WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 32 |

В случае фильтрации многомерного марковского процесса (4.80) и уравнения наблюдения (4.81) соответствующие уравнения оценки и дисперсии ошибки оценки в дискретном времени имеют вид (4.87) и ~ T ~ (4.86). Учитывая что xn+1 = nxn, Dn+1 = nDnT + nQnn, где n n=I+tFn, n=t(tn), Q,n+1=N,n+1/t, Qn=Nn/t, Fn - матрица коэффициентов уравнения состояния, (tn) - диагональная матрица, после предельного перехода t0 получаем уравнения линейной многомерной фильтрации dx(t) - = Ft x(t) + DtCtTN [y(t) - Ct x(t)], x(t0) = x(0), (4.101) t dt dDt -= FtDt + DtFtT + tNttT - DtCtTN Ct Dt, Dt0 = D(0). (4.102) t dt Нелинейное уравнение дисперсии (4.103) является матричным уравнением Риккати. Как и для одномерного случая, это уравнение решается численными методами с помощью ЭВМ. Это уравнение путем замены Dt=R(t)/P(t) может быть сведено к решению системы 2q линейных дифференциальных уравнений dP(t) / dt F11 F12 P(t) P(t0) = P(0), =, dR(t) / dt F21 F22 R(t) R(t0) = R(0), где функции Fij удовлетворяют уравнению (4.102) в форме dDt = F22Dt - Dt F11 + F21 - Dt F12Dt.

dt Обратим внимание на то, что, как и для дискретного времени, уравнение оценки линейно относительно самой оценки, а уравнение дисперсии не зависит от наблюдаемого сигнала и оценки, решается независимо от уравнения оценки. Кроме того, в правых частях уравнения оценки первое слагаемое, а в уравнении дисперсии первых три слагаемых определяют эволюцию априорных составляющих соответствующих статистик согласно уравнению ФПК. В этом нетрудно убедиться, сравнив дифференциальные уравнения (3.42) и (3.50) с уравнениями (4.101) и (4.102) При фильтрации квазидетерминированных процессов на основании уравнений (4.95) и (4.96) после предельного перехода можно получить d(t) -1 T = CtN DtT [y(t) - CtT(t)], (t0) = a0, t dt dDt -1 T = -Ct2N DtT TDt, D(t0) = D0, T =||1 t... tk -1 ||.

t dt 4.8. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ 4.8.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Общие методы статистического синтеза для марковских процессов были сформулированы в разд. 4.6.2 в виде алгоритмов фильтрации (4.38) и обнаружения (4.36). Было отмечено, что решения в общем виде нелинейных с негауссовскими процессами задач синтеза представляют собой, как правило, трудноразрешимую проблему. При конкретизации методов синтеза были заданы семейства плотностей вероятностей АПВ и ЭПВ. И уже в рамках применения этих плотностей получены выражения апостериорных параметров (условных центральных моментов), число которых определяется порядком аппроксимации указанных плотностей вероятностей. При практическом моделировании прибегают к приближенным методам и ограничиваются усеченной определяющей эти параметры системой уравнений, которая, вообще говоря, уже не дает оптимальное решение. Система уравнений при этом оказывается конечной и замкнутой относительно ограниченного числа апостериорных параметров. Во многих задачах прикладного характера это оправдано, так как апостериорные параметры высших порядков оказываются малосущественными и усеченная система дает решения близкие к оптимальным.

К числу приближенных, получивших название квазиоптимальных методов синтеза, относятся методы, позволяющие решить задачу синтеза в рамках корреляционной теории, т.е. на основе использования апостериорных параметров не выше второго порядка (K=2). Достаточным условием рассматриваемого подхода является гауссовская аппроксимация АПВ. О степени близости АПВ к гауссовскому распределению зависит эффективность квазиоптимальных методов обнаружения и фильтрации. Очевидно, требования к указанной аппроксимации можно сформулировать с учетом ограничений на величины апостериорных параметров.

