WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 32 |

На основании формул (4.156) и (4.157) апостериорная оценка и дисперсия ошибки оценки определяется из соотношений xm = xmwnm(xm)dxm, (4.158) Dm = (h2m)-1 = m (x - xm)2 wnm(xm)dxm, (4.159) n где апостериорная плотность вероятностей wnm(xm)=p(xm| y1 ).

При m=n АПВ соответствует задаче фильтрации, при m>n - задаче экстраполяции, при m

4.9.2. АЛГОРИТМ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ Поскольку оцениваемый процесс марковский, на первом шаге экстраполяции при отсутствии наблюдения имеем ЭПВ (4.35)*) wn,n+1(xn+1) = (xn+1 | xn)wn(xn)dxn, где wn(xn) - апостериорная плотность вероятностей, соответствующая последнему измерению на шаге n, (xn+1|xn) - переходная плотность вероятностей, параметры которой определяются уравнением ФПК. Продолжая процедуру получения экстраполяционных оценок, приходим к рекуррентному алгоритму *) Для удобства дальнейших преобразований обозначение экстраполированной плотности изменено.

wn,m+1(xm+1) = (xm+1 | xm)wnm(xm)dxm (4.160) при начальном условии wnn(xn)=wn(xn).

Подставляя выражение (4.160) в формулы (4.158) и (4.159), получим экстраполяционные оценку и дисперсию ошибки оценки.

Рассмотрим точное решение задачи экстраполяции одномерного гауссовского стационарного марковского процесса (2.46) с коэффициентом корреляции на интервале дискретизации r(t)=kx(t)/Dx=exp{-|t|}.

Переходная плотность вероятностей для этого случая на основании формулы (2.4) равна [xm+1 - xmr(t)] (xm+1 | xm) = [2Dx (1- r2(t)]-1/ 2 exp, (4.161) 2Dx[1- r2(t)] где r(t)=r(t1,t2), t=t2-t1, Dx=N/2 - априорная дисперсия марковского процесса.

Поскольку xn и помеха – дискретный белый шум n являются гауссовскими, то АПВ также является гауссовской плотностью вероятностей wnm(xm) = A1 exp- h2nm(xm - xnm)2. (4.162) Подставляя формулы (4.161) и (4.162) в выражение (4.160) после вычисления интеграла и приравнивания соответствующих членов по разные стороны равенства этого выражения, приходим к рекуррентному алгоритму определения оценки и дисперсии ошибки оценки прогноза x = x r(t), x = x, n,m+1 nm nn n h2n,m+1=(Dn,m+1)-1=h2n,m[h2n,mDx(1-r2(t))+r2(t)]-1, h2nn=h2n или Dn,m+1=Dnmr2(t)+Dx[1-r2(t)], Dnn=Dn, где начальные условия xn и Dn являются оценкой и дисперсией ошибки оценки при последнем измерении процесса.

Приведем также рекуррентные выражения, в которых начальные условия входят непосредственно x = x rm-n+1(t), (4.163) n,m+1 n Dn,m+1=Dnr2(m-n+1)(t)+Dx[1-r2(m-n+1)(t)]. (4.164) Выражения в форме (4.163) и (4.164) пригодны для корреляционной функции экспоненциального вида. Для других процессов, как например, фрактальных корреляционная функция имеет степенной характер. Поэтому, введя параметр смещения k=m-n+1, эти выражения можно записать в более общем виде x = x r(k;t), n+k n Dn+k=Dnr2(k;t)+Dx[1-r2(k;t)].

Полученные результаты можно обобщить на случай, когда измерения производятся точно. В этой частной задаче Dn=0 и xn соответствует последнему измерению без помех. Рекуррентные алгоритмы экстраполяции в этом случае принимают вид x =xnr(k;t), (4.165) n+k Dn+k=Dx[1-r2(k;t)]. (4.166) 4.9.3. АЛГОРИТМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В инженерной практике в зависимости от роли, которые выполняют моменты времени оценивания t1 и наблюдения t, рассматриваются три вида задач интерполяции. Если зафиксировать момент времени t, то оценка рассматривается как функция изменения t1, чему соответствует обратная интерполяция. Если зафиксировать момент времени t1, то оценка строится как функция изменения момента t - прямая интерполяция. И, наконец, можно зафиксировать разность t-t1 и рассматривать задачу интерполяции с постоянным запаздыванием. Ниже рассматривается задача обратной интерполяции в дискретном времени. С другими задачами интерполяции можно ознакомиться в работах [5,47,48].

Как и в предыдущем случае, необходимо найти АПВ n wnm(xm)=p(xm| y1 ) при m

В отличие от задачи экстраполяции, когда требовалось знание конечной плотности вероятности wn(xn), в задаче обратной интерполяции необходим набор АПВ. Поэтому в этом случае, кроме блока фильтрации, необходим блок запоминающих функций wm(xm).

