WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 32 |

При определении статистических характеристик броуновского движения необходимо исходить из того, что в реальном физическом эксперименте время корреляции процесса (t) конечно и, грубо говоря, не превосходит среднего времени между столкновениями 0.

Далее необходимо иметь ввиду, что реальные физические приборы, осуществляющие наблюдения и измерения, имеют конечное время разрешения t. В течение этого времени при большой концентрации молекул частица испытывает большое число столкновений, вследствие чего интервал измерения оказывается много больше интервала корреляции: t>>0. В связи с изложенным на основании центральной предельной теоремы процесс (t) приближенно можно представить гауссовским процессом с математическим ожиданием равным нулю m=M{(t)}=и дельтаобразной корреляционной функцией k2 (t1,t2) = M{(t1)(t2)}= N (t2 - t1), где F () = N - спектральная плотность этого процесса, определяется из формулы (1.17), (t2-t1) - дельта-функция (Приложение 1).

Спектральная плотность его постоянна во всем диапазоне изменения частот. Такой процесс получил название гауссовский белый шум. Он имеет бесконечную дисперсию (мощность) и служит математической моделью реальных широкополосных воздействий. В случае стационарного гауссовского белого шума его статистические характеристики имеют вид m = 0, k2 ( ) = M{(t + )(t)}= N ( ).

Винеровский процесс B(t) по определению находится через белый шум (t) из стохастического дифференциального уравнения dB(t) =(t), B(t0 ) = B0. (2.5) dt Винеровский процесс после линейного интегрального преобразования (2.5) остается гауссовским процессом и с учетом фильтрующих свойств дельта-функции и B(t0)=0 имеет соответственно математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию t mB = M{B(t)} = M{( )}d = 0, (2.6) t t DB = M{B2(t)} = M{(1)(2)}d1d2 = N t, (2.7) 0 t1 tN t1, t1 t k2B (t1,t2) = M{(1)(2)}d1d2 = = (2.8) N t2, t2 < t0 = N min(t1,t2), t1 > 0,t2 > 0.

Очевидно, корреляционную функцию винеровского процесса можно также представить для положительных t1 и t2 в виде N k2B (t1,t2) = (t1 + t2- | t2 - t1 |). (2.9) Плотность распределения винеровского процесса имеет вид 1 B2(t), t > 0.

p(B(t)) = exp- (2.10) 2Nt 2Nt Рассмотрим некоторые свойства приращений винеровского процесса – их некоррелированность на неперекрывающихся интервалах времени и масштабируемость (самоподобие). Для моментов времени t2>t1>t0>0 имеем tB(t1) - B(t0) = (2.11) ( )d.

tОтсюда на основании (2.6) и (2.7) математическое ожидание и дисперсия приращения винеровского процесса соответственно равны M{B(t1)-B(t0)}=M{(B(t1)-B(t0))2}=N(t1-t0)~(t1-t0). (2.12) Взаимная корреляционная функция приращений при выполнении условия (2.11) на основании (2.8) равна M{[B(t2) - B(t1)][B(t1) - B(t0)]} = = k2(t1,t2) - k2(t1,t1) - k2(t2,t0) + k2(t1,t0) = = Nt1 - Nt1 - Nt0 + Nt0 = 0.

Таким образом, приращения процесса B(t) некоррелированы и, поскольку имеют гауссовское распределение, они также независимы.

Кроме того, эти приращения стационарны, так как их математические ожидания равны постоянной величине (нулю), а дисперсии пропорциональны постоянным временным интервалам:

t1-t0=...=tk+1-tk, k=0,1,... Реализации винеровского процесса непрерывны ввиду того, что модуль его приращения |B|=|B(t+t)-B(t)| характеризуется среднеквадратическим отклонением, порядок которого на основании (2.7) -t1/2, и при tстремится к нулю. Реализации винеровского процесса не дифференцируемы, так как lim | B | / t ~ lim t-1/ 2.

t 0 tСогласно свойству масштабируемости, вытекающему из соотношения (2.12), изменение масштаба времени в b раз сопровождается приращением координаты винеровского процесса в b1/2 раз.

Это свойство можно представить в виде B(bt)-B(bt0)=b1/2[B(t)-B(t0)].

Особый характер поведения винеровского процесса является следствием его свойства, которое символически можно записать в виде (B)2~t. В то же время для дифференцируемой функции квадрат ее приращений имеет порядок малости квадрата приращения аргумента: (f)2~t2.

Важным результатом этих свойств является соотношение для винеровского процесса m-Jm = lim [B(t ) - B(tk )]k +t k =(2.13) m-= lim N k +1 - tk ) = N (tm - t0), (t t k =где произвольное разбиение отрезка (t0,tm):

t0

k Это соотношение означает, что последовательность случайных сумм слева при t0 сходится по вероятности к неслучайной величине справа. Полученный результат является следствием того, что дисперсия суммы (2.13) при t0 стремится к нулю:

lim D(Jm ) = lim M{Jm} = 0. При доказательстве соотношения (2.13) t 0 t сначала рассмотрим дисперсию квадрата приращения отдельного слагаемого B2(tk)=[B(tk+1)-B(tk)]2.

