WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 32 |

Используя далее методику, изложенную в разд.4.6.2, заменив yn+1 и yn соответственно на Nn+1 и Nn приходим к рекуррентным алгоритмам обнаружения n ~ n+1 = P(Nn+1 | xn+1)wn(xn+1)dxn+1, 0 = (0) (4.174) P(Nn+1) и фильтрации ~ wn+1(xn+1) = cn+1P(Nn+1 | xn+1)wn(xn+1), w0(x0) = p(x0). (4.175) ~ где wn(xn+1) и wn+1(xn+1) - соответственно экстраполированная (ЭПВ) и апостериорная (АПВ) плотности вероятности, - ~ cn+1 = P(Nn+1 | xn+1)wn(xn+1)dxn+1.

- Полученные рекуррентные алгоритмы совместного обнаружения и фильтрации позволяют формировать в дискретном времени шаг за шагом, начиная с априорных данных (начальных условий), оценки марковского процесса и статистики отношения правдоподобия с помощью многоканального устройства, структурная схема которого представлена на Рис. 4.3.

Устройство включения (УВ) в конечный момент времени tm пропускает сформированную в блоке формирования отношения правдоподобия (БФОП) статистику lnm на пороговое устройство (ПУ). В нем в результате сравнения lnm с порогом выносится решение о наличии (=1) или отсутствии (=0) полезного сигнала.

После превышения порога в ПУ (решение 1) с выхода ключевого устройства (КУ) поступает полученная в блоке фильтрации (БФ) оценка (если 1 верно) или псевдооценка (если 1 ложно).

оценка xn+~ wn БФ КУ wn Nn+БЗ wn+1(=1) lnn+1 lnm БФОП УВ ПУ 0(=0) БЗ Рис. 4.3. Структурная схема системы совместного обнаружения и фильтрации для случайного точечного процесса.

4.10.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АПОСТЕРИОРНЫХ ПАРАМЕТРОВ Решение задачи синтеза, как уже было отмечено ранее, также возможно путем определения заменяющих АПВ параметров:

апостериорного среднего (4.39) и апостериорных центральных моментов разного порядка (4.40) и (4.41). В качестве исходных выражений рассматриваются рекуррентные уравнения обнаружения (4.174) и фильтрации (4.175). Используя методику разд.4.6.3, можно получить систему уравнений относительно апостериорных параметров разного порядка (4.45), (4.46) и (4.47), где n+1(xn+1)=lnP(Nn+1|xn+1) - логарифм ФП. В дальнейшем задача решается в рамках корреляционной теории, т.е. на основе использования апостериорных параметров первых двух порядков, что приводит к необходимости гауссовской аппроксимации, требования которой рассматривались в разд.4.8.1.

В задачах синтеза при передаче информации фотонным излучением могут быть получены только нелинейные уравнения оценки и дисперсии ошибки оценки. Квазиоптимальный подход для решения этих задач приводит к необходимости использования методов локальной гауссовской аппроксимации и статистической линеаризации нелинейных функций.

4.10.3.1. МЕТОД ЛОКАЛЬНОЙ ГАУССОВСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ Для скалярных процессов рекуррентные уравнения для * апостериорного среднего оценки xn+1 и дисперсии ошибки оценки Dn+1=(h2,n+1)-1 при K=2 на основании соотношений (4.45) и (4.47) имеют вид * * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+1(1)1(~n+1), x0 = x(0), (4.176) x n+ ~ ~ Dn+1 = [g2,n+1 - (2)1(~n+1)]-1 = Dn+1{1- Dn+1(2)1(~n+1)}-1, x x n+ n+ (4.177) D0 = D(0), ~ ~ где xn+1 и Dn+1 - экстраполированные оценки и дисперсии ошибки оценки, для марковских процессов определяются из выражений (4.112) и (4.114).

С учетом замечания о зависимости ФП на шаге n+1 от марковского процесса для того же момента времени одношаговая функция правдоподобия записывается в форме распределения Пуассона {[Sn+1(xn+1) +0,n+1]t}Nn+P(Nn+1 | xn+1) = (4.178) Nn+1! exp{-[Sn+1(xn+1) +0,n+1]t}, где Sn+1(xn+1) - модулируемая интенсивность (полезный сигнал), 0,n+1 - заданная детерминированная составляющая интенсивности случайного потока, включающая фоновую и другие известные неслучайные сигналы.

