WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 32 |

Из полученных результатов также следует, что для нелинейных систем отношение сигнал/шум зависит от оцениваемого процесса x и в этом смысле является условной характеристикой. Для получения используемой далее безусловной характеристики необходимо этот параметр усреднить относительно априорной плотности вероятностей p(xn+1) q0,n+1=Mx{qx,n+1}. (4.191) Для линейной задачи имеет место тождество qx,n+1=q0,n+1.

Для многомерных процессов отыскивается соответствующая матрица, диагональные элементы которой являются отношением сигнал/шум для каждой компоненты оцениваемых процессов.

Например, при локальной гауссовской аппроксимации указанная матрица имеет вид T Sn+1(xn+1) Sn+1(xn+1) - Q,n+1, xn+1 xn+1 D где Q,n+1 и D0 - диагональные матрицы соответственно размеров (qq) и (rr); Sn+1(xn+1)/xn - матрица Якоби размера (qr), компонента которой Si,n+1(xn+1)/xj,n+1 (i - номер строки, j - номер столбца).

4.11.2. НЕРАВЕНСТВО КРАМЕРА-РАО 4.11.2.1. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ОЦЕНИВАЕМОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В практических задачах получение точных алгоритмов оптимальной оценки наталкивается на серьезные технические трудности. Поэтому прибегают к приближенным методам решений уравнений оптимизации, что приводит к замене оптимальных алгоритмов квазиоптимальными. При обосновании применения квазиоптимальных алгоритмов важным является оценка потерь, вызванных неоптимальностью используемых алгоритмов. Для ее получения необходимо определить нижнюю границу дисперсии ошибки. И по степени близости к ней можно судить об эффективности используемых квазиоптимальных алгоритмов.

Указанная граница может быть получена в общем виде для широкого класса задач и разных типов наблюдаемых сигналов.

При оценке параметра - случайной величины x по результатам наблюдения y указанная граница формируется на основании неравенства Крамера-Рао: средний квадрат (дисперсия) ошибки для любой несмещенной оценки параметра удовлетворяет этому неравенству - 2 ln p(x, ytt D = M{(x - x)2} -M (4.192), =| x - x | x или - 2 ln p(ytt | x) 2 ln p(x) D -M + M, x2 x где p(x, ytt ) и p(x) - априорная совместная плотность вероятностей параметра и наблюдаемого сигнала и априорная плотность вероятностей параметра. Математическое ожидание в правой части неравенства (4.192) берется относительно p(x, ytt ). При выводе этого неравенства используют очевидное соотношение для точечной несмещенной оценки M{ x }=x, где усреднение проводится с плотностью вероятностей p( ytt |x). На основании соотношения M{( x -x)}=0 имеем (4.193) (x - x) p(ytt | x)dytt = 0.

0 Умножим обе части выражения (4.193) на p(x), а затем продифференцируем по x, получаем p(x, ytt ) p(x, ytt )dytt = (x - x) dytt. (4.194) 0 0 x - После интегрирования обеих частей выражения (4.194) по x приходим к следующему соотношению p(x, ytt ) (x - x) x dxdytt = 1 или с учетом - p(x, ytt ) ln p(x, ytt ) 0 = p(x, ytt ) (4.195) x x имеем ln p(x, ytt ) dxdyt = {(x - x) p(x, ytt )} p(x, ytt ) t 0 x - при условии дифференцируемости плотностей вероятностей по x и существования приведенных интегралов.

Используем теперь неравенство Коши-Буняковского, которое приводит к соотношению ln p(x, ytt ) (x - x)2 p(x, ytt )dxdytt x p(x, ytt )dxdytt 0 0 0 - - - или - ln p(x, ytt ) D =.

(x - x)2 p(x, ytt )dxdytt M 0 - - x Далее продифференцируем p(x, ytt )dxdytt = 1 дважды по x и 0 - с учетом (4.195) получаем ln p(x, ytt )2 ln p(x, ytt ) 0 M =, -M x x что и доказывает неравенство (4.192).

