WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 32 |

По начальной плотности p(x1) и переходным вероятностям (xi|xi-1) можно определить многомерную плотность вероятности n вектора {x1,..., xn}: p(x1,..., xn) = p(x1) (xi | xi-1), выражающую i=свойства факторизации плотности вероятностей марковского непрерывного процесса с дискретным временем.

2.3.4. ДИСКРЕТНЫЙ ПРОЦЕСС С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ Допустим, что процесс принимает конечные значения из дискретного набора x1,...,xi,...,xj,...,xk,...xм множества Х, но смена этих состояний происходит не в фиксированные, как в марковской цепи, а в произвольные моменты времени. Вероятности состояний P{(t)=xj}=pj(t) удовлетворяют условиям неотрицательности pj(t)0 и M нормировки p (t) = 1 для любых t (0t). Марковское свойство j j =для рассматриваемого процесса записывается в виде P{(t)=xi|(s)=xj,...(v)=xk}=P{(t)=xi|(s)=xj} при любых t>s>...>v.

Переходные вероятности P{(t)=xi|(s)=xj}=ji(s,t), i, j = 1, M удовлетворяют условию неотрицательности ji(s,t)0 и нормировки M (s,t) = 1. Уравнение Колмогорова-Чепмена в этом случае ji j =принимает вид M (l,t) = (2.24) (l, s) (s,t).

ji jk ki k =Переходные вероятности (2.24) и вектор начальных условий pi(0)=P{(0)=xi}, i, j = 1, M полностью определяют рассматриваемый M марковский процесс pi (t) = p (0) (0,t).

j ji j =Допустим далее, что для переходных вероятностей можно записать 1- q (t - s) + 0(t - s), j = i, jj (s,t) = (2.25) ji q (t - s) + 0(t - s), j i, ji где (t-s) - малый временный интервал, а 0(t-s) обозначает члены выше первого порядка малости относительно (t-s). Как следует из соотношений (2.25), переход из одного состояния в любое другое возможное состояние зависит от рассматриваемого момента времени и пропорционален малому интервалу времени (t-s). Кроме того, при t=s система достоверно (с вероятностью равной единице) находится в состоянии j.

Функции qji(t), qjj(t) неотрицательны. После подстановки переходных вероятностей (2.25) в уравнение (2.24), полагая (t-s)=t0, получаем систему линейных дифференциальных уравнений M d (s,t) ji = -qii (t) (s,t) + (s,t)qki (t), i,j = 1,M. (2.26) ji jk dt k =k i Умножив обе части уравнения (2.26) на p(s), а затем просуммировав по всем значениям j, получим систему дифференциальных уравнений M dpi (t) = qii (t) pi (t) + pk (t)qki (t), i = 1,M, (2.26) dt k =k i определяющих эволюцию безусловных вероятностей состояний дискретного случайного процесса.

Дискретные марковские процессы широко применяются в практических задачах, в частности, при описании моделей случайных потоков, например, пуассоновского процесса. Рассмотрим однородный дискретный процесс, для которого qji являются постоянными величинами. Пуассоновский процесс описывается t неубывающей целочисленной функцией N0 = {N,0 t} при условии j=i-1 с постоянной интенсивностью изменения состояний qii=qji=>0 Соотношения (2.25) для рассматриваемого случая при s-t=t принимает вид t t P{No+t = i | N0 = i} = 1-t + 0(t), t +t t (t) P{N = i | N0 = i -1} =t + 0(t), ji o t +t t P{N > i | N0 = i} = 0(t).

o Последнее равенство означает, что вероятность смены состояния более одного раза является малой величиной порядка 0(t). Оно выражает свойство ординарности. Для указанного процесса отличны от нуля только два параметра qii и qji. Поэтому уравнения (2.26) записываются в виде dpi (t) = -pi (t)dt +pi-1(t)dt, dp0(t) = -p0(t)dt.

Решение этих дифференциальных уравнений при начальных 1, i = 0, условиях pi (0) = приводит к системе рекуррентных 0, i = 1,2,...

соотношений t pi (t) = exp{-t} i-exp{z}p (z)dz, i 1, (2.27) p0(t) = exp{-t}, (2.28) позволяющих последовательно для i=1,2,... находить вероятности pi(t). B результате приходим к распределению Пуассона t pi (t) = P{N0 = i} = (t)i exp{-t}/ i!.

Отметим, что p0(t) является вероятностью отсутствия смены состояния (появления точки) на интервале (0,t). При малом t вероятность (2.28) можно представить в виде разложения в ряд:

p0(t) = 1-t + t2 -... = 1-t + 0(t). (2.29) Подставим (2.29) в (2.27) при i=1 и после замены t на t получим p1(t)=t exp{-t} При малом t эту вероятность появления точки в интервале t также представим в виде разложения в ряд p1(t) =t - t2 -... =t + 0(t).