~ Первая и вторая производные логарифма ФП по xn+1= xn+соответственно равны Sn+1(~n+1) / ~n+x x (1)1(~n+1) = {Nn+1 -[Sn+1(~n+1) +0,n+1]t},(4.179) x x n+ Sn+1(~n+1) +0,n+x Nn+1 -[Sn+1(~n+1) +0,n+1]t x 2Sn+1(~n+1) x (2)1(~n+1) = x n+ Sn+1(~n+1) +0,n+x xn+ (4.180) Sn+1(~n+1) / ~n+x x - Nn+1.

x n+S (~n+1) +0,n+В результате использования выражений (4.179) и (4.180) соответственно в (4.176) и (4.177) получим рекуррентные уравнения оценки и дисперсии ошибки оценки. К рекуррентному алгоритму ОП можно прийти после подстановки (4.178) в выражение (4.174) с (0,n+1t)Nn+учетом P(Nn+1) = exp{-0,n+1t}. Имеем N! Nn+ Sn+1(xn+1) n+1 = n +1 exp{-Sn+1(xn+1)t} (4.181) 0,n+- ~ wn(xn+1)dxn+1, 0 = (0).

Реализация рекуррентных алгоритмов (4.176), (4.177) и (4.181) после подстановки соотношений (4.179) и (4.180) в уравнения (4.176) и (4.177) наталкивается на серьезные технические трудности. Задача заключается в привлечении таких приближенных методов, которые при минимальных потерях качества обработки позволили бы получить пригодные для использования на практике расчетные процедуры. Одним из таких подходов является рассмотренный в разд.

4.8.2 расширенный фильтр Калмана. Следуя этому подходу, усредним функцию (2)1(xn+1) относительно условной вероятности n+ P(Nn+1|xn+1). Учитывая, что M{Nn+1|xn+1}=[Sn+1(xn+1)+0,n+1]t, получаем t[Sn+1(~n+1) / ~n+1]x x ( n2)1(~n+1) = -. (4.182) x + Sn+1(~n+1) +0,n+x В результате подстановки соотношений (4.179) и (4.182) соответственно в выражения (4.176) и (4.177) после преобразований приходим к рекуррентным уравнениям фильтрации Sn+1(~n+1) / ~n+x x * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+Sn+1(~n+1) +0,n+x (4.183) * {Nn+1 -[Sn+1(~n+1) +0,n+1]t}, x0 = x(0), x ~ Dn+1 = Dn+1 ~Dn+1[Sn+1(~n+1) / ~n+1]x x -, (4.184) ~ Dn+1[Sn+1(~n+1) / ~n+1]2 +[Sn+1(~n+1) +0,n+1]/ t x x x D0 = D( 0 ).

При анализе уравнений (4.183) и (4.184), как и для дискретных систем, можно прийти к заключению, что уравнение оценки нелинейно относительно самой оценки, а уравнение дисперсии зависит от оценки и его необходимо решать совместно с уравнением оценки.

Кроме того, при сравнении (4.183) и (4.184) с уравнениями (4.116) и (4.117) обнаруживается, что вместо спектральной плотности ~ белого шума N присутствует выражение [Sn+1( xn+1)+0,n+1]. Это указывает на наличие в задачах фильтрации фотонного излучения эквивалентного дискретного шума (квантового шума) с условной ~ дисперсией [Sn+1( xn+1)+0,n+1]/t. В связи с этим обратим внимание на одно важное обстоятельство, отличающее синтез для точечных процессов от ранее рассмотренных алгоритмов обнаружения и фильтрации. В рассматриваемом случае ввиду зависимости параметров шума от оценок марковского процесса не удается сформировать уравнение наблюдения, представляющего собой аддитивную смесь полезного сигнала и независимой от него помехи.

Поэтому определение параметров эквивалентного шума, обусловленного квантовой природой носителя (фотонного излучения) информации, является одним из существенных моментов при определении алгоритмов совместного обнаружения и фильтрации.

Более подробное обоснование введения эквивалентного белого шума и определение его параметров будет проведено в разд.4.11.

В задачах передачи информации фотонным излучением, как уже ранее отмечалось, наиболее существенным источником ошибки является квантовый шум. Вместе с тем в фотонных системах присутствуют шумы, которые в математической модели наблюдаемого сигнала для многих практических ситуаций можно учесть в виде аддитивной независимой от оцениваемого процесса случайной составляющей с гауссовским распределением. К числу таких шумовых сигналов, которые назовем внешними шумами, можно отнести шумы электронных схем, темновой ток детекторов, квантованный шум цифровых фильтров и т.д. Рассмотрим один из возможных приближенных подходов, учитывающий этот внешний шум и позволяющий получить физически содержательные результаты в рамках корреляционной теории. Принимая во внимание, что параметры помехи в ранее рассмотренных рекуррентных уравнениях фильтрации учитывались в виде дисперсии, предлагается дополнить ее дисперсией эквивалентного белого шума. В результате дисперсия суммарного шума в дискретном времени принимает вид ~ D,n+1[N,n+1+Sn+1( xn+1)+0,n+1]/t, где N,n+1/t - дисперсия дискретного внешнего шума.

