частности, для случайных потоков со статистически зависимыми моментами появления точек. Обозначим координаты появления точек для первого подмножества Tn множества T через t1,...,tn для второго Tk через t1,...,tk, Tk T /Tn.

Условные функции определяются через безусловные из следующих соотношений f (tk,...,t1,tn,...,t1) f (tk,...,t1 | tn,...,t1) =. (2.74) f (tn,...,t1) Очевидно, что эти условные функции характеризуют вероятность появления точек вблизи моментов времени t1,...,tk при условии появления точек в предшествующие моменты времени t1,...,tn.

В практических задачах, как и в теории случайных процессов, важную роль играют стационарные потоки. Стационарными называются потоки, функции плотности и корреляции плотности которых не меняются при произвольном в пределах области задания потока сдвиге аргумента. В этом случае ИП оказывается постоянной величиной, а остальные функции плотности зависят только от разностей аргументов f1(t) = f1 = const;

f2(t1,t2) = f2(t2 - t1);

(2.75)..............

fn(t1,...,tn) = fn(t2 - t1,...,tn - t1);

g1(t) = g1 = const;

g2(t1,t2) = g2(t2 - t1);

(2.76)..............

gn(t1,...,tn) = gn(t2 - t1,...,tn - t1).

На интервале задания стационарного потока (0,Т) выделим подынтервал (a,b)(0,Т). Сдвинем в пределах этого интервала подынтервал (a,b) на произвольную величину. Тогда для ранее рассмотренных интегральных характеристик имеют место следующие соотношения Pn(a,b)=Pn(a+,b+)=Pn(a-b), Fn(a,b)=Fn(a-b), Xn(a,b)=Xn(a-b).

В частности, для характеристики Pn(a,b) это означает, что в случае стационарного точечного процесса вероятность появления точек в течение заданного отрезка времени a-b зависит от величины этого отрезка и не зависит от его расположения на оси времени.

По аналогии со случайными процессами условия (2.75) и (2.76) трактуются как стационарность в строгом смысле. Под стационарностью в широком смысле понимается выполнение только первых двух равенств (2.75) и (2.76). Таким образом, из стационарности в строгом смысле всегда следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Следующим свойством случайных потоков является ординарность. Поток называется ординарным, если вероятность появления более одной точки на любом малом интервале времени (t,t+t) есть величина более высокого порядка малости, чем t. Для такого типа потоков выполняются соотношения t t P{(N0+t - N0) 2} = 0(t), (2.77) t t P{(N0+t - N0) =1} = f1(t)t + 0(t), (2.78) t t P{(N0+t - N0) = 0} = 1- f1(t)t + 0(t).) (2.79) Потоки, для которых это условие не выполняется, называются потоками кратных точек. Потоки, у которых вероятность появления n точек выражается через произведения вероятностей появления ni точек, появившихся в непересекающихся подынтервалах (ai,bi), M T = (a bi ), i =1, M называются потоками с независимыми i i=приращениями или потоками без последствия ) Ввиду зависимости функции плотности первого порядка от времени ее локальные свойства отражают мгновенное поведение интенсивности, которое следует из формулы (2.78) t t f1(t) = lim P{(N0+t - N0 ) = 1}/ t tM Pn1 +...+ni +...+nM (T ) = (2.80) P (ai,bi ).

ni n=Соотношение (2.80) выражает тот факт, что вероятность появления ni точек в подынтервале (aibi) не зависит от того, сколько точек появилось вне этого подынтервала.

2.4.3. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС Пуассоновский точечный процесс играет фундаментальную роль в теории случайных потоков и является основополагающим для формирования других более сложных точечных процессов. Он часто используется в качестве модели физических процессов, в различных областях естественных наук и техники. Важная роль его заключается также и в том, что суперпозиция большого числа независимых разных потоков малой интенсивности образует поток, который близок к пуассоновскому. Пуассоновским процессом называется случайный поток, у которого функции корреляции плотности второго и более высокого порядка для любых t равны нулю gn(t1,...,tn)=0, n2.

Обозначим единственную характеристику отличную от нуля - интенсивность потока (ИП) g1(t)=f1(t)=(t). На основании (2.67) и (2.70) выражения для производящих функций и функционала принимают вид T T (z,T ) = exp(z -1) ( )d X1(T ) = ( )d, (2.81), 0 T L[u,T ] = exp ( )u( )d. (2.82) Используя (2.59) и (2.81) после n-кратного дифференцирования (z,T) по z получим известную формулу Пуассона n T ( )d T Pn (T ) = exp- ( )d.

n! Функцию плотности fn(t1,...,tn) можно получить на основании (2.71) и (2.82) путем n-кратного функционального дифференцирования ПФ по u(). Она равна произведению ИП с разными аргументами n n fn(t1,...,tn) = f1(ti ) = (ti ).

i=1 i=Производящий функционал, определенный на сумме всех M непересекающихся подынтервалов i=ai-bi, T = равен i i=произведению отдельных ПФ для каждого из подынтервалов:

M M L[u,T] = exp L[u, ].

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.