WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 32 |

5.2. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ Понятие оптимальности определяется принятым критерием оптимизации и система, оптимальная по одному критерию, не является оптимальной по другому критерию. За характеристику оптимальности обычно принимают некоторый показатель (функционал качества).

Функционал качества является скалярной функцией, в общем случае зависящей от координат объекта x(t), требуемых значений этих координат xпр(t), управления u(t) и времени t J(xt, xtпр,ut,t).

Задача оптимизации состоит в выборе критерия оптимизации и отыскании на основании этого критерия экстремального относительно вектора управления u(t) значения функционала качества: минимума общей стоимости, потерь, штрафа или максимума другого функционала - суммарного результата, выигрыша.

При формировании задачи в общем виде полагаем, что поведение объекта управления описывается в пространстве состояний r-мерным векторно-матричным уравнением & xt =ft(xt,t,ut), x(t0)=x(0), (5.1) в котором в силу формирования закона управления введен на основании данных раздела 4.12 детерминированный вектор управления u(t). Управление объектом определяется видом функционала качества и организуется на основании измерений всех или части фазовых координат объекта общим числом q, qr. Это равносильно предположению, что управление зависит от информации о координатах системы, физически доступных измерению. Обычно на вектор управления накладываются ограничения, связанные с физическими свойствами объекта или конечной мощностью органов управления. Эти ограничения в общем случае можно представить в символической форме uU, (5.2) где под U понимается допустимое множество векторов управления.

Ограничения могут иметь аналитический вид, например, при управлении в среднем применяют условие M{uT(t)Wtu(t)}1(t), где Wt - диагональная матрица с положительными компонентами.

Если ограничены общие ресурсы, то применяются интегральные (изопериметрические) условия в форме t M{uT ( )W u( )}d (t).

tВ инженерной практике наиболее широкое применение получил функционал качества в квадратичном виде и соответственно байесовский подход при определении оценки этого функционала - минимум условного риска.

В общем случае функционал качества в квадратичной форме записывается в виде J (xt, xtпр,ut,t) = [x(t) - xпр (t)]T Kt[x(t) - xпр (t)] + t (5.3) + {[x( ) - xпр ( )]T L [x( ) - xпр ( )] + uT ( )Wu( )}d, tгде Kt и Lt - заданные соответственно положительно и неотрицательно определенные матрицы размера (qq). В зависимости от исходных данных и характера решений частных задач могут отсутствовать некоторые составляющие функционала (5.3). Кроме того, при решении ряда задач для упрощений расчетов принимают xпр(t)=0.

Критерии оптимизации выбираются, исходя из смысла решаемой задачи, например, минимума времени управления при переводе объекта из начального в требуемое конечное состояние или, если учитывается переходный процесс - экстремального значения интеграла от функционала состояния объекта. В других задачах ограничиваются заданием времени управления t-t0, где t может обозначать текущее время или при t=tk - конечный момент времени управления. В первом случае критерий оптимизации называется локальным, так как требуется обеспечить экстремальное значение функционала качества в каждый текущий момент времени t; вовтором - терминальным, так как управление выбирают из условия экстремального значения функционала качества в конечный момент времени tk, который может быть фиксированным или подвижным.

Так как в последнем случае часть условий задается в начальный момент времени, а часть - в конечный момент времени приходится решать двухточечную краевую задачу. При этом необходимо иметь ввиду, что из-за стохастического характера задачи эти начальные и конечные состояния объекта задаются в виде вероятностных характеристик: векторов математических ожиданий и матриц дисперсий векторов оценок или их ошибок. Поэтому двухточечные задачи решаются с учетом ограничений на конечное состояние T объекта в виде x (tk) x (tk)1 или M{[ x (tk)-x(tk)]T[ x (tk)-x(tk)]}При формировании оптимального управления текущее значение функционала качества принимается за дополнительную координату, xr+1(t)=J(xt, xtпр,ut,t), а его производная записывается в форме дифференциального уравнения r J J xi k J ui r J xiпр & xr +1(t) = + + +, xr +1(t0) = Jt0, t xi t ui t t xiпр i=1 i=1 i=xi где = fit (xt,t,ut ).

t Функционал, характеризующий качество управления в задаче определения управления, переводящего объект из x(t0) в состояние x(tk) за минимальное время tk-t0 (задача быстродействия), имеет вид t J =.

d tДля дополнительной координаты состояния xr+1(t) дифференциальное уравнение запишется следующим образом & x (t)=1, xr+1(t0)=t0 (5.4) r+и оптимизируемый функционал принимает форму J=xr+1(tk)=tk-t0. (5.5) Если отыскивается оптимальное управление, соответствующее минимуму интеграла от текущего состояния, то функционал качества принимает вид tk J = xr +1(tk ) = (x, xпр,u )d, tа дифференциальное уравнение по дополнительной координате & x (t)=t(xt, xtпр,ut), xr+1(t0)=0.

r+Общее выражение функционала качества для задачи управления конечным состоянием в момент tk можно представить в форме tk J = Ftk (xtk, xtпр ) + (x, xпр,u )d (5.6) k tа дифференциальное уравнение по дополнительной координате в виде Ft r Ft & xr +1(t) = + fit (xt,t,ut ) + t (xt, xtпр,ut ) + t xi i=r Ft пр + fit (xtпр ), xr +1(t0) = Jt0, xiпр i=где Ftk характеризует конечное (терминальное) состояние объекта.