Оценка, для которой дисперсия ошибки, достигает нижней границы называется эффективной.Анализ показывает, что для существования эффективной оценки АПВ – p(x| ytt ) должна быть гауссовской. При анализе квазиоптимальных алгоритмов нижняя граница определяет потенциальную точность систем фильтрации.

Неравенство Крамера-Рао обобщается на задачу оценивания вектора параметров x=||x1...xr||T. В этом случае ошибки оказываются коррелированными и их совокупность описывается матрицей дисперсий ошибок D, (i,j) компонента которой равна M{( x -xi)( x -xj)}, i,j=1, r. Неравенство Крамера-Рао для нижней i j границы имеет вид DJ-1, (4.196) где J-1 - матрица, обратная матрице Фишера, компоненты которой ln p(x, ytt ) ln p(x, ytt ) 2 ln p(x, ytt ) 0 0 Jij = M = -M.

xi x xix j j Все оценки являются эффективными, если D=J-1, что имеет место при гауссовском характере многомерной АПВ. Компоненты главной диагонали матрицы J-1 являются нижними границами дисперсий ошибок соответствующих параметров.

4.11.2.2. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ОЦЕНИВАЕМОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА При фильтрации случайного процесса последний необходимо представить в виде последовательности случайных величин - временных отсчетов в дискретные моменты tj, j=1,n +1, n+объединенных в вектор x1 ={x1,...,xj,...,xn+1}.

Нахождение нижней границы для дисперсии ошибки сводится к определению матрицы Фишера в соответствии с выражением (4.196).

Однако, при этом возникают трудности вычислительного характера из-за необходимости обращения матрицы Фишера высокого порядка, который возрастает с увеличением номера момента времени tn.

Существенно упрощает вычислительный процесс переход к диагональной матрице, для которой только компоненты, расположенные на главной диагонали, не равны нулю: Jij=0, ij; Jij0, i=j.

Сначала рассмотрим задачу фильтрации дискретизированного во времени одномерного марковского процесса (4.67) при наличии независимой от полезного сигнала аддитивной помехи типа белого шума. Представим совместную плотность вероятностей векторов случайных величин x1j и наблюдаемых сигналов y1j для момента времени tj в виде p(x1j,y1j )=p(y1j )p(x1j |y1j ).

В разд.4.6.2 показано, что для марковских процессов последовательность плотностей вероятностей {p(x1j,y1j )} эквивалентна последовательности, полученных с помощью рекуррентного алгоритма выражений АПВ {p(xj|y1j )}={wj(xj)}, j=1,...,n+1, где АПВ для момента времени tj определяется из соотношения ~ wj(xj)=cjp(yj|xj) wj-1(xj).

Эквивалентность здесь означает переход к выражению АПВ, позволяющему определить оценку x по результатам наблюдения для j того же момента времени yj и некоторой статистики от всех предшествующих наблюдений y1j -1.

На основании указанного условия эквивалентности можно записать p(x1j, y1j ) = p( y1j ) p(x1j | y1j ) p( y1j ) p(x | y1j ) = j (4.197) ~ = c p( y | x )wj -1(x ) j j j j где c=cp(y1j).

Прологарифмируем в выражении (4.197) стоящее справа от стрелки соотношение, а затем определим вторые производные функции lnp(xj|y1j) по параметрам xk и xl, k,l=1, j. Поскольку функции ~ lnp(yj|xj) и ln wj-1(xj) зависят только от отсчета процесса x - в момент времени tj, не равной нулю оказывается вторая производная функции lnp(xj|y1j) по xj.

В случае линейной задачи и фильтрации одномерного гауссовского марковского процесса ФП имеет вид (4.69). Используя методику разд.4.7.1 после вычислений имеем 2 ln p(x | y1j ) 2 ln p(x1j, y1j ) j = -(g2 j + C2Qj1), j = 1, n +1. (4.198) j xkxl xj Для получения нижней границы дисперсии ошибки необходимо сначала усреднить выражение (4.198) с вероятностью p(x1j,y1j), а затем изменить его знак на обратный. Ввиду того, что это выражение не зависит от процессов x и y компоненты главной диагонали Фишера принимают вид Jjj=g2j+C2Qj1, Jij=0 при ij.

j С учетом параметра отношения сигнал/шум нижняя граница дисперсии ошибки оценки равна Dj=(g2j+q0j/D0)-1.