Степень близости к гауссовскому распределению можно охарактеризовать коэффициентами [46] hin in =, h2n = hn, i = 3, K. (4.103) i hn/ где апостериорные параметры hin получены из соотношений (4.46) и (4.47). Если выполняется условие |in|<<1, то аппроксимация АПВ гауссовским распределением оказывается справедливой и решение задачи синтеза базируется на квазиоптимальных алгоритмах в гауссовском приближении. Сформулированные условия можно раскрыть на основании выражений для hin (4.103) с помощью соотношений ~ ~ [gn- (2) ( xn)]i/2 >> |gin- (i)( xn)|.

n n ~ Ввиду того, что gn-(2) ( xn)=hn эти неравенства принимают n следующий вид [gn - (2)(~n)]i / 2 >> gn - (2)(~n ) / Lin-2 (4.104) x x n ( или hni-2) / 2 >> L-(i-2), где Ln характеризует относительный n порядок параметров i Ln min(ln,ln), ln-2 = (2)(~n ) / (i)(~n), lni-2 =| gn | / | gin |.

x x n n Анализ неравенств (4.104) показывает, что их выполнение обеспечивается уже при i=3, т.е. hn/ 2 >> L-1 или, принимая во n -внимание, что апостериорная дисперсия Dn = hn, получаем Dn << Ln. (4.105) Условие (4.105) означает не только близость АПВ к гауссовскому распределению, но и высокую апостериорную точность (малую апостериорную дисперсию).

В рассматриваемых ниже приближенных подходах уделяется внимание наиболее простым с точки зрения технической реализации квазиоптимальным методам: локальной гауссовской аппроксимации и статистической линеаризации.

4.8.2. МЕТОД ЛОКАЛЬНОЙ ГАУССОВСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 4.8.2.1. АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА При локальной гауссовской аппроксимации текущая оценка х* фильтруемого процесса x определяется в области малых отклонений или ошибок | x - x |, что объясняет использование термина «локальный». По-существу в основе этого метода лежит представление нелинейных дифференцируемых функций первыми членами разложения этих функций в ряд Тейлора. При квадратичной функции потерь это означает малое значение апостериорной дисперсии ошибки M{(x-x*)2} (большую апостериорную точность).

При выводе уравнений фильтрации и обнаружения исходными являются уравнения одномерного марковского процесса (2.53) xn+1=xn+tfn(xn)+nn, x0=x(0) (4.106) и скалярного наблюдаемого сигнала yn+1=Sn+1(xn+1)+n+1 (4.107) в дискретном времени.

Функции правдоподобия и плотность вероятностей в отсутствии полезного сигнала на основании (4.107) соответственно равны [yn+1 - Sn+1(xn+1)]p(yn+1 | xn+1) = (2Q,n+1)-1/ 2 exp-, (4.108) 2Q,n+ yn+p(yn+1) = (2Q,n+1)-1/ 2 exp- (4.109) 2Q,n+1, где Q,n+1 - дисперсия дискретного белого шума n+1.

~ Первая и вторая производные по xn+1= xn+1 логарифма ФП (4.108) соответственно принимают форму Sn+1(~n+1) x -(1)1(~n+1) = Q,n+1[yn+1 - Sn+1(~n+1)], (4.110) x x n+ ~n+x (2)1(~n+1) = x n+ (4.111) 2Sn+1(~n+1) Sn+1(~n+1) x x, -= Q,n+1[yn+1 - Sn+1(~n+1)] x ~n+x xn+ где экстраполированные параметры после подстановки первых двух членов разложения в ряд нелинейной функции * fn(xn ) * * fn(xn ) fn (xn) + (xn - xn) * xn в соотношения (4.53) и (4.54) и последующих упрощений принимают вид * ~ xn+1 = x* + tfn(xn), (4.112) * fn(xn ) ~ Dn+1 = Dn + 2t Dn + Qn. (4.113) n * xn Уравнение (4.113) можно переписать в иной форме ~ Dn+1 = 2Dn + Qn, (4.114) n n fn (x*) где n = 1+ t, Qn=Nn/t, n=(tn)t.

x* Если подставить выражения (4.110) и (4.111) соответственно в уравнения (4.45) и (4.47) при K=2, то приходим к уравнениям оценки и дисперсии ошибки оценки в дискретном времени при локальной гауссовской аппроксимации. Обратим внимание, что в отличие от алгоритмов линейной фильтрации, описываемых уравнениями (4.75) и (4.76), в рассматриваемом случае уравнение оценки нелинейно относительно самой оценки, а в уравнении дисперсии присутствует наблюдаемый сигнал и оценка. Это уравнение необходимо решать совместно с уравнением оценки.

Можно предложить другие алгоритмы гауссовского приближения, отличающиеся дополнительными членами вследствие расширения набора нелинейных функций, изменение формы их представления при разложении в ряд и т.д. Целесообразность учета этих членов определяется при конкретизации и анализе исходных данных задач. В связи с этим необходимо заметить, что учет дополнительных членов (в нашем случае слагаемое в фигурных скобках (4.111), зависящее от наблюдаемого сигнала yn+1) при моделировании не только усложняет задачу синтеза, но и ухудшает точностные характеристики алгоритма.