Этот блок подает соответствующие значения этих функций в последовательные моменты времени на схему с обратной связью, структура которой определяется рекуррентным соотношением (4.170).

Как и в предыдущем случае, представим результаты точного решения задачи интерполяции одномерного гауссовского марковского процесса (2.46). Подставим (4.161), а также соотношения wn,m+1(xm+1), wnm(xm), и wm(xm) в форме (4.162) в выражение (4.170). В результате получаем xn,m+1r() + xmh2mDx[1- r2(t)] xnm =, h2mDx[1- r2(t)] + r2(t) -h2nm = Dnm = h2n,m+1{h2mDx[1- r2(t)] + r2(t)}=, h2n,m+1Dx [1- r2(t)]2h2m + h2n,m+1Dx[1- r2(t)]r2(t) + r2(t) где начальные значения x = x, h2nn=h2n, а характеристики x и nn n m h2m= Dm1 получены из уравнений фильтрации (4.75) и (4.76).

В заключение отметим, что дополнительное наблюдение (y, t1<

4.10. АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ 4.10.1. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ Одной из важных областей приложения моделей случайных процессов – точечных процессов (случайных потоков), являются системы передачи информации фотонным излучением. В фотонных излучениях, к которым относятся оптическое, рентгеновское и гаммаизлучения, заметно проявляется квантовая структура, обусловленная дискретной природой электромагнитного излучения. Возрастающий интерес к проблемам передачи информации фотонным излучением вызван освоением для этих целей наиболее коротковолнового диапазона электромагнитного излучения и внедрением фотонных устройств в системы связи для управления динамическими системами, а также в коммуникационные системы передачи данных.

Случайным потоком моделируются импульсные процессы на выходе детекторов излучений, которые далее поступают в устройства обработки фотонных систем связи для решения задач обнаружения и фильтрации передаваемым этим излучением информации. В этом отношении указанные системы по выполняемым задачам и предъявляемым к ним требованиям – обеспечению надежной передачи информации (в смысле получения оценок процесса с наименьшей погрешностью), не отличаются от рассмотренных ранее систем связи. Отличие состоит в характере наблюдаемого сигнала, модель реализации которого представляет собой модулированный импульсный поток с параметром – модулируемой интенсивностью St(xt), а также в наличии квантового шума (t).

Теория оценивания параметров фотонного излучения базируется на вероятностной концепции квантовых измерений [49,13]. Согласно этой теории при амплитудной модуляции электромагнитного поля посылаемое источником излучения сообщение связано со средним числом (отсчетов в условную единицу времени) зарегистрированных квантов (модулируемой интенсивностью St(xt)) и может быть обнаружено с помощью детектора при наблюдении за скоростью счета импульсных сигналов – реализации случайного импульсного потока (2.84). При описании этих сигналов важно располагать сведениями не только о среднем числе отсчетов, но и о характере флуктуаций их числа около среднего значения, которые задаются функциями распределения или другими статистическими характеристиками. Эти флуктуации (квантовый шум (t)), обусловленные статистическим характером квантовых измерений, расцениваются как мешающие составляющие сигналов и в дальнейшем квалифицируются как эквивалентный шум в задачах обнаружения и фильтрации. Если модуляция фотонного излучения отсутствует, что равнозначно статистической независимости регистрируемых детектором квантов, то их число описывается пуассоновским распределением.

При модуляции излучения случайным процессом вид функции распределения меняется. Для строгого решения задачи оценивания статистику числа отсчетов целесообразно описать с помощью заменяющих эту функцию системами корреляционных или моментных функций первого, второго и более высоких порядков. Для их получения необходимо более полное описание модулированного поля излучения с помощью квантовых корреляционных функций. Как и для обычных случайных процессов, указанная система функций определяется путем функционального дифференцирования логарифма квантовомеханического функционала [50]. Можно показать [51], что сформированный в соответствии с условиями задачи указанный функционал совпадает с классическим функционалом (1.6), описывающим случайный процесс на выходе детектора. Им оказывается случайный импульсный поток (2.84).

Таким образом, при взаимодействии поля излучения с идеальным детектором процесс на выходе последнего аппроксимируется N случайным импульсным потоком ( ) = {tN,t0 < < t}, где tN - 0 отдельная реализация этого потока. Статистические характеристики случайного импульсного потока дают необходимую информацию о поле во временной области в месте расположения детектора. Причем квантовые корреляционные функции, обусловленные корреляциями сообщений и поэтому включающие в себя полную об оцениваемом процессе, однозначно связаны с корреляционными функциями случайного импульсного потока. Следовательно, если сообщение обладает корреляциями вплоть до n-го порядка, то те же по порядку корреляции существуют у модулируемой интенсивности. Таким образом, основным информационным параметром при измерении фотонного излучения является модулируемая интенсивность, которая однозначно связана с передаваемыми этим излучением сообщениями.

