WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 32 |

Пользователи Источники эл.-магнитного излучения, Система знаний помехи Сведения о внешней среде Системы Динамическая Наблюдения обработки Блок система (измерения) Модели Алгоритмы Прикладные данных Результатная принятия Объект Исходная процессов обработки программы Компьютеры информация решений управления информация и вычислит.

сети Информационная система Рис. В.1. Обобщенная схема преобразования информации.

Если информационная система выполняет самостоятельные функции научно-исследовательского или информационносправочного характера, то из схемы исключается динамическая система и к пользователям с блока принятия решений поступают данные в виде экспертных оценок, логических выводов, проектных решений и т.д. В случае обмена информации между пользователями приоритетным становится содержательный аспект этих данных – исходная и результатная информация. В задачах идентификации и имитационного моделирования осуществляется соответственно формирование информационной модели системы и проверка этой модели на влияние неблагоприятных факторов и чувствительность к вариациям параметров. В качестве еще одного примера можно указать на интегрирование информационных систем в современные системы связи, что расширило возможности информационных технологий.

Современные методы описания процессов в информационных системах разнообразны и требуют различного смыслового содержания и представления для применения в инженерной практике.

Среди них все большее значение приобретают теоретиковероятностные методы исследований, основанные на вероятностной трактовке протекающих в информационных системах процессов.

Вероятностный (статистический) подход позволяет более полно учесть состояние динамической системы, характер управляющих и возмущающих воздействий, результирующее поведение информационных потоков в больших вычислительных сетях и во многих случаях более адекватен практическим задачам.

Круг вытекающих из указанного подхода проблем, охватываемых пособием, достаточно широк: описание математических моделей случайных процессов в информационных системах, формирование на их базе статистических методов проверки гипотез и обнаружения, оценивания и фильтрации, интерполяции (сглаживания) и экстраполяции (прогнозирования), а также разработка алгоритмов оптимального управления стохастическими системами.

Значительное место уделено практическим аспектам применения методов статистического анализа и синтеза, использующих математический аппарат теории марковских процессов. Для успешного овладения этими методами изложение материала базируется на математическом описании системы (его фазовых координат) в пространстве состояний, а при решении задач фильтрации – на способах совместного обнаружения и оценивания сигналов. Для получения реализуемого в инженерной практике единообразного алгоритма при исследовании линейных и нелинейных систем в данном пособии широко применяется приближенный метод статистической линеаризации нелинейностей.

Учитывая, что развитие систем связи, управления и т.д.

характеризуется в настоящее время широким использованием цифровой вычислительной техники, в учебном пособии, в основном, уделяется внимание дискретным алгоритмам обработки информации и управлению дискретными стохастическими системами.

1. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 1.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ При решении задач анализа и синтеза необходимыми для расчета данными служат полученные из опыта некоторые экспериментальные данные. Опытом называются наблюдения какоголибо явления при выполнении некоторого комплекса условий и действий, который каждый раз при повторении указанного опыта строго выполняется. Количественная характеристика опыта состоит в определении получаемой из опыта некоторой величины. Из-за влияния различных трудно учитываемых факторов результаты экспериментов в серии опытов имеют случайный непредсказуемый характер, а сами величины оказываются случайными. Несмотря на это в длинной серии опытов можно установить общие статистические закономерности, присущие реальным явлениям.

Эти закономерности отражаются в вероятности значений, полученных из опыта случайных величин. Так, например, если разбить на действительной числовой оси интервал возможных значений физической величины на конечное число непересекающихся подынтервалов и подсчитать в серии опытов число события попадания случайной величины в каждый из подынтервалов, то отношение числа событий в одном из подынтервалов к общему числу опытов называется частотой появления событий в этом подынтервале. При достаточно длинной серии опытов эта частота мало изменяется и может служить количественной мерой вероятности появления или непоявления рассматриваемых событий.

Остановимся на одном из способов определения случайного процесса на основе введенного понятия случайной величины. Под случайной величиной (ti ) понимается одно из значений случайной функции (t) при фиксированном аргументе ti из произвольного множества T,ti T. В зависимости от возможных значений случайная величина подразделяется на дискретную (из конечного или счетного множества Х) или непрерывную (принимает непрерывные значений на всей действительной оси или ее интервале). Если аргумент t интерпретируется как время, то совокупность случайных величин называется случайным процессом). Время может принимать дискретные или непрерывные значения. В соответствии с этим случайные процессы подразделяются на процессы с дискретным и непрерывным временем. Конкретный вид случайного процесса в результате отдельных экспериментов называется реализацией (траекторией или выборочной функцией).

