WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 32 |

Если управление принадлежит открытой области, то вектор управления определяется единственным образом из векторноматричного уравнения H M yt0 = 0, t0 tk (5.23) u при условии, что апостериорная оценка гамильтонианa имеет экстремум.

Следует отметить, что решение в общем виде задачи статистического синтеза оптимального управления достаточно сложно. Это обстоятельство приводит к необходимости решения сложных задач численными методами путем подбора соответствующих начальных и конечных условий. Однако для линейных объектов и измерителей, аддитивного управления и квадратичного функционала качества необходимые и достаточные условия принципа максимума обоснованы [74]. На основании теоремы разделения задача может быть существенно упрощена и разделена на два этапа решения: первый - получение апостериорных оценок x и, второй - определение оптимального управления u.

5.3.1.2. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ БЫСТРОДЕЙСТВИИ Определение оптимального быстродействия при детерминированных воздействиях и при ограничении на управление явилось одной из первых задач оптимального управления при формировании программной траектории движения объекта и расчете программы управления. Она является актуальной и при разработке управляющей подсистемы, обеспечивающей быстродействие для объекта, находящегося под воздействием случайных сигналов, при вероятностном характере его начального и конечного состояний.

При решении задачи стохастического синтеза по оптимальному быстродействию поведения объекта с учетом аддитивного управления описывается линейным дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме & x (t)=Ftx(t)+Vtu(t)+t(t), x(t0)=x(0) (5.24) с учетом ограничений x(tk)=xk.

Эти ограничения так же как и начальные условия, как правило, задаются векторами математических ожиданий и матрицами дисперсий: M{x(0)}, M{xk} и D0, Dk. В процессе управления осуществляется измерение вектора y(t) в соответствии с уравнением наблюдения y(t)=Ctx(t)+(t). (5.25) Это уравнение отражает тот факт, что в реальной задаче при неточных измерениях из-за помехи невозможно реализовать управление по полной информации о координатах состояния объекта.

Необходимо определить вектор оптимального управления u, переводящий объект из начального состояния x0 в конечное xk за минимальное время tk-t0 при учете того, что максимальное значение компонент вектора управления ограничено Ui. Для дополнительной координаты дифференциальное уравнение имеет вид (5.4) & x =1, xr+1(t0)=t0 (5.26) r+и минимизируемый функционал (5.8) принимает форму r (tk ) = xr +1(tk ) + [xi (tk ) - xik ], i i=где второе слагаемое учитывает ограничения в виде уравнений связи. Стохастический гамильтониан с учетом уравнений (5.24) и (5.26) принимает вид T = M{[ (Ft xt +Vtut + tt ) + ] | ytt } = r +r (5.27) T T i r += M{ Ft xt | ytt }+ Vituit + M{ tt | ytt }+, 0 i=где T - вектор-строка размерa (1r).

Согласно стохастическому принципу максимума оптимальное управление доставляет максимум апостериорному среднему гамильтониана. Как следует из выражения (5.27) этот максимум по r i отношению к управлению достигается при uit > 0,Vit>0, |ui|=Ui..

i=Таким образом, оптимальное управление, обеспечивающее минимальное время (максимальное быстродействие) движения объекта из начального состояния в конечный, является релейным и определяется знаком апостериорного среднего вспомогательной функции ui=Uisign. i=1, r.

i Функции и xi вычисляются из совместно решаемых i уравнений (5.20) и (5.21) с учетом формулы для конечного состояния (5.22) (tk)=-, r +& & r + = -FT, = 0 (tk ) = -1 (5.28) и уравнений линейной фильтрации (4.102) и (4.103) при наличии управления dx(t) - = Ft x(t) + D(t)CtTN (yt - Ct xt ) +VtUtsign, x(t0) = x0, t dt dD(t) = Ft D(t) + D(t)FtT + tN tT - D(t)CtTN Ct D(t), D(t0) = D(0).

x t dt При этом учитываются наложенные на вектор фазовых координат ограничения на конечное состояния, например T M{xk xk}.

Решение этой двухточечной задачи достаточно сложно и достигается численными методами путем подбора переменных.

Наиболее простое решение можно получить, подобрав для каждой составляющей вспомогательной функции стационарное решение уравнения (5.28) r i = t}, (5.29) b exp{ j ij j =где j - корни характеристического уравнения, а коэффициенты bij зависят от неопределенных множителей Лангража i. Как следует из анализа этого выражения, сумма (5.29) переходит через ноль не более r-1 раз. Поэтому управление ui имеет в общем случае r-переключений, т.е. r интервалов, на которых управление равно ±Ui.

5.3.1.3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ Управление при локальном критерии оптимизации характерно для систем программного управление различными объектами промышленного назначения, а также полетом летательных и космических аппаратов при отсутствии ограничений на фазовые координаты объекта.

