WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 32 |

Решая это уравнение, находим то значение p1MM, которому соответствует максимальное значение среднего риска по априорному распределению. В результате приходим к следующему минимаксному правилу решения > ( ytt ) h, < (0,1) 1- p1MM где на основании (4.16) h =.

(1, ) p1MM Разность RMM()-R()>0 между минимаксным и байесовским средними рисками является своеобразной платой за отсутствие информации об априорном распределении.

Как следует из предыдущего, байесовский и минимаксный критерии, критерий Неймана-Пирсона приводят к решающему правилу обнаружения, основанному на сравнении ОП с некоторым порогом. Различие между правилами, оптимальными по указанным критериям, состоит в различном выборе порога h. Таким образом, рассмотренные выше критерии приводят к единообразной процедуре принятия решения по наблюдаемой выборке ytt в интервале (t0,t) > ( ytt ) h.

< 4.4.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ОЦЕНИВАНИЯ Предыдущие критерии основываются на предположении, что n объем наблюдаемой выборки ytt (y1 ) фиксирован. Однако время, затрачиваемое на принятие решения для этих случаев, может оказаться столь значительным, что вопрос о числе измерений становится открытым. Последовательный критерий или критерий Вальда позволяет объем измерений ставить в зависимости от того, когда наблюдатель убедится в правильности одной из гипотез. Если ранее использовались две подобласти в пространстве наблюдения, то при последовательных испытаниях вводится еще одна промежуточная область, в которой окончательное решение не принимается. При последовательных испытаниях принимается одно из трех решений: принять гипотезу 1, принять альтернативу 0, произвести следующее измерение. Как и в критерии Неймана - Пирсона выбираются приемлемые значения ошибок и. По n результатам n измерений формируется ОП - ( y1 ). Полученное n значение ОП сравнивается с двумя порогами h и h. Если ( y1 )

4.5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ n Ранее рассматривались точечные оценки параметра xn = ( y1 ) из непрерывного или конечного множеств для момента времени tn.

Поскольку оценки параметра при каждом опыте будут отличаться друг от друга, целесообразно также ввести интервальную оценку.

H Под этой оценкой понимается интервал с нижней n и верхней B n границами являющимися функциями выборки объема n, содержащий оцениваемый параметр x= с заданной вероятностью H B P{n < < n } =. (4.23) Указанный интервал называется доверительным, коэффициентом доверия. Задача определения доверительного интервала может быть решена, если известно условное распределение n точечной оценки параметра - P(n | y1 ).

Выразим указанные границы через положительный параметр H B n = n -, n = n +.

На основании полученных выражений соотношение (4.23) записывается в форме P{(1- ) < n < (1+ )} =.

В результате можно получить формулу, связывающую относительную величину доверительного интервала B H 2 = (n - n ) / с коэффициентом доверия и объемом выборки n.

(1+ ) n P(n | y1 )d =.

(1- ) Таким образом, при заданном значении величины доверительного интервала для достижения выбранного коэффициента доверия можно определить объем выборки. Аналогичным образом можно отыскать другие характеристики - доверительный интервал или коэффициент доверия по двум другим задаваемым характеристикам.

Наиболее разработаны методы получения доверительных оценок для гауссовского распределения оценки исследуемого параметра [39].

4.6. ОБЩИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ ОБНАРУЖЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ 4.6.1. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА Методы синтеза базируются на алгоритмах последовательного (совместного) обнаружения и фильтрации случайных процессов