Вероятностные характеристики случайного процесса могут быть определены на основе понятия совокупности (последовательности) случайных величин { (ti ),i = 1, n}. Наиболее полной такой характеристикой является n-мерная функция расределения вероятностей F(xn,tn;...; x1,t1) = P{ (tn) xn;...; (t1) x1} (1.1) - вероятность того, что случайный процесс в любые возможные моменты времени t1,...,tn примет соответственно значения не выше уровней x1,...,xn из множества Х. Эта функция удовлетворяет условиям неотрицательности F() 0 и согласованности ) Наряду с временным аргументом в теории случайных процессов в число аргументов могут входить координаты пространства. В этих задачах случайные факторы приводят к случайным полям, обладающим пространственно-временными характеристиками функций распределений. В данном пособии рассматриваются случайные функции временного аргумента.

lim F(xn,tn;...; x1,t1) = F(xn-1,tn-1;...; x1,t1).

xn Она является неубывающей функцией своих аргументов F(-,... - ;tn,...t1) = 0, F(,...;tn,...t1) = 1.

Если функция дифференцируема по x1,...xn, то можно определить n-мерную плотность вероятностей nF(xn,tn;...; x1,t1) p(xn,tn;...; x1,t1) =. (1.2) x1...xn Плотность вероятностей (1.2) является неотрицательной функцией p() 0 и удовлетворяет условию нормировки p(xn,tn;...; x1,t1)dx1...dxn = 1.

...

- Важным классом случайных процессов являются стационарные процессы. Случайный процесс называется стационарным, если функции распределения вероятностей инвариантны относительно сдвига времени для любых n и :

F(xn,tn;...; x1,t1) = F(xn,tn + ;...; x1,t1 + ).

Для стационарных процессов выражения для функции распределения не зависит от положения начала отсчета времени.

Аналогичные соотношения выполняются и для плотностей вероятностей p(xn,tn;...; x1,t1) = p(xn,tn + ;...; x1,t1 + ). (1.3) Если вероятностные характеристики случайных процессов не инвариантны к произвольному смещению начала времени, то процесс является нестационарным. Для стационарных случайных процессов одномерная функция плотности не зависит от времени; двумерная плотность зависит лишь от разности t2-t1:

p(x2,t2; x1,t1) = p(x2, x1;t2 - t1), n–мерная плотность вероятностей будет функцией n-разностей ti - t1, i = 2,n.

Перейдем к рассмотрению условных функций распределений.

Вероятность совместного выполнения неравенств (tn) xn, (tn-1) xn-1,..., (tn-m) xn-m при условии, что (tn-m-1) = xn-m-1, (tn-m-2) = xn-m-2,..., (t1) = xгде xi X, i =1,n, описывается условной функцией распределения F(xn,tn;...; xn-m,tn-m | xn-m-1,tn-m-1;...; x1,t1) Определим условную плотность вероятностей как производную по xn,...,xn-m функции распределения. С учетом формулы полной вероятности p(xn-m-1,tn-m-1;...; x1,t1) = p(xn,tn;...; x1,t1)dx1...dxn-m...

- имеем p(xn,tn;...; xn-m,tn-m | xn-m-1,tn-m-1;...; x1,t1) = (1.4) p(xn,tn;...; x1,t1) =... p(xn,tn;...; x1,t1)dxn...dxn-m - Соотношение (1.4) называется формулой Байеса для условных вероятностей. Как и безусловные условные плотности вероятностей удовлетворяют условиям неотрицательности p(xn,tn;...; xn-m,tn-m | xn-m-1,tn-m-1;...; x1,t1) и нормировки... p(xn,tn;...; xn-m,tn-m | xn-m-1,tn-m-1;...; x1,t1)dxn...dxn-m = - В простейшем варианте двумерной условной плотности (n=2,m=0) формула Байеса принимает вид p(x2,t2; x1,t1) p(x1,t1 | x2,t2) p(x2,t2) p(x2,t2 | x1,t1) = =.

p(x1,t1) p(x1,t1 | x2,t2) p(x2,t2)dx В задачах теории случайных процессов довольно часто необходимо найти по известной плотности вероятностей p (x) плотность вероятностей функции случайной величины = ( ), т.е.

p (y).

Предположим, что функция (x) имеет первые кусочнонепрерывные производные по x и не постоянна ни на каком множестве значений аргумента x, имеющем отличную от нуля вероятность. Кроме того, будем полагать что случайные величины связаны однозначной детерминированной зависимостью. В силу последнего предположения из того факта, что величина заключена в интервале (x,x+dx) достоверно следует, что находится в интервале (y,y+dy). И вероятности этих событий должны быть одинаковы p(x)dx=p(y)dy или -dx d -p (y) = p (x) = p ( ). (1.5) dy dy Поскольку плотность вероятностей не может быть отрицательной, то в формулу (1.5) необходимо подставить модуль производной.

В случае многомерной плотности вероятностей имеем p ( yn,tn;...; y1,t1) = p (xn,tn;...; x1,t1) | J (y) |= -1 -= p (n,tn;...;1,t1) | J (y) |, где якобиан преобразования вектора x=-1(y) имеет вид определителя -1 -1...

y1 yn (x1,..., xn) J (y) =......... =.