Выражения для рассматриваемого критерия можно получить, применяя принцип максимума. Введем в качестве дополнительной координаты зависящий от времени функционал качества J(x,xпр,u,t)=xr+1(t), являющейся решением дифференциального уравнения & & x (t)= J (x,xпр,u,t), xr+1(t0)=J r+tгде xпр - вектор теоретически требуемых (программируемых) фазовых координат, удовлетворяющих нелинейному уравнению пр & x (t)=ft(xпр(t)), xпр(t0)=xпр(0), а в случае линейной задачи уравнению пр & x (t)=Ftxпр(t), xпр(t0)=xпр(0), Функция Гамильтона имеет вид & & H(x,xпр,u,,t)=T x +r+1 x. (5.30) r+Ввиду отсутствия ограничений и требований на конечное состояние объекта, а также из-за необходимости минимизации функционала качества в каждый текущий момент времени минимизируемый функционал (t)=xr+1(t), r+1(t)=-1, а вектор вспомогательной переменной размера (r1) равен нулю. Поэтому для второго слагаемого соотношения (5.30) можно записать & H=- J (xt, xtпр,ut).

С учетом изложенного стохастический принцип максимума при измерении вектора y и ограничениях на вектор управления (5.2) принимает форму &(xt max (xt, xtпр,,ut,t) = max{-M{J, xtпр,ut ) | ytt }} = t uU uU T T T J J J J = max- M & & & + xt + xtпр + ut ytt.

uU ut xtпр t xt Таким образом, при локальном критерии для обеспечения минимального значений апостериорного среднего функционала качества в каждый текущий момент времени за счет локальнооптимального вектора управления достаточно, чтобы апостериорное среднее производной этого функционала по времени, взятоe с обратным знаком, имело бы максимальное значение.

Если управление принадлежит открытой области, то вектор оптимального управления удовлетворяет уравнению (5.23) и стохастический принцип максимума записывается в форме T T 2J 2J 2J & & M + xt + xtпр + utxtпр utt utxt (5.31) T 2J & + ut ytt = 0.

T utut Важным достоинством локального критерия является то, что двухточечная задача при его применении не возникает. Это значительно упрощает алгоритм оптимального управления.

Рассмотрим на основе локального критерия стохастическую задачу синтеза управления линейной системы при воздействии случайных возмущений и неточных измерениях.

Уравнения объекта управления и наблюдения, как и в предыдущей задаче, определяются соответственно выражениями (5.24) и (5.25).

Минимизируемый функционал имеет вид положительноопределенной квадратичной формы (5.3), удовлетворяющей дифференциальному векторно-матричному уравнению & & & & xr +1(t) = J (xt, xtпр,u,t) = 2(xt - xtпр )T Kt (xt - xtпр ) + & + (xt - xtпр )T Kt (xt - xtпр ) + (xt - xtпр )T Lt (xt - xtпр ) + (5.32) T + ut Wtut, xr +1(t0) = xr +1(0), & & & & где учтено, что ( x - xtпр )TKt(xt- xtпр )=(xt- xtпр )TKt( x - xtпр ).

t t Матрицы Kt, Lt и Wt задаются из физических требований, диктуемых смыслом задачи оптимизации, назначением и структурой объекта. Для устойчивого объекта матрицы Kt и Lt можно определить из дополнительного уравнения связи [30] FtT Kt+KtFt=-Lt.

В предположении, что управление принадлежит открытой области с учетом уравнений (5.24) и (5.32) стохастический принцип максимума на основании (5.31) приводит к уравнению & M{J | ytt } = VtT Kt (xt - xtпр ) +Wtutопт = 0. Отсюда вектор ut оптимального управления utопт = -WtVtT Kt (xt - xtпр ), (5.33) где x - апостериорное среднее (достаточная статистика) вектора t состояния объекта, определяемого из уравнений (4.102) и (4.103).

Соотношение (5.33) подтверждает справедливость теоремы разделения, так как вектор управления utопт является детерминированной линейной вектор-функции оценок фазовых координат для момента времени t. По этой причине управление в данный момент времени определяется не всей траекторией наблюдаемого процесса ytt и его достаточной статистикой для того же момента времени, в которой в силу марковского свойства уже учтены все предыдущие значения наблюдаемого процесса.

5.3.2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА (МИНИМУМА) ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ Необходимость в управлении дискретной динамической системой возникает в связи с дискретностью самого процесса управления из-за применения цифровой вычислительной техники, а также для получения приближенных (численных) решений непрерывных задач. Строго говоря, принцип максимума не распространяется на дискретные динамические системы, если описывающие их поведение уравнения в конечных разностях не связанны с конечномерной аппроксимацией непрерывного процесса.

При обосновании применения принципа максимума для дискретных систем обычно исходят из того, что, чем меньше шаг дискретизации, тем точнее выполняется этот принцип.

В общем виде дискретная динамическая система с учетом вектора управления u описывается векторным нелинейным конечноразностным уравнением (4.207) xn+1=fn(xn,un,n), (5.34) где n=0,1,2,... - моменты дискретизации текущего дискретного времени, tn=nt, t - шаг дискретизации. В случае терминальной задачи n=0,k, k+1 - количество временных шагов управления, tk+1 - конечный момент состояния системы. Функционал качества при переходе к дискретному процессу записывается в виде J(xn,xпр,un,n) и n принимает одну из форм (5.3) и (5.6) после замены непрерывного аргумента t на дискретный, а интегралов на суммы.

