WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 |

Соотношения для оптимального вектора управления (5.51) и (5.96) точно совпадают. Поэтому процедура дальнейших преобразований аналогична ранее проведенной для линейной задачи. Она состоит в введении вектора, отыскании его в виде линейной формы пр =Pn x, где x = x - xn - вектор ошибки, Pn - подлежащая n n n n определению неизвестная матрица. В результате дальнейших преобразований приходим к нелинейному матричному уравнению в дискретном времени относительно этой матрицы f0n T f0n Pn = Pn+1 + t Pn+1 + tPn+1 (5.98) x* x* T - Pn+1VnWn-1Vn Pn+1 + Ln, которое позволяет определить вектор управления опт T * пр un = Wn-1Vn Pn+1(xn - xn ).

На основании полученных данных, а также уравнений фильтрации (4.149) и (4.150) можно прийти к алгоритму квазиоптимального синтеза терминального управления динамической системы в дискретном времени, описываемому системой уравнений -T T S0,n+1 S0,n+1 ~ S0,n+ ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+1 + Q,n+ x ~n+1 ~n+1 Dn+1 ~n+ x x * [yn+1 - S0,n+1], x0 = x(0), -T T S0,n+1 S0,n+1 ~ S0,n+ ~ ~ Dn+1 = Dn+1 - Dn+1 + Q,n+ x ~n+1 ~n+1 Dn+1 ~n+ x x S0,n+1 ~ D0 = D(0), ~n+1 Dn+1, x T f0n f0n T Pn = Pn+1 + t * Pn+1 + tPn+1 * - Pn+1VnWn-1Vn Pn+1 + xn xn + Ln, Pk +1 = Kk +1, * T * пр ~ xn+1 = xn + tf0n -VnWn-1Vn Pn+1(xn - xn ), T f0n f0n ~ T Dn+1 = Dn + t * Dn + tDn * + nQnn, xn xn * ~, ~ где f0n=f0n( xn,Dn), S0,n+1=S0,n+1( x D).

Хотя формально задача решена, необходимо обратить внимание на сложность ее решения, вытекающую из-за невозможности применения теоремы разделения. Действительно, определяющая управление матрица P из уравнения (5.98) зависит от матрицы статистических коэффициентов усиления f0(x*,D)/x*, которая, в свою очередь, определяется после статистической линеаризации нелинейных функций от оценок фазовых координат. В результате для вычисления квазиоптимального управления необходимо совместно решать приведенную выше систему уравнений.

5.3.4.3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ Необходимые исходные данные для определения квазиоптимального управления при локальном критерии в дискретном времени сформулированы в разделе 5.3.2.2. Отличие от линейной задачи состоит в том, что при формировании стохастического гамильтониана в функционале качества квадратичной формы функция fr+1,n зависит от компонент матрицы статистических коэффициентов усиления пр пр T H = fr +1,n(xn,un,n) = (xn - xn )T Ln(xn - xn ) + unWnun + пр пр + 2(xn - xn )T Kn[nxn +Vnun + nn - nxn - (5.99) пр - xn + xn ] +F (x0), * f0n (xn, Dn ) где n = I + t.

* xn В предположении, что управление принадлежит открытой области, после усреднения относительно вектора наблюдения y на основании соотношения (5.99) получаем H n T * пр опт M y1 = Vn Kn(xn - xn ) +Wnun = 0.