Согласно данным работы [5] эта дисперсия для гауссовского процесса при математическом ожидании mB=0 имеет вид M{B4(tk )}-[M{B2(tk )}]2 = 3D2(tk ) - D2(tk ) = 2 (tk +1 - tk )2,(2.14) где Dtk - дисперсия приращения B(tk).

На основании (2.14) получаем m-2 2 D(Jm) = M{Jm} = 2N k +1 - tk )2 2N (tm - t0) max(tk +1 - tk ).

(t k =Следовательно, при t=max(tk+1-tk)0, D(Jm)0 и согласно неравенству Чебышева [4] для вероятностей P{| Jm - M{Jm}| } D(Jm) / приходим к соотношению (2.13).

2.2.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ Следствием особых свойств винеровского процесса являются разные формы определения стохастических интегралов и соответственно решений описывающих поведение динамических систем стохастических дифференциальных уравнений, в правой части которых присутствует винеровский процесс dx(t)=ft(x)dt+t(x)dB(t), x(t0)=x(0) (2.15) где ft() и t() - детерминированные дифференцируемые функции, удовлетворяющих условию регулярности |ft(x)|2+|t(x)|2k2(1+|x|2), k - постоянная величина.

Эти ограничения достаточны для существования и единственности решения уравнения (2.15). Используя дифференциальное соотношение винеровского процесса (2.5), можно уравнение (2.15) записать в эквивалентной форме, зависящей от белого шума dx(t) = ft (x) + t (x)(t), x(t0 ) = x( 0 ). (2.16) dt Случайный процесс x(t), tt0 является решением стохастических дифференциальных уравнений (2.15) или (2.16).

Рассмотрим решение уравнения (2.15) в интегральной форме t t x(t) = x(t0) + f (x)d + (x)dB( ). (2.17) ttЕсли вычисление первого интеграла в выражении (2.17) не имеет особенностей и проводится по обычным правилам математического анализа, то стохастические интегралы вида (x)dB( ), представляющие собой случайные функции, требуют особого рассмотрения из-за присутствия в них дифференциала винеровского процесса. При условии интегрируемости функции t(x) с квадратом: M{ (x)dt}, представим стохастический интеграл, как t предел в среднеквадратическом смысле соответствующих интегральных сумм t m- (x(k ))[B(tk ) - B(tk)], (2.18) + (x)dB( ) = lim k tk =tm где t0<...

k Рассмотрим два случая положения временного отсчета tk: в середине подынтервала k=(tk+1+tk)/2 и в начале подынтервала k=tk.

В силу дифференцируемости функции t(x) ее можно представить в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности точки с x(tk +1) + x(tk ) координатой x(k). Для первого случая x(k ) = + 0(t) и это разложение принимает вид x(tk ) + x(tk ) k (x(k )) = k +1 = tk (xtk ) = k (x(tk )) + [x(tk +1) - x(tk )] + 0[x(tk +1) - x(tk )].

2 xtk В результате интеграл (2.18) преобразуется к виду t J = (x)dB( ) = tm-x(tk +1) + x(tk ) [B(t ) - B(tk )] = = lim (2.19) k +k t k =m m- tk = lim (x(tk )) + 2 xtk [x(tk ) - x(tk )][B(tk ) - B(tk )].

tk +1 +t k = m Выразим дифференциал в уравнении (2.15) в виде малого приращения x(tk +1) - x(tk ) = (2.20) = f k (x( ))(tk +1 - tk ) + k (x(k ))[B(tk +1) - B(tk )] + 0(t).

k Подставим выражение (2.20) в соотношение (2.19 ), получаем m-tk (x(tk )) J = J + lim (x(tk )) xtk [B(tk ) - B(tk )]2 + 0(t).

tk +t k =m Или с учетом (2.13) при t0 и, пренебрегая членами порядка 0(t), имеем t N (x) J = J + (2.21) (x) x d, tгде J обозначает интеграл (2.18) при k=tk, т.е. когда временной отсчет берется в начале подынтервала.

Таким образом, получены различные значения интегралов J* и J.

Формальное отличие состоит в том, что при формировании интегралов значение функции t(x) в первом случае берется в середине подынтервала, во втором – на левом его конце.

Отметим, во-первых, что если вместо винеровского использовать обычную дифференцируемую функцию, то квадрат ее приращения имеет порядок t2 и при t0 второе слагаемое (2.21) пропадает. Во-вторых, в случае независимости функции () от x это слагаемое также пропадает. В результате разница между интегралами J* и J исчезает. Интеграл J* был введен Стратоновичем и назван симметризированным, а дифференциальное уравнение (2.15) при k=(tk+tk+1)/2 – стохастическим симметризированным уравнением.

Интеграл J и дифференциальное уравнение (2.15) при k=tk названы соответственно стохастическим интегралом и стохастическим уравнением в форме Ито.