Задача определения оптимального управления конечным состоянием в этом случае также обращается в задачу оптимизации по дополнительной координате xr+1(t) в момент времени t=tk расширенного вектора состояния системы.

В ряде задач оптимизации управления заданы ограничения на вектор конечных координат объекта. В общем виде эти ограничения подчиняются уравнениям связи Qj[x1(tk),...,xr(tk)]=0, j=1, s, (5.7) где Qj - произвольные дифференцируемые функции.

В этом случае двухточечная задача оптимального управления перевода объекта из начального состояния в конечное состоит в отыскании условного экстремума функционала качества J при выполнении условий на координаты объекта (5.7) и на управление (5.2). Задача нахождения условного экстремума относительно управления может быть сведена на основании известного метода Лагранжа к отысканию безусловного экстремума выражения s (tk)=xr+1(tk)+ Qj[x1(tk),...,xr(tk)], (5.8) i j=где j - неопределенные множители Лагранжа.

Если уравнения связи отсутствуют, то минимизируемый функционал (5.8) становится равным дополнительной координате xr+1(tk).*) При локальном критерии вариационная задача вырождается, минимизируемый функционал (5.8) оказывается равным дополнительной координате xr+1(t) зависящей от текущего времени.

Таким образом, функционал качества превращается в скалярную функцию времени и его оптимальность обеспечивается, как будет показано далее, только выбором локально-оптимального вектора управления.

Так как функционал качества зависит от векторов случайных координат объекта, он оказывается случайной скалярной функцией.

При выборе критерия оптимизации ее необходимо преобразовать в неслучайную функцию, например, в вероятностную оценку. Ввиду того, что источником информации при формировании оптимального управления являются результаты измерений этих координат целесообразно выбрать в качестве оценки апостериорное среднее (условное математическое ожидание) функционала качества относительно реализации наблюдаемого процесса y(t) =M{J(x, xпр,u,| yt0 }, t0tk. (5.9) Наилучшей оценке при байесовском подходе и квадратичной функции потерь соответствует минимальное математическое *) Параметры объекта под влиянием внешней среды, внутренних условий могут меняться. В связи с этим изменяется зависящий от этих параметров функционал качества. Для того, чтобы он снова достиг оптимального значения, с помощью дополнительных устройств и обслуживающих их алгоритмов адаптации изменяют параметры формируемых в информационных системах алгоритмов управления. С адаптивными системами и устройствами можно ознакомиться в работах [52] и [75].

ожидание квадрата ошибки - безусловной дисперсии ошибки оценки функционала качества My{M{(J- )2| yt0 }}, (5.10) где My{} означает повторное математическое ожидание относительно всех возможных реализаций процесса y(t).

Рассмотрим апостериорное среднее квадрата ошибки с учетом дополнительных двух последних членов в сумме равных нулю M{(J- )2| yt0 }+[M{J| yt0 }]2-[M{J| yt0 }]2= =[M{J| yt0 }]2-2 M{J| yt0 }+ +M{J2| yt0 }-[M{J| yt0 }]2.

После преобразования получаем M{(J- )2| yt0 }=[M{J| yt0 }- ]2+M{J2| yt0 }-[M{J| yt0 }]2. (5.11) Подставляя (5.11) в соотношение (5.10), имеем M {M{(J - )2 | yt0 }} = M {[M{J | y } - ]2} + y y t(5.12) + M {M{J | yt0 }} - M {[M{J | yt0 }]2}.

y y По определению безусловная дисперсия ошибки оценки функционала качества является неотрицательной величиной и, как следует из (5.12), минимальное ее значение достигается, если первое слагаемое равно нулю. Таким образом минимум выражения (5.10) получают при оценке, равной апостериорному среднему функционала качества: M{J| yt0 }=.

В общем виде задача статистического синтеза оптимального управления объектом, состояние которого описывается векторноматричным уравнением (5.1), а измерение - вектором y(t), зависящим от этого состояния, состоит в определении вектора управления u(t), удовлетворяющего ограничениям (5.2) и доставляющего экстремум апостериорному среднему оптимизируемого функционала (5.8) exstr M{(tk ) | yt0 }, t tk, uU при переходе объекта из начального состояния в некоторую определенную область пространства состояний. Заметим, что всегда можно отыскать минимум апостериорного среднего функционала =M{|y}, умножив на -1 максимум этого функционала.