un Отсюда вектор оптимального управления опт T * пр un = -Wn-1Vn Kn(xn - xn ). (5.100) Для устойчивого объекта аналогично линейной задаче вводится дополнительное уравнение связи для матриц Kn и Ln T f0n f0n Kn + Kn * = -Ln. (5.101) * xn xn Определенная из этого уравнения матрица Kn после подстановки в выражение (5.100) позволяет получить оптимальный вектор управления и тем самым решить задачу квазиоптимального управления для нелинейных объекта и измерителя. Как следует из выражения (5.100) управление u формально является детермированной линейной функцией вектора оценки x* состояния объекта. Однако, компоненты матриц, входящих в уравнение (5.101), зависят от вектора этих оценок. Вследствие этого указанное уравнение связано с вектором оценки, и следовательно, теорема разделения несправедлива. В итоге для определения оптимального управления необходимо совместно решать систему уравнений -T T S0,n+1 S0,n+1 ~ S0,n+ ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+1 + Q,n+ ~n+1 ~n+1 Dn+1 ~n+x x x * [yn+1 - S0,n+1], x0 = x(0), -T T S0,n+1 S0,n+1 ~ S0,n+ ~ ~ Dn+1 = Dn+1 - Dn+1 + Q,n+ ~n+1 ~n+1 Dn+1 ~n+x x x S0,n+1 ~ D0 = D(0), ~n+1 Dn+1, x f0T f0n n Kn + Kn * = -Ln, * xn xn * T * пр ~ xn+1 = xn + tf0n -VnWn-1Vn Kn(xn - xn ), T f0n f0n ~ T Dn+1 = Dn + t * Dn + tDn * + nQnn, xn xn * ~n+1,Dn+1).

где f0n=f0n( xn,Dn), S0,n+1=S0,n+1( x ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Дельта-функция К понятию дельта-функция можно прийти путем предельного перехода в обычных функциях. Одной из таких функций является единичный прямоугольный импульс в начале координат с основанием равным 2l 1/ 2l, | x |< l, l (x) = 0, | x |> l.

Для этой функции и любого >l можно записать (П1) l l l (x)dx = 1, (x)dx = (x)dx = 1/ 2, - 0 x0 + x0 + xl l l (x - x0)dx = 1, (x - x0)dx = (x - x0)dx = 1/ 2. (П2) x0 - x0 x0 Очевидно, при предельном переходе l0 функция l(x) не имеет предела в обычном смысле. Однако интегралы (П1) и (П2) сохраняют свои значения. Рассуждая формально, приходим к определению дельта-функции (x - x0) = liml (x - x0) l x0 +, x = x0, (x - x0) = 0, x x0, (x - x0)dx = 1 при любом >0.

x0 Причем площадь «всплеска» в бесконечность дельта-функции в начала координат или особой точке x0 равна единице. Дельтафункция не существует как обычная функция. Она относится к классу обобщенных функций.

Путем предельного перехода можно получить следующие соотношения b b f (x) (x0 - x)dx = f (x) (x - x0)dx = f (x0), x0 (a,b), (П3) a a b b f (x) (a - x)dx = f (x) (x - a)dx = f (a), (П4) a a b b f (x) (b - x)dx = f (x) (x - b)dx = f (b), (П5) a a отражающие фильтрующие свойства дельта-функции.

При x0>b и x0

Если x0 является точкой разрыва первого рода функции f(x), то b + f (x) (x - x0)dx = [ f (x0 ) + f (x0 )], a < x0 < b, a + где f (x0 ) и f (x0 ) - значения функции f(x) справа и слева от точки разрыва.

Из соотношений (П1) и (П2) следует, что интеграл от дельтафункции в пределах от - до u равен единичной ступенчатой функции 0, u < 0, u 1/ (x)dx = 1(u) = 2, u = 0, - 1, u > 0.

Таким образом, дельта-функция представляет собой производную единичной ступенчатой функции. Применяя операцию интегрирования по частям, можно убедиться, что для любой функции, имеющей непрерывные производные до n-го порядка включительно в точке x0, имеет место x0 + (n) n f (x) (x - x0)dx = (-1)n f (x0).

x0 Выразим дельта-функцию интегралом Фурье. Используя для непрерывной функции известное из теории интеграла Фурье соотношение f (u) = f (x) exp{- j(x - u)}dx, d - можно записать, изменив порядок интегрирования, f (u) = f (x) exp{- j(x - u)}ddx.

- 2 - Сравнив полученное выражение с (П3), получаем при a=-, b=, что (x) = exp{ jx}d.