Покажем, что диагональной матрице Фишера соответствуют наиболее эффективные оценки. Ограничимся рассмотрением матрицы второго порядка. Для двух отсчетов x1 и x2 дисперсия совместно эффективных оценок имеет вид J22 1 J11 D11 = =, D22 = =, 2 | J | | J | J12 J J111- J221J11J22 J11J где |J|=J11J22-J12J21, J12=J21.

Умножим вторые слагаемые в круглых скобках на сомножитель |J|2/|J|2, получим 1 D11 = -, (4.199) 2 2 2 ln p(x1, y1 ) k M 1D11Dx 1 D22 = -, (4.200) 2 2 2 ln p(x1, y1 ) k M 1D11Dx где k12=k21=J12/|J|.

Первые сомножители в выражениях (4.199) и (4.200) являются компонентами диагональной матрицы Фишера. Из этих выражений следует, что наличие конечных корреляций между ошибками оценок приводит к увеличению дисперсии ошибок оценок. И только при k12=k21=0 дисперсии ошибок оказываются наименьшими по величине, а оценки, следовательно, наиболее эффективными.

Таким образом, для линейной задачи нижняя граница дисперсии ошибки для момента времени tn+1 равна ранее вычисленной дисперсии ошибки оптимальной оценки (4.76) ~ ~2 2 ~ 2 -1 (g2,n+1 + Cn+1Q,n+1)-1 = Dn+1 - Dn+1Cn+1[Dn+1Cn+1 + Q,n+1]-1, ~ -где g2,n+1= D.

n+Для нелинейной задачи при локальной гауссовской аппроксимации (порядок аппроксимации K=2) с наблюдаемым сигналом (4.107) и ФП (4.108) вторая производная логарифма совместной плотности оцениваемого процесса и наблюдаемого сигнала 2 ln p(x, y1j ) 2 ln p(x1j, y1j ) j = -{g2 j - (j2) (x )} j = 1, n +1, (4.201) j xkxl xj где вторая производная логарифма ФП 2S (x ) S (x ) j j j j (j2)(x ) = Qj1[y - S (x )] -.

j j j j x2 x j j Усредним выражение (4.201) относительно плотности вероятностей p(x1j,y1j). После перемены знака получим 2 ln p(x j, y1j ) 2 ln p(x1j, y1j ) - M -M = g2 j - M{(j2) (x )}.

j xkxl 2x j Обратим внимание, что функция (j2) (xj) зависит от отсчетов процесса x в момент времени tj. Поэтому математическое ожидание от этой функции следует брать с плотностью вероятностей p(xj,yj) и в два этапа: сначала с условной плотностью вероятностей p(yj|xj) затем с априорной плотностью вероятностей p(xj)Mx{}. Учитывая, что M{yj|xj}=Sj(xj), получим компоненты диагональной матрицы Фишера S (x ) j j J = g2 j - M{(j2)(x )} = g2 j + Qj1M = jj j x x j = g2 j - M {2(x )}.

x j j Или, используя параметр безусловного отношения сигнал/шум (4.191), имеем Jjj=g2j+q0j/D0, (4.202) где S (x ) j j q0 j = Qj1D0M. (4.203) x x j В этом случае дисперсия ошибки оценки удовлетворяет неравенству -Dj J, j = 1, n +1. (4.204) jj Для случайных точечных процессов, используя аналогичный подход, также можно определить для j-го момента времени на основании безусловного отношения сигнал/шум компоненты диагональной матрицы Фишера (4.202) и получить соответствующее неравенство для оценки снизу дисперсии ошибки (4.204), где S (x ) j j qoj = tD0M [S (x ) +0 j ]-1. (4.205) x j j x j -Определение нижней границы J с учетом (4.203) и (4.205) изjj за необходимости усреднения при произвольном характере p(x) является технически сложной в вычислительном отношении задачей.

Если плотность вероятностей p(x) аппроксимируется гауссовским распределением, а нелинейные функции имеют аналитический вид, то подобно рассмотренному в разд.4.8.3 методу в ряде задач удается определить статистические характеристик нелинейных функций. В более сложных случаях эти характеристики можно получить, осуществив кусочно-линейную аппроксимацию нелинейных функций.