Отсюда следует = lim p1(t) / t.

t 2.3.5. НЕПРЕРЫВНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС Процессы этого типа протекают во времени непрерывно и имеют непрерывные реализации. Марковское свойство (2.22) для этих процессов означает, что для последовательных моментов времени t1

Безусловная плотность вероятностей равна p(xn,tn;...;x1,t1)=(xn,tn|xn-1,tn-1)p(xn-1,tn-1;...;x1,t1) (2.30) Используя последовательно соотношение (2.30), можно получить условие факторизации многомерной плотности вероятностей n p(xn,tn;...; x1,t1) = p(x1,t1) (xi,ti | xi-1,ti-1). (2.31) i=Полученное выражение определяет многомерную плотность вероятностей марковского процесса через одномерную начальную плотность и произведения плотностей вероятностей перехода. Для простоты последующих расчетов в выражении для плотности перехода вместо произвольных моментов времени tn,tn-1,...

используем моменты t>t>t0. Указанные плотности удовлетворяют условию неотрицательности (x,t|x0,t0)0 и нормировки (x,t | x0,t0)dx = 1. Уравнение Колмогорова-Чепмена имеет вид (x,t | x0,t0) = (x,t | x,t ) (x,t | x0,t0 |)dx. (2.32) Важное место среди марковских процессов занимают диффузионные процессы, имеющие непрерывные с вероятностью единица реализации. Статистические свойства диффузионного марковского процесса характеризуются коэффициентами сноса K1(x,t) и диффузии K2(x,t), которые соответственно равны x(t + t) - x(t) K1(x,t) = lim M x(t), (2.33) tt [x(t + t) - x(t)] K2(x,t) = lim M x(t). (2.34) t t Коэффициенты более высокого порядка [x(t + t) - x(t)]n Kn (x,t) = lim M x(t) (2.35) t t полагаем равными нулю. Символ M{} обозначает условные моменты приращения x(t) за время t. Коэффициенты K1 и Kхарактеризуют в первом случае среднее значение скорости изменения, во втором – скорость изменения дисперсии приращения марковского процесса в момент времени t.

Предположим, что плотность вероятностей перехода можно представить в виде разложения в ряд Тейлора по степеням (x-x0):

(x - x0)n n (x,t | x0,t0) (x,t | x,t ) = (x,t | x0,t0) +. (2.36) n n! xo k =После подстановки соотношения (2.36) в (2.32), интегрирования, а затем предельного перехода (t-t0)0 с учетом (2.33) и (2.34), а также Kn=0, n3 получаем прямое уравнение Колмогорова (x,t | x0,t0) = - {K1(x,t) (x,t | x0,t0)}+ t x 1 + {K2(x,t) (x,t | x0,t0)} xили (x,t | x0,t0) = L{ (x,t | x0,t0)}, (2.37) t 1 где L{} = - K1(x,t){}+ K2(x,t){} - дифференциальный x xоператор.

Получено дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа марковского диффузионного процесса. Это уравнение также называют уравнением ФоккераПланка-Колмогорова. Условие (2.35) характеризует быстроту уменьшения вероятности больших отклонений с уменьшением t.

Поэтому среднее приращение диффузионного процесса за время t имеет порядок t, хотя допускаются более быстрые изменения самого процесса x(t) в противоположных направлениях.

Умножив обе части уравнения (2.37) на плотность вероятностей p(x0,t0) и проинтегрировав затем по x0, получаем уравнение ФПК для безусловной плотности вероятностей p(x,t) = L{p(x,t)}. (2.38) t Для решения уравнения (2.38) необходимо задать начальную плотность вероятностей p(x0,t0). В частности, если все реализации процесса начинаются из точки x0 в момент времени t0, то p(x0,t0)=(x-x0). Для однородного диффузионного процесса, когда переходная плотность вероятностей зависит от разностей координат (x-x0) и временных параметров (t-t0) коэффициенты K1 и Kоказываются постоянными величинами.

На примере ранее рассмотренного винеровского процесса покажем, что он относится к марковским процессам. Для трех моментов времени t1, t2 и t3 на основании статической независимости приращения винеровского процесса на неперекрывающихся интервалах с учетом уравнения (2.5) можно записать t2 t3 tB(t3) = ( )d + ( )d = B(t2) + ( )d, t3 > t2 > t1 > 0.

0 t2 tt1 t2 tНо B(t2) = ( )d + ( )d = B(1) + ( )d.