Кроме того, из прямого преобразования Фурье имеем (x) exp{- jx}dx = 1, т.е. спектр дельта-функции является равномерным на всех частотах с интенсивностью равной единице.

2. Сведения из алгебры матриц Прямоугольная таблица mn чисел, составленная из m строк и n столбцов называется прямоугольной матрицей размера (mn) a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n A = =|| aij ||, i = 1, m, j = 1, n.

L L L L am1 am2 L anm Элементы aij называются компонентами матрицы, первый индекс указывает строку, второй - столбец матрицы. Если m=n матрица называется квадратной.

Матрица размера (m1) является вектором-столбцом xxx =.

M xm Матрица размера (1n) называется вектором-строкой x = x1 x2 L xn.

Матрицы и векторы, имеющие одну компоненту, называются скалярной величиной. Матрица, у которой все компоненты равны нулю, обозначается 0. Квадратная матрица, у которой все компоненты, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все компоненты, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной матрицей и обозначается I.

Сумма двух прямоугольных матриц A=||aij|| и B=||bij|| одинакового размера (mn) называется матрица C=cij того же размера, компоненты которой равны сумме соответствующих компонент матриц A и B: cij=aij+bij, C=A+B.

Произведение матрицы A на скалярную величину называется матрица C, соответствующие компоненты которой равны cij=aij, C=A.

Произведением двух прямоугольных матриц A=||aij|| размера (mn) и B=||bij|| размера (nr) является матрица C=||cij|| n размера (mn), компонент которой cij = a bqi, i =1,m, j = 1, r, iq q=C=AB, т.е.когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором сомножителе.

Операции умножения матриц обладают следующими свойствами: (AB)C=A(BC), (A+B)C=AC+BC, A(B+C)=AB+AC.

Операция умножения не обладает переместительным свойством, т.е.

в общем случае ABBA. Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными (коммутативными).

Скалярное произведение (обозначаемое точкой) двух векторов одинаковой размерности можно представить в виде xy=xTy=yTx=yx.

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти два вектора ортогональны.

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы размера nn, n>1 называется число n q+det A =| A |= (-1) a1qM1q, q=где M1q - определитель квадратной матрицы размера (n-1)(n-1), полученный из A вычеркиванием первой строки и q-го столбца. Квадратная матрица называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю. В противном случае ее называют неособенной (невырожденной). Для каждой неособенной матрицы A существует обратная матрица A-1=||aij1||, компоненты которой равны Aij aij1 =, где алгебраическое дополнение Aij=(-1)i+jMij.

| A | Имеют место следующие соотношения для неособенных матриц (AB)-1=A-1B-1, AA-1=A-1A=I.

Матрица AT называется транспонированной относительно T матрицы A, если aij = a, т.е. строки матрицы A становятся ji столбцами матрицы AT. Для операции транспонирования выполняются следующие соотношения (A+B)T=AT+BT, (AB)T=BTAT, (A-1)T=(AT)-1, (AT)T=A.

Если A=AT, то матрица называется симметричной.

Для функций от матриц сохраняются свойства скалярных функций в следующих разложениях Aq (-1)q-exp{A} =, ln{A} = (A - I)q, (1- A)-1 = Aq, q! q! q=0 q=1 q=если собственные числа матрицы A лежат внутри круга сходимости.

Следом квадратной матрицы A называется сумма ее компонент, расположенных на главной диагонали SpA = a.

ii i Для следа матриц имеют место следующие соотношения SpA+SpB=Sp(A+B), Sp(BC)=Sp(CB).

Операция дифференцирования вектора x размера (m1) или матрицы A размера (mn) по скалярному аргументу t определяется выражениями dx dxi =, i = 1, m, dt dt daij dA =, i = 1, m, j = 1, n.

dt dt Производные от матричных функций скалярного аргумента t имеют вид d(AB) dA dB d(A)-1 dA = B + A, = -A-1 A-1.

dt dt dt dt dt Операция интегрирования матричной функции скалярного аргумента сводится к соотношению t t A d = aij ( )d, i = 1, m, j = 1, n.