Получение этой границы при некоторых допущениях не связаны с большими трудностями. Так, при большом отношении сигнал/шум ошибки оценок оказываются малыми, а уравнения фильтрации при гауссовском приближении практически точными. Компоненты матрицы Фишера в этом случае принимают вид S (~j ) x J g2 j + Qj1 j jj ~j x или для точечных процессов S (~j ) x J g2 j + t j [S (~j ) + ]-1.

x jj 0 j ~j j x ~ Нижними границами после замены g2j= D-1 являются решения уравнений (4.126) или (4.184).

Для многомерных процессов и линейной задачи условие эквивалентности для многомерной плотности вероятностей имеет вид 2 ln p(x, y1j ) 2 ln p(x1j, y1j ) ~ ~ j - - = -{D-1 + CTQj1C } = -{D-1 + q0 jD0 }, j j j j xkxl xj где диагональная матрица размера (rr) отношений сигнал/шум q0 j = CTQj1C D0}; xk, xl, xj - векторы оцениваемых процессов для j j различных моментов времени размера (r1), Cj - матрица размера ~ (qr), Qj, D0 и D-1 - диагональные матрицы соответственно размеров j (qq), (rr) и (rr).

В этом случае матрица нижних границ дисперсий ошибок равна ~ -Dj = [D-1 + q0 jD0 ]-1, j = 1, n +1.

j Для нелинейной задачи при гауссовской аппроксимации матрица нижних границ дисперсий ошибок определяется из неравенств -T ~ D-1 + M x S j (x j ) Qj1 S j (x j ) Dj j x x j j для дискретных систем;

T ~ D-1 + tM x S j (x j ) [S j (x j ) +oj ]-1 S j (x j ) Dj x j x j j для точечных процессов, где Sj(xj)/xj - матрица Якоби размера (qr), Qj и [Sj(xj)+0j]-1 - диагональные матрицы размера (qq).

4.12. УЧЕТ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В задачах оптимального управления используются по сравнению с ранее рассмотренными (4.120) более полные учитывающие управление модели состояния системы. Управление входит в уравнение состояний системы в виде детерминированной аддитивной составляющей – последовательности сигналов управления {un}, зависящих от оценок состояния системы в дискретном времени xn+1=xn+tfn(xn)+Vnun+nn, x0=x(0), (4.206) где Vn детерминированная матрица коэффициентов обратной связи размера (rq), un - вектор управления размера (q1).

Наряду с (4.206) в задачах управления используется сокращенная запись уравнений xn+1=fn(xn,un,n) (4.207) или xn+1=fn(xn)+Vnun+nn. (4.208) С помощью сигналов {un} осуществляется целенаправленное управление динамическими системами.

С учетом управления получим рекуррентные уравнения оценки и дисперсии ошибки оценки в линейной задаче для скалярных и многомерных процессах, а также для задач гауссовской локальной и статистической линеаризации.

Для скалярных процессов уравнение одномерного гауссовского марковского процесса имеет вид xn+1=nxn+vnun+nn, x0=x(0), (4.209) где n=1+tfn, vn - детерминированный зависящий от времени параметр обратной связи.

С учетом ФП (4.69) можно получить рекуррентные уравнения фильтрации: оценки (4.71) и дисперсии ошибки оценки (4.72).

Остановимся подробней на определении экстраполированных параметров. Экстраполированная оценка на основании формулы (4.53) равна ~ ~ xn+1 = xn+1wn(xn+1)dxn+1 = nxn + vnun, n так как M{vnun|y1 }=vnun.

Для экстраполированной дисперсии уравнение (4.54) сохраняет свой вид ввиду детерминированного характера управления. Как следует из полученных выражений, введение сигналов управления отражается только на форме экстраполированной оценки, остальные входящие в рекуррентные алгоритмы выражения и уравнения сохраняют свой вид. Используя аналогичный подход, можно определить рекуррентные алгоритмы для других задач оценивания состояния системы при наличии управляющих сигналов.

Линейная задача фильтрации многомерных процессов.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.