Стохастические симметризированные интеграл и дифференциальные уравнения обладают важным свойством: для них справедливы обычные правила интегрирования и дифференцирования. Стохастические интеграл и уравнения в форме Ито этими свойствами не обладают. В результате использования симметризированной формы записи недифференцируемые случайные процессы приобретают свойства гладких дифференцируемых моделей. Однако, форма записи Ито также обладает рядом достоинств: записи стохастических выражений оказываются короче.

Кроме того, они обладают рядом свойств, которые облегчают анализ алгоритмов обработки сигналов. В дальнейшем в пособии используются представления стохастических интегралов и уравнений в форме Ито.

2.3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Имеется класс математических моделей, аппроксимирующих широкий спектр случайных процессов и позволяющих решать многие практически важные задачи благодаря хорошо разработанному математическому аппарату. Такой класс составляют марковские процессы.

В этот класс включают гауссовские и негауссовские, непрерывные и импульсные сигналы и помехи. В качестве вырожденных случаев в него входях детерминированные и квазидетерминированные, а также пуассоновские процессы.

2.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ Основные виды марковских процессов классифицируются в соответствии с задаваемыми значениями на временных и числовых множествах. В зависимости от этого, непрерывные или дискретные значения принимает случайная величина на множествах Х и ее аргумента Т, рассматриваются следующие виды марковских процессов: 1) марковские цепи (дискретный процесс с дискретным временем); 2) непрерывный процесс с дискретным временем (непрерывнозначные случайные последовательности); 3) дискретный случайный процесс (дискретный процесс с непрерывным временем);

4) непрерывный процесс. Кроме перечисленных случайных процессов возможны более сложные смешанные процессы [6].

Наряду со скалярным (одномерным) процессом в технических приложениях находят применение векторный (многомерный) процесс (t), состоящий из компонент 1(t),...,r(t). Виды реализаций перечисленных случайных процессов представлены на Рис. 2.1.

Приведем общее определение марковского процесса, которое будет конкретизировано при рассмотрении упомянутых выше процессов.

t t t0 tа) б) xм xi xj xxtn t t0 t1 tn t t0 tt t в) г) t0 txм xi xj xxt0 t t0 t Рис. 2.1. Реализации марковских случайных процессов:

а – дискретный процесс с дискретным временем (марковская цепь);

б – непрерывный процесс с дискретным временем;

в – дискретный процесс с непрерывным временем;

г – непрерывный процесс.

Случайный процесс (t), t(0,T) называется марковским, если для любых n моментов времени из интервала (0,Т) t1

i=С более подробным изложением теории, а также вопросов практического применения марковских процессов можно ознакомиться в работах [6-8].

2.3.2. ДИСКРЕТНЫЙ ПРОЦЕСС С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Допустим, что случайный процесс (t) принимает конечное число значения из дискретного набора xi,...,xj,...,xi,...,xk,...,xм множества X. Для марковского дискретного процесса с дискретным временем tn, n=1,2,... условие (2.22) имеет вид P{ (tn) = x | (tn-1) = xi,n-1,..., (t1) = xk1} = jn = P{ (tn) = x | (tn-1) = xi,n-1} = (tn | tn-1).

jn ji Условные вероятности перехода или переходные вероятности образуют квадратную матрицу переходных вероятностей n=||ji(tn|tn-1)||, i,j=1,M. Переходные вероятности удовлетворяют условиям неотрицательности ji(tn|tn-1)0 и нормировки M (tn | tn-1) =1. Для полного определения цепи Маркова ji i=необходимо также задать вектор начальных вероятностей P{(t0)=x1}=p(x1),..., P{(t0)=xj}=p(xj).

Если переходные вероятности не зависят от времени (индекса n), то цепь Маркова называется однородной. Для однородной цепи Маркова вероятность перехода за l шагов P{(tn+l)=xj|(tn)=xi}=ji(l) M определяется рекуррентным соотношением (l) = (1)ki (l -1).

ji jk k =Используя свойство условных вероятностей можно получить M (n + l) = (2.23) (n)ki (l).

ji jk k =Соотношение (2.23) является уравнением Колмогорова-Чепмена для переходных вероятностей. Зная вектор начальных вероятностей и вероятность перехода за n шагов можно найти безусловную вероятность M P{ (tn) = xi} = p(x ) (n).

j ji j =2.3.3. НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОЦЕСС С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ В этом случае марковский процесс представляет собой последовательность непрерывных случайных величин Пусть существует для этого процесса производная условной функции распределения P{ (tn) xn | (tn-1) = xn-1} = (xn | xn-1), xn называемая переходной плотностью вероятности или плотностью вероятности перехода. В случае однородного процесса эта плотность не зависит от времени. Переходная плотность удовлетворяет условиям неотрицательности (xn|xn-1)0 и нормировки (xn | xn-1)dxn = 1. Уравнение Колмогорова-Чепмена для рассматриваемого случая принимает вид (xn | xl ) = (xn | xs ) (xs | xl )dxs, n > s > l.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.