0 Производная скалярной функции f(x) по вектору x размера (n1) есть вектор-строка df (x) f (x) =, j = 1, n.

dx x j Производная вектор-функции y(x) размера (m1) по вектору x размера n1 называется матрицей Якоби dy yi =, i = 1, m, j = 1, n.

dx x j Производная скалярной функции f(A) по матрице A определяется формулой d f (A) = f (A), i = 1, m, j = 1, n.

dA aij Если y=Ax, где y и x - векторы, A - постоянная матрица, то dy = A.

dx Если y=xTCx, C - симметричная постоянная матрица, то dy = CT x + Cx = 2Cx.

dx 3. Связь вариационного исчисления и принципа максимума (минимума) с понятиями теоретической механики В теории оптимального управления множителям Лангража (t) вариационного исчисления отвечают в методе принципа максимума вспомогательная функция (t)=-(t) (в принципе минимума (t)=(t)), а в теоретической механике обобщенный импульс p(t). С помощью векторов обобщенных импульсов p(t) и координат q(t) можно описать поступательное и вращательное движение сложных динамических систем. Рассматриваются консервативные системы без рассеяния энергии под действием стационарных потенциальных сил в & & декартовой системе координат: x=x(q), p=p( x )=mx, m - диагональная матрица постоянных масс системы*). Введем важную при определении экстремумов функционалов качества функцию Лагранжа, как разность кинетической и потенциальной энергии системы & & L(x, x )=T(x, x )-U(x).

Потенциальная энергия зависит только от вектора координат, а кинетическая энергия может зависеть как от вектора координат, так и от вектора скоростей координат. По определению обобщенным импульсом называют частную производную кинетической энергии по скорости координаты, которую можно также записать через функцию Лагранжа & & T (x, x) L(x, x) p = =. (П6) & & x x Если кинетическая энергия системы не зависит от координат & & & компонент вектора x, то T (x) = xT mx.

Перейдем к рассмотрению одного из основных соотношений вариационного исчисления - уравнению Эйлера. Функция Лагранжа удовлетворяет уравнению Эйлера & & d L(x, x) L(x, x) - = 0, (П7) & dt x x которое дает необходимые условия экстремума функционала качества t t & Jt = L(x, x)dt = (x, x) -U (x)]dt.

[T & 0 *) Системы с рассеянием энергии, например, из-за трения, сопротивления воздуха и т.д., называется диссипативными системами.

Этому необходимому условию соответствует равенство нулю первой вариации функционала (принцип Гамильтона) t & Jt = L(x, x)dt = 0.

Вторая вариация позволяет различать минимумы и максимумы:

для минимума функционала необходимо 2Jt>0, для максимума 2Jt<0.

Всякому функционалу соответствует свое дифференциальное уравнение Эйлера и наоборот, дифференциальное уравнение равновесия сил, действующих на систему, можно рассматривать как уравнение Эйлера для некоторого функционала. И действительное поведение системы будет доставлять этому функционалу экстремальное значение. Таким образом, описание законов природы на языке вариационного исчисления полностью эквивалентно их описанию на языке дифференциальных уравнений.

Рассмотрим движение материального тела массой m в однородном поле тяготения по координате x. Функция Лагранжа имеет вид & & & L(x, x) = T (x) -U (x) = m(x)2 - mgx, (П8) где g - ускорение силы тяжести.

После подстановки функции (П8) в уравнение (П7) и вычислений получим уравнение Эйлера в форме второго закона Ньютона P=mg.

В качестве еще одного примера рассмотрим движение в однородном поле тяготения маятника, представляющего собой подвешанное на жесткой невесомой проволоке длиной l материальное тело массой m. Рассматривается линейное приближение при малых угловых отклонениях. Кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны & T = ml2[]2, U = mg(1- cos)l.

Полная энергия & E = T +U = ml2[]2 + mg(1- cos )l.

Для консервативной системы E=const и дифференциальное уравнение движения маятника можно получить из условия E/t=0.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.