Хотя нет основания придавать этим результатам общий характер, тем не менее они ставят под сомнение необходимость учитывать дополнительные члены. Рассматриваемый ниже алгоритм фильтрации с уравнением дисперсии, не зависящим от наблюдаемого сигнала, получил название алгоритма расширенного фильтра Калмана.

Усредним вторую производную логарифма ФП относительно плотности вероятностей p(yn+1|xn+1), сделав ее тем самым инвариантной к изменениям наблюдаемого сигнала yn+1. В результате получим ( n2)1(xn+1) = M{(2)1(xn+1) | xn+1} = + n+ (2) = n+ (xn+1) p(yn+1 | xn+1)dyn+1 = (4.115) Sn+1(xn+1) -= -Q,n+1, xn+ так как из-за равенства нулю математического ожидания дискретного белого шума имеет место M{(yn+1-Sn+1(xn+1))|xn+1}=0.

~ После подстановки xn+1= xn+1, а также соотношений (4.110) и (4.115) в уравнения (4.45) и (4.47) получаем рекуррентный алгоритм фильтрации одномерного марковского процесса в дискретном времени Sn+1(~n+1) x * -~ xn+1 = xn+1 + Dn+1 Q,n+1[yn+1 - Sn+1(~n+1)], x ~n+x - Sn+1(~n+1) x ~-1 - Dn+1 = Dn+1 + Q,n+x ~n+ или с учетом соотношений (4.85) и (4.87) Sn+1(~n+1) x ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+~n+x -(4.116) Sn+1(~n+1) x ~ * x Dn+1 + Q,n+1 [ yn+1 - Sn+1(~n+1)], x0 = x(0), ~n+x Sn+1(~n+1) x ~ ~ Dn+1 = Dn+1 - Dn+~n+x (4.117) - Sn+1(~n+1) x ~ Dn+1 + Q,n+1, D0 = D(0).

~n+x При определении рекуррентного алгоритма обнаружения воспользуемся выражениями (4.36) и (4.108). После вычислений, аналогичных при выводе формулы (4.79), приходим к рекуррентному соотношению ~ -n+1 = n + n yn+1Sn+1(xn+1)Q,n+1, (4.118) где ~ ~ Sn+1(xn+1) = (4.119) n+S (xn+1)wn(xn+1)dxn+1.

~ Определение экстраполированной функции Sn+1(xn+1) является достаточно сложной задачей. Упрощение достигается при ~ использовании первых трех членов разложения функции Sn+1(xn+1) в ~ ряд в окрестности точки xn+1. После вычислений получаем алгоритм отношения правдоподобия x 1 2Sn+1(~n+1) ~ -n+1 = n + n yn+1Q,n+1Sn+1(~n+1) + Dn+x, 0 = (0).

~x 4.8.2.2. АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА При определении рекуррентных уравнений фильтрации и обнаружения для многомерного марковского процесса используются соотношения (4.61), (4.62), (4.58). Исходными являются в дискретном времени r-мерное уравнение марковских процессов xn+1=xn+tfn(xn)+nn, x0=x(0) (4.120) и q-мерное уравнение наблюдаемого сигнала yn+1=Sn+1(xn+1)+n+1 (4.121) в векторной форме, qr.

Многомерная функция правдоподобия имеет вид p( yn+1 | xn+1) = (2 )-q / 2 | Q,n+1 |-1/ (4.122) - exp- [ yn+1 - Sn+1(xn+1)]T Q,n+1[ yn+1 - Sn+1(xn+1)], Первая и вторая производные логарифма ФП для расширенного фильтра Калмана принимает соответственно форму вектора и матрицы T Sn+1(~n+1) x -(1)1(~n+1) = Q,n+1[yn+1 - Sn+1(~n+1)], (4.123) x x n+ ~n+x T Sn+1(~n+1) Sn+1(~n+1) x x ( -n2)1(~n+1) = - Q,n+1, (4.124) x + ~n+1 ~n+x x Sn+1(~n+1) x где - матрица Якоби размера (qr), (i,j) компонента ~n+x ~ которой Si,n+1( xn+1)/xj,n+1 (i - номер строки, j - номер столбца).