5.3.2.1. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ТЕРМИНАЛЬНОМ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ Рассматривается статистический синтез оптимального дискретного управления конечным состоянием объекта. Необходимое для формирования этого управления апостериорное среднее функционала на основании (5.6) имеет вид k пр пр k = M (xk +1, xk +1) + F (xn, xn,un) y1 (5.35), n n= где первое слагаемое является заданной функцией конечного состояния, а второе учитывает интегральную составляющую функционала общего вида, xпр - вектор теоретически требуемых n (программируемых) фазовых координат объекта в дискретном времени.

Представим функцию конечного состояния в виде разложения в ряд*) F (xk ) - xk ) + 0(x) = F (xk +1) = F (xk ) + xk (xk + k F (xn) = F (x0) + - xn) + 0(x), (xn+(xn) n=где x=maxxn=max(xn+1-xn), 0nk.

Выбираем интервал дискретизации t таким малым, чтобы членами разложения второго и более высоких порядков малости *) Для упрощения записи переменную xпр опускаем.

n относительно x-0(x) можно было бы пренебречь. В результате получаем функционал качества в форме k k = M fr +1,n(xn,un,n) | y1, (5.36) n=где функция fr+1,n(xn,un,n) входит в рекуррентное уравнение для дополнительной координаты xr+1,n+1=xr+1,n+fr+1,n(xn,un,n), xr+1,0=0, 0nk (5.37) и имеет вид fr +1,n(xn,un,n) = n(xn,un,n) +. (5.38) F (xn) - xn) +F (x0) + xn (xn+ Таким образом, за счет расширения вектора состояния системы еще на одну координату xr+1 функционал качества (5.35) приобретает вид k = M{xr +1,k +1 | y1 }. (5.39) В результате задача оптимального управления конечным состоянием, как и задача с непрерывным временем, свелась к оптимизации апостериорного среднего по дополнительной координате xr+1,k+1 расширенного вектора состояния объекта и заключается в отыскании среди допустимых такого вектора управления, который минимизировал бы функционал (5.39).

Скалярная функция Гамильтона (стохастический гамильтониан) в дискретном времени с учетом уравнения состояния объекта (5.34) принимает вид T H (xn,,n,un,n) = xn+1 = n+1 n+r +(5.40) T = fn(xn,un,n) = fin.

n+1 i,n+i=Эта функция удовлетворяет уравнениям H xi,n+1 = = fin, i =1, r +1, (5.41) i,n+H r +1 f jn = =, i = 1, r +1. (5.42) in xin j =1 j,n+1 xin с граничными условиями xi0=xi(0), r+1,k+1=1, k + =, i =1, r +1.

i,k +xi,k +Покажем, что уравнения (5.41) и (5.42) после предельного перехода t0 принимают форму дифференциальных уравнений (5.15) и (5.16). Конечно-разностные уравнения (5.34) и (5.42) в случае малых значений t и пренебрежения членами порядка малости 0(t) можно заменить их аналогами xi,n+1=xin+tfin(xn,un,n), r +f (xn,un,n) jn = + t.

in i,n+1 j,n+xi j =При выводе последнего выражения согласно формуле (5.42) использовался гамильтониан T H = [xn + tfn(xn,un,n)]. (5.43) n+С учетом соотношений (5.41), (5.42) и (5.43) конечноразностные уравнения при t0 принимают форму исходных дифференциальных уравнений (5.15) и (5.16).

Обратим внимание на то, что в рассматриваемой задаче с дискретным временем по сравнению с задачей для непрерывных процессов знак вспомогательной переменной изменен на противоположный, т.е. положительный. Следовательно, изменился знак гамильтониана H на положительный и принцип оптимальности трансформировался в принцип минимума.

В задачах статистического синтеза оптимального управления необходимые выражения апостериорных средних стохастического гамильтониана и соответствующих переменных принимают вид n = M{H (xn,,un, n) | y1 }, n+(5.44) H n, xi,n+1 = M y i,n+ H n in = M y1 (5.45) xin.

В общем случае двухточечной задачи дискретных систем принцип минимума формулируется следующим образом. Для оптимальных значений векторов состояния x и управления u, удовлетворяющего ограничениям (5.2) и обеспечивающего перевод объекта из начального состояния в конечное при измерении вектора y на интервале (t1,tk), апостериорное среднее функционала k+принимает минимальное значение, а необходимое условие оптимальности состоит в достижении апостериорного среднего стохастического гамильтониана минимального или наименьшего значения n n+min (xn,,un,n, n) = min M{H (xn,,un,n, n) | y1 }, n+uU uU n n+inf (xn,,un,n, n) = inf M{H (xn,,un,n,n) | y1 }, n+uU uU 0 n k.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.