-1 -n n (y1,..., yn)...

y1 yn Если функция =() такова, что обратная ей функция неоднозначна, то одному значению y соответствует несколько ветвей x=-1(y). Обозначим через xik(yn,...,y1) k-ую ветвь обратного преобразования, i =1,n. В этом случае многомерная плотность вероятностей равна (x1k,..., xnk ) p ( yn,tn;...; y1,t1) = p (xnk,tn;...; x1k,tk ).

( y1,..., yn) k 1.2. МОМЕНТНЫЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ Полное вероятностное описание случайного процесса с помощью конечномерных распределений возможно тогда, когда процесс представляет собой конечную последовательность случайных величин { (ti ),i = 1, n}, т.е. для процессов с дискретным временем. Если случайный процесс непрерывен во времени для его полного описания необходимо перейти к континуальным (непрерывным) характеристикам. Прежде чем перейти к вероятностному описанию непрерывного случайного процесса остановимся на имеющем большое значение для технических приложениях функциональном преобразовании – характеристической функции (хф) [1]. Хф первого порядка 1(v) называется среднее значение случайной функции exp{ jv (t)} 1(v) = M[exp{ jv (t)}] = exp{ jvx}p(x,t)dx, где v - произвольный действительный параметр. Из вида хф следует, что она является Фурье-преобразованием плотности вероятностей p(x,t). Более полную информацию о случайном процессе можно получить из многомерной хф n n(v1,..., vn) = M v (ti ) = exp j i i= n = exp j xi p(xn,tn;...x1,t1)dx1...dxn.

v i...

i=- По характеристической функции, применяя обратное преобразование Фурье, можно определить плотность вероятностей n p(xn,tn;...x1,t1) = (2 )-n... exp- j xi n(v1,...vn)dv1...dvn.

v i i=- Для исчерпывающего описания случайного процесса необходимо устремить n, что приводит к так называемому континуальному характеристическому функционалу (ХФ) T [v,T ] = M, (1.6) exp j v(t) (t)dt где v(t) - вспомогательная действительная функция.

Таким образом, при описании случайных процессов можно с одинаковым правом использовать как плотности вероятностей, так и характеристическую функцию или ХФ. На практике для описания случайных процессов чаще используются система функции, получаемые из хф и ХФ. Причем эти системы функции обладают тем свойством, что функции более низкого порядка не несут информации о последующих функциях. К числу таких функций относятся неслучайные статистические характеристики: моментные и корреляционные функции. Причем наибольший интерес представляют корреляционные функции первых двух порядков, так как значимость многократных корреляций с увеличением порядка уменьшается. В дальнейшем при описании конкретных случайных процессов корреляционную функцию первого порядка будем называть также математическим ожиданием, а для корреляционной функции второго порядка название порядка опускать. По моментным и корреляционным функциям можно определить хф и, следовательно, плотность вероятностей. И наоборот, по хф - рассчитать указанные системы функции. Выражение ХФ в виде многомерного разложения в ряд относительно моментных mn() и корреляционных kn() функций имеют следующий вид [2] jr n n(v1,..., vn) = 1+ m (t,...,t )v...v, r! r r =1,..., = jr n(v1,..., vn) = exp k (t,...,t )v...v. (1.7) r! r r =1,..., = Для ХФ разложение в ряд записывается в форме n jn T T [v,T ] = 1+ (1.8) v(t )dt1...dtn, n r...m (t1,...,tn ) n! n=1 r =0 n jn T T [v,T ] = exp v(t )dt1...dtn. (1.9) n r...k (t1,...,tn) r =n=1 n! 0 Моментные и корреляционные функции определяются через ХФ путем n-кратного функционального дифференцирования n 1 [v,T ] mn(t1,...,tn) = M{ (t1),..., (tn)}=, v(t1)...v(ti )...v(tn) v(ti ) = jn n 1 ln [v,T ] kn(t1,...,tn ) =.

v(t1)...v(ti )...v(tn) v(ti ) = jn Сравнивая выражения (1.8) и (1.9) можно получить следующие соотношения, связывающие моментные и корреляционные функции:

m1(t) = k1(t);

m2(t1,t2) = k2(t1,t2) + k1(t1)k1(t2);

m3(t1,t2,t3) = k3(t1,t2,t3) + k1(t1)k2(t2,t3) + (1.10) + k1(t2)k2(t1,t3) + k1(t3)k2(t1,t2) + + k1(t1)k1(t2)k1(t3);

..................................................

k1(t) = m1(t);

k2(t1,t2) = m2(t1,t2) - m1(t1)m1(t2);

k3(t1,t2,t3) = m3(t1,t2,t3) - m1(t1)m2(t2,t3) - (1.11) - m1(t2)m2(t1,t3) - m1(t3)m2(t1,t2) + + 2m1(t1)m1(t2)m1(t3);

..................................................

Другая часто используемая в технических приложениях система функций получила название центральные моменты:

µn(t1,...,tn) = M{[ (t1) - m1(t1)]...[ (tn) - m1(tn)]}.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.