Рассматриваемые далее методы оптимизации: принцип максимума (минимума) и динамического программирования целесообразно применять с учетом особенностей решения конкретных задач. Принцип максимума рекомендуется применять при наличии ограничений в виде неравенств на фазовые координаты объекта и управление, причем объект описывается линейными дифференциальными уравнениями. Динамическое программирование целесообразно применять для объектов, описываемых конечноразностными уравнениями, т.е. для дискретных динамических систем с учетом возможностей цифровой вычислительной техники.

5.3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 5.3.1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ 5.3.1.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В соответствии с принципом максимума [67, 76] вводятся вспомогательные переменные (t), которые определяются из линейной системы дифференциальных уравнений r +f j & = - (5.13) xi, i = 1, r +1, i i j =где функции fi (j=1, r ) являются правыми частями уравнений & (5.1), a fr+1= x (t) - производными дополнительной координаты в r+общем виде (5.3) или (5.6).

Сформируем скалярную функцию Гамильтона (стохастический гамильтониан) r +T H = H (x,,,u,t) = ft (x,,u) = ftT (x,,u) = fit. (5.14) i i=H Из выражения (5.14) следуют соотношения = fit и i H r +1 f = jt, i=1, r +1.

xi j =1 j xi С учетом формул (5.1) и (5.13) получаем дифференциальные уравнения переменных в канонической форме Гамильтона H & xi =, (5.15) i H & i = -, i =1, r +1 (5.16) xi с граничными условиями при t0 и tk (tk ) xi (t0) = xi (0), (tk ) = -. (5.17) i xi (tk ) Принимая во внимание выражение (5.7), соотношение (5.17) принимает форму s Qj (tk ) = - (5.18) (tk ), i = 1, r, i j xi j =r+1(tk)=-1. (5.19) Соотношение (5.18) выражает условие трансверсальности. Это условие позволяет, располагая в момент времени tk частью свободных координат состояния объекта общим числом r-q при r>q, получить систему r-q соотношений для определения вектора вспомогательных переменных (tk). Добавляя к ней заданные q ограничений на вектор координат из (5.7), приходим к полной системе r соотношений для момента времени tk.

Особенностью применения принципа максимума является его тесная связь с принципом Гамильтона в теоретической механике.

Используя этот принцип, приведенные соотношения могут быть получены достаточно простым способом и, что не менее важно, поддаются наглядной интерпретации (приложение 3).

Согласно принципу максимума в двухточечной задаче при детерминированных сигналах и оптимальных значениях векторов управления, удовлетворяющих ограничению (5.2), и состояния x при измерении вектора y, для которых функционал (tk) принимает минимальное значение, условие оптимальности состоит в достижении гамильтониана на интервалах t0tk значений max H (x,,,u, ) или sup H (x,,,u, ), т.е. гамильтониан в uU uU первом случае достигает максимального, во втором - наибольшего значения. В работе [76] показано, что максимальное значение гамильтониана равно нулю.

Принцип максимума доказан как необходимый признак оптимальности для нелинейных объектов. В этом случае оптимальные траектории координат объекта являются экстремалями.

Проверкой необходимо убедиться, какая из них соответствует оптимальному управлению. Из необходимого условия max H = uU следует, что вдоль оптимальной траектории включая начальные и & конечные точки (r+1)-мерные вектора и x взаимно ортогональны.

Отметим, что условия максимума гамильтониана является более общими по сравнению с уравнением Эйлера в классическом вариационном исчислении. В случае когда управление принадлежит открытой области (отсутствуют ограничения), из принципа максимума следует условие оптимальности классического вариационного исчисления.

В работах [77, 78] принцип максимума был распространен на стохастические задачи. В этом случае стохастический принцип максимума формулируется следующим образом. В двухточечной задаче для оптимальных значений векторов управления u, удовлетворяющих ограничению (5.2), и состояния объекта x (5.1) при измерении вектора y апостериорное среднее функционала (tk) принимает минимальное значение, а апостериорное среднее стохастического гамильтониана имеет максимальное или наибольшее значение относительно управления на интервале времени t0tk max (x,,u,, ) = max M{H (x,,u,, ) | yt0 }, uU uU sup (x,,u,, ) = sup M{H (x,,u,, ) | yt0 }, uU uU где апостериорные оценки переменных x =M{x| yt } и =M{| yt } определяются из уравнений H & xi = M yt0, i = 1, r +1, (5.20) i H i & = -M yt0, i = 1, r +1, (5.21) xi при следующих граничных условиях x (t0)=xi(0), i (tk ) i (tk ) = -M yt0, i =1, r +1. (5.22) i x (tk ) Для решения задачи оптимального управления и получения конкретных результатов в качестве оценок состояния системы по результатам измерения необходимо воспользоваться результатами линейной и нелинейной фильтрации (разд. 4.7 и 4.8).

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.