Разложим нелинейную вектор-функцию fn(xn) в многомерный * ряд Тейлора в окрестности вектора xn. После подстановки первых двух членов разложения в формулы (4.65) и (4.66) получаем выражения для экстраполированных вектора оценок и матрицы. С учетом сказанного после подстановки выражений (4.123) и (4.124) в уравнения (4.61) и (4.62), использования тождества (4.85) и соотношения (4.87), получим рекуррентные уравнения оценки и дисперсии ошибки оценки для локальной гауссовской аппроксимации T Sn+1(~n+1) x ~ * ~ xn+1 = xn+1 + Dn+~n+x - Sn+1(~n+1) ~ Sn+1(~n+1) T x x + Q,n+1 (4.125) ~n+ ~n+1 Dn+1 x x * [yn+1 - Sn+1(~n+1)], x0 = x(0), x T Sn+1(~n+1) x ~ ~ Dn+1 = Dn+1 - Dn+~n+x - Sn+1(~n+1) ~ Sn+1(~n+1) T x x + Q,n+1 (4.126) ~n+ ~n+1 Dn+1 x x Sn+1(~n+1) x ~, D0 = D(0), ~n+1 Dn+x где * * ~ xn+1= xn+tfn( xn), (4.127) T * * fn(xn) fn(xn) ~ Dn+1 = Dn + t * Dn + tDn * + nQnT, (4.128) xn xn * * fn( xn)/ xn - матрица Якоби размера (rr), (i,j) компонента * которой fin( xn)/ x* (i - номер строки, j - номер столбца).

jn На основании полученных результатов можно прийти к заключению, что как и для скалярных процессов, в рассматриваемой задаче уравнение оценки нелинейно относительно самого вектора оценки, а уравнение дисперсии зависит от вектора оценки и его необходимо решать совместно с уравнением оценки.

Рекуррентный алгоритм отношения правдоподобия определяется из выражения (4.58) на основании многомерной ФП (4.122). Используя подход для скалярных процессов, после вычислений приходим к рекуррентному уравнения отношения правдоподобия q ~ n+1 = n + n yi,n+1Si,n+1(x)Qi1n+1.

, i=Перейдем к формированию рекуррентных уравнений фильтрации и обнаружения квазидетерминированного процесса вида (4.89) Скалярный наблюдаемый сигнал описывается соотношением yn+1=Sn+1(a)+n+1, (4.129) где вектор подлежащих оценке параметров a=||a1...ak||T.

Функция правдоподобия имеет вид [yn+1 - Sn+1(a)]p(yn+1 | a) = (2Q,n+1)-1/ 2 exp- (4.130) 2Q,n+1, где Q,n+1=N,n+1/t.

Как и для линейной задачи, воспользуемся тем обстоятельством, что оператор ФПК равен нулю и уравнения АПВ и ОП соответственно описываются соотношениями (4.91) и (4.92). Первая и * вторая производные логарифма ФП (4.130) по a=an принимают соответственно форму вектора и матрицы T * Sn+1(an) * -1 * (1)1(an) = Q,n+1[yn+1 - Sn+1(an)], (4.131) n+ * an T * * Sn+1(an) Sn+1(an) * - (2)(an) = -Q,n+1, (4.132) * * an an * * * где Sn+1(an )/an - вектор-строка из компонент Sn+1(an )/a*, jn j = 1, k.

После подстановки выражений (4.131) и (4.132) в уравнения (4.61) и (4.62), используя тождество (4.85), а также соотношение (4.87), приходим к рекуррентному алгоритму фильтрации параметров квазидетерминированного процесса расширенного фильтра Калмана T * Sn+1(an ) * * an+1 = an + Dn * an -* * Sn+1(an) Sn+1(an) T + Q,n+1 (4.133) * * Dn an an * * [ yn+1 - Sn+1(an )], a0 = a(0), T * * Sn+1(an) Sn+1(an ) Dn+1 = Dn - Dn * * an an Dn -* * Sn+1(an) Sn+1(an) T + Q,n+1, (4.134) * * Dn an an D0 = D(0), где выражения в квадратных скобках являются скалярными величинами.

Рекуррентный алгоритм отношения правдоподобия получают из ~ * соотношения (4.118) после замены Sn+1(xn+1) на функцию Sn+1(an ).

Указанную функцию под знаком интеграла представляют первыми * тремя членами разложения в ряд Тейлора в окрестности вектора an.

После подстановки результата интегрирования в формулу (4.118) имеем * k 1 2Sn+1(an) -1 * n+1 = n yn+1Q,n+1 Sn+1(an) + Dij,n *.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.