При непосредственном наблюдении доступной является не сама модулируемая интенсивность St(xt), зависящая от объединенных в вектор xt самих сообщений и параметров среды распространения излучения, а некоторая связанная с ней реализация случайного импульсного потока. Причем случайность в наблюдении обусловлена статистическим характером квантовых измерений и, возможно, векторным процессом xt, если его компоненты случайные. В общем виде модель вектора наблюдаемого сигнала (случайного импульсного процесса на выходе детектора) описывается случайной функцией от многокомпонентного сообщения и других параметров излучения y(t)=t[St(xt),(t),(t),].

Отметим, что при статистическом описании канала связи переходы входных сигналов x в выходные y задаются условной вероятностью – функцией правдоподобия (ФП). В математическом плане ФП полностью описывает статистические процессы передачи информации в канале связи.

4.10.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ И ОБНАРУЖЕНИЯ Уравнения наблюдения в дискретном времени с учетом обозначения наблюдаемого сигнала (точечного процесса) yn=Nn имеет вид Nn+1=n+1[Sn+1(xn+1),n+1,], (4.171) где xn+1 - скалярный или многомерный марковский процесс.

Остальные обозначения уравнения (4.171) обсуждались в разд.4.6.

При формировании уравнения наблюдения необходимо обратить внимание на то, что ошибки в обнаружении и фильтрации вносят квантовый шум и аддитивная помеха. В фотонных системах в возникновение ошибочных решений наиболее существенный вклад вносит квантовый шум. Поэтому основное внимание при формировании алгоритмов обработки фотонного излучения уделяется учету этого дестабилизирующего фактора, что нашло отражение в записи уравнения (4.171). Учет помехи (собственный шум системы измерения и другие приведенные ко входу системы помехи), описываемой аддитивным гауссовским процессом, будет проведен в конце раздела.

Рассматривается модель наблюдаемого сигнала в виде последовательности целочисленных отсчетов случайного потока {Nn+1>>1} на непересекающихся, примыкающих друг к другу временных подынтервалах (tn,tn+1)*) *) При конкретизации задач синтеза могут использоваться и другие виды наблюдаемых сигналов: случайный ординарный поток точек, последовательность случайных подынтервалов между точками ординарного потока и профильтрованный случайный поток. С алгоритмами фильтрации и обнаружения для перечисленных наблюдаемых сигналов можно ознакомиться в работе [13].

Рассмотрим на временном интервале (t1,tn+1) условную n+вероятность оцениваемого процесса x1 ={x1,x2,...,xn+1} в дискретные моменты времени ti, i=1,2,...,n+1 и случайной величины при n+условии осуществления события N1 ={N1,N2,...,Nn+1} последовательности из n+1 целочисленных отсчетов наблюдаемого n+1 n+сигнала в те же моменты времени – P( x1,| N1 ). Начальное значение x0, соответствующее моменту времени t0, удовлетворяет априорной плотности вероятностей p(x0).

На основании соотношения для условных вероятностей (1.4) можно записать n+1 n P(x1,, Nn+1 | N1 ) n+1 n+1 n+1 n P(x1, | N1 ) = P(x1, | Nn+1, N1 ) =, (4.172) n P(Nn+1 | N1 ) где условная вероятность в числителе (4.172) с учетом условия n факторизации (2.31) и независимости xn+1 от N1 имеет вид n+1 n P(x1,, Nn+1 | N1 ) = n n n+1 n P(x1, = 1| N1 ) (xn+1 | xn)P(Nn+1 | x1, N1 ), (4.173) = n n n, = 0 | N1 ) (xn+1)P(n+1| N1 ).

P(xВведенная во второй строчке формулы (4.173) взамен (xn+1|xn) дельта- функция (xn+1) соответствует состоянию =0, т.е.

отсутствию полезного сигнала.

n+1 n n В условной вероятности P(Nn+1| x1, N1 ) опустим N1, так как n+при =1 отсчет Nn+1 зависит только от x1, а последовательность n отсчетов N1 не дает никакой дополнительной информации при n+наличии x1. Так как отсчет xn+1 в силу марковости процесса зависит только от значения на предшествующем шаге, то наблюдаемый сигнал на шаге n+1 также является марковским процессом, зависящим от исходного марковского процесса для того же момента времени, и рассматриваемая условная вероятность принимает вид P(Nn+1|xn+1). Эта вероятность называется функцией правдоподобия и характеризует статистические процессы передачи информации по n каналу связи. Кроме того, при =0 P(Nn+1| N1 )=P(Nn+1) в виду независимости отсчетов точечного процесса.

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.