Необходимо также учесть, что модулирующий случайный процесс принимает с некоторой вероятностью отрицательное значение (например, гауссовский марковский процесс) и не может точно формировать модулируемую интенсивность, которая принципиально является положительной величиной. Для сведения к минимуму нежелательных искажений будем полагать, что дисперсия модулируемой интенсивности M{Sn+1(xn+1)}-{M{Sn+1(xn+1)}}существенно меньше квадрата безусловной интенсивности {M{Sn+1(xn+1)}}2. В этом случае вероятность появления отрицательного значения Sn+1(xn+1) пренебрежимо мала (правило трех сигм).

Эффективность функционирования разработанных алгоритмов ввиду дискретного характера отсчетов наблюдаемого сигнала зависит от полосы пропускания частот (или обратной величины – интервала корреляции) модулирующего марковского процесса. Для минимизации ошибочных решений необходимо обеспечить x>>t, где x - интервал корреляции процесса, t - интервал отсчетов точечного процесса.

Рассмотрим одну частную задачу, в которой скалярный наблюдаемый сигнал в виде последовательности целочисленных отсчетов {Nn} зависит от какой-либо компоненты многомерного марковского процесса, например x1n. Поскольку соответствующие алгоритмы получают таким же путем что и в скалярном варианте задачи разд.4.7.2, приведем окончательные выражения алгоритма фильтрации в векторной форме Sn+1(~1,n+1) x ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Rn+~1,n+x - Sn+1(~1,n+1) x ~ tD11,n+ + Sn+1(~1,n+1) +0,n+x ~1,n+x * [Nn+1 - (Sn+1(~1,n+1) +0,n+1)t], x0 = x(0), x Sn+1(~1,n+1) x ~ ~ Dn+1 = Dn+1 - Tn+ ~1,n+x - Sn+1(~1,n+1) Sn+1(~1,n+1) +0,n+x x ~ D11,n+ +, D0 = D(0).

~1,n+1 t x ~ ~ где R =||D11,n+1...Dr1,n+1||T, T - матрица размера rr, компонента n+~ ~ которой D Dj1,n+1, i,j=1, r.

i1,n+При формировании рекуррентных алгоритмов фильтрации квазидетерминированного процесса вида (4.89) учитывается, что оператор ФПК равен нулю, а уравнение АПВ имеет вид (4.91).

Первая и вторая производные логарифма ФП для расширенного фильтра Калмана принимают векторно-матричные формы * * [Sn+1(an) / an]T * * (1)1(an) = [Nn+1 - (Sn+1(an +0,n+1)t] (4.185) n+ * Sn+1(an) +0,n+T * * t Sn+1(an) Sn+1(an) ( * n2)1(an) =, (4.186) + * * * Sn+1(an) +0,n+1 an an где Sn+1(a* )/a* - вектор-строка из компонент Sn+1(a* )/ajn, n n n j=1,k.

После подстановки выражений (4.185) и (4.186) в уравнения (4.61) и (4.62), используя тождество (4.85), а также соотношение (4.87), получим рекуррентный алгоритм фильтрации параметров квазидетерминированного процесса T * Sn+1(an) * * an+1 = an + Dn * an -T * * Sn+1(an) Sn+1(an) * t + Sn+1(an) +0,n+* * an Dn an * * [Nn+1 - (Sn+1(an) +0,n+1)t], a0 = a(0), T * * Sn+1(an) Sn+1(an) Dn+1 = Dn - Dn * * an an Dn -* * * Sn+1(an) Sn+1(an) T Sn+1(an) +0,n+ +, * * Dn t an an D0 = D(0).

где выражения в квадратных скобках являются скалярными величинами.