0 t1 tТаким образом, при фиксированном B(t2) будущее значение B(t3) не зависит от прошлого значения B(t1), что подтверждает марковское свойство винеровского процесса.

Нетрудно получить коэффициенты сноса и диффузии для винеровского процесса t K1(x,t) = lim M{( )}d = 0, t t t -t t K2(x,t) = lim M{(1)(2)}d1d2 = t t t -t N t = lim d = N.

t t t -t N p(x,t) 2 p(x,t) и уравнение ФПК принимает вид =.

t xВвиду того, что коэффициент сноса равен нулю, такой процесс называется чисто диффузионным процессом.

Рассмотрим необходимое в дальнейшем приращение плотности вероятности перехода на малом интервале времени (t,t+t).

Обозначим процесс для двух близкоотстоящих моментов времени t и t+t через xt и xt+t. При таком разбиении будем считать процесс xt постоянным на этом интервале и равным своему значению в начале интервала. Это практически выполняется, если принять t<

Для малых интервалов t имеет место приближенное равенство (xt +t | xt ) t =, где t - приращение плотности за время t.

t t Поэтому выражение (2.39) при пренебрежении членами второго порядка малости и выше 0(t) переписывается в форме t=tL{(xt+t-xt)}. При малом t плотность вероятностей перехода для момента времени t равна начальной плотности (xt+t-xt) в момент времени t и приращению за время t (xt+t|xt)(xt+t-xt)+t L{(xt+t-xt)} (2.40) 2.3.6. МНОГОМЕРНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС Обобщим полученные результаты на многомерный марковский диффузионный процесс x(t)=||x1(t)...xr(t)||T, где {xi,i =1, r} компоненты вектора x(t).

Марковское свойство для рассматриваемого случая записывается в форме P{1(tn) x1,...,r (tn) xr | 1(tn-1),...,1(t1);...;r (tn-1),...,r (t1)} = = P{1(tn) x1,...,r (tn) xr | 1(tn-1),...,r (tn-1)}.

Многомерное уравнение ФПК имеет вид p(x,t) = Lr{p(x,t)}, (2.41) t где многомерный дифференциальный оператор r r 1 Lr{} = - K1i (x,t){}+ K2ij (x,t){}, xi 2 xix i=1 i, j =1 j xi (t + t) - xi (t) K1i (x,t) = lim M x(t), tt [xi (t + t) - xi (t)][x (t + t) - x (t)] j j K2ij (x,t) = lim M x(t), i,j = 1,r.

tt Отметим, что каждая из компонент многомерного процесса не является одномерным марковским процессом, поскольку зависит от всех остальных или части компонент и поэтому не удовлетворяет марковскому свойству. Только в одном частном случае векторного марковского процесса, представляющего собой набор независимых процессов, рассматриваемые компоненты являются одномерными марковскими процессами.

2.3.7. АППРОКСИМАЦИЯ РЕАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ Как уже отмечалось, марковские модели процессов широко используются при анализе и синтезе систем управления и связи, в различных задачах информационного обеспечения, статистической обработки результатов наблюдения и т.д. Свойство марковости является определенным ограничением на используемые реальные сигналы, но вполне достаточным для разработки физически содержательных методов анализа и оптимального синтеза. С одной стороны, это свойство не сужает существенно область применения оптимальных процедур обработки информации, с другой - не усложняет экспоненциально с ростом объема выборки (отсчетов) вычислительный процесс. Несомненным достоинством марковских процессов является возможность использования в расчетной практике рекурректных (многошаговых) процедур. Применение этих процедур в решаемых на ЭВМ задачах анализа и синтеза существенно упрощает реализацию алгоритмов функционирования устройств информационных систем, так как используются последние результаты наблюдений и некоторые статистики от всех предшествующих наблюдений. Это обеспечивается упомянутым ранее свойством факторизации многомерной вероятности марковского процесса: представлением указанной вероятности (или плотности вероятностей) в виде произведения одномерной начальной вероятности на последовательность условных вероятностей перехода.

При составлении модели динамических систем используется информационный подход, основанный на преобразовании и оценке сигналов в соответствии с требуемыми алгоритмами обработки и управления. Динамика поведения этих моделей описывается с помощью переменных состояния (фазовых координат системы) и дифференциальных уравнений первого порядка относительно этих переменных. Очевидно, любая сложная динамическая система является многомерной и ее состояние характеризуется совокупностью переменных состояния системы, объединенных в вектор состояния. Учитывая, что, в основном, реальная динамическая система функционирует под воздействием случайных управляющих сигналов, помех и шумов, состояние системы в любой момент времени является случайным.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.