4.10.3.2. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Нелинейные функции fn(xn) и Sn+1(xn+1) аппроксимируются выражениями (4.137) и (4.138) для скалярных процессов или (4.147) и (4.148) для многомерных процессов. Первая и вторая производные логарифма ФП (4.178) для определения соответствующих рекуррентных уравнений могут быть получены согласно методике разд.4.10.3.1. Ввиду единообразной процедуры получения этих рекуррентных уравнений приведем окончательные выражения уравнений оценки и дисперсий ошибки оценки для типовых задач при скалярном наблюдаемом сигнале в виде целочисленных отсчетов случайного потока на непересекающихся и примыкающих к друг другу подынтервалах (tn,tn+1) наблюдаемого интервала (t1,tn+1).

Фильтрация скалярных процессов - S0,n+1 ~ S0,n+1 ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+1 t + S0,n+1 +0,n+Dn+x x ~n+1 ~n+ * [Nn+1 - (S0,n+1 +0,n+1)t], xo = x0, -S0,n+1 2 S0,n+1 +0,n+ ~ ~2 S0,n+1 ~ Dn+1 = Dn+1 - Dn+1, Dn+1 + ~n+1 ~n+1 t x x Do = D(0), ~ ~ где экстраполированные параметры xn+1 и Dn+1 определяются из выражений (4.143) и (4.144).

Фильтрация компоненты многомерного марковского процесса - S0,n+1 ~ S0,n+~ * ~ tD11,n+xn+1 = xn+1 + Rn+1 + S0,n+1 +0,n+ ~1,n+1 ~1,n+x x * [Nn+1 - (S0,n+1 +0,n+1)t], xo = x(0), -2 S0,n+1 ~ S0,n+1 S0,n+1 +0,n+~ ~ D11,n+Dn+1 = Dn+1 - Tn+1 +, ~1,n+1 ~1,n+1 t x x Do = D(0), ~ ~ где вектор R и матрица T приведены в разд.4.10.3.1.

n+1 n+Фильтрация параметров квазидетерминированного процесса.

-T T S0,n+1 S0,n+1 S0,n+* * an+1 = an + Dn * t * Dn * + S0,n+1 +0,n+an an an * [Nn+1 - (S0,n+1 +0,n+1)t], a0 = a0, T S0,n+1 S0,n+ Dn+1 = Dn - Dn * * Dn an an - S0,n+1 S0,n+1 T S0,n+1 +0,n+ +, D0 = D(0).

t * Dn * an an 4.11. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ 4.11.1. ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ Введем параметр отношение сигнал/шум (отношение мощности полезного сигнала к мощности помехи) для дискретного времени ( qx,n+1=- n2)1(xn+1)D0, (4.187) + где D0 - мощность (априорная дисперсия) оцениваемого ( процесса, n2)1(xn+1) - введенная в разд.4.8.2 усредненная с + плотностью вероятностей p(yn+1|xn+1) вторая производная логарифма ФП. Операцией усреднения добиваются независимости параметра qx от флуктуации наблюдаемого сигнала y. Физический смысл формулы (4.187) можно раскрыть на основании следующих соображений.

Мощность помехи зависит от ширины ФП (ФП полагаем унимодальной функцией). Чем шире ФП, тем больше мощность ( помехи. Функция n2)1(xn+1) пропорциональна средней крутизне ФП + для всех значений y в точке, соответствующей состоянию xn+1. Чем «шире» ФП, тем меньше крутизна и, следовательно, меньше параметр qx.

Для линейной задачи ФП имеет вид (4.69) и этот параметр не зависит от xn+2 -qx,n+1 = Cn+1Q,n+1D0, Q,n+1=N,n+1/t. (4.188) Для нелинейных задач в случае гауссовского приближения при локальной гауссовской аппроксимации на основании соотношения (4.115) этот параметр равен Sn+1(xn+1) - qx,n+1 = Q,n+1, D0. (4.189) xn+ Для точечных процессов и локальной гауссовской аппроксимации на основании соотношения (4.182) этот параметр оказывается равным Sn+1(xn+1) qx,n+1 = t [Sn+1(xn+1) +0,n+1]-1D0.

xn+ По аналогии с предыдущим введем усредненную дисперсию ( ошибки Dn+1 = h2-1, h2-1 = [g2,n+1 - n2)1(xn+1)]-1 или,n+1,n+1 + qx,n+1 - Dn+1 =. О качестве фильтрации будем судить по 2,n+g + D относительной дисперсии ошибки n+1 = Dn+1 / D0 = [g2,n+1D0 + qx,n+1]-1. (4.190) Как следует из (4.190), относительная дисперсия ошибки, соответствующая моменту времени tn+1, с увеличением qx уменьшается и в асимптотике при qx,n+1/g2,n+1D0>>1 стремится к qx,1n+1, т.е. не зависит от дисперсий D0 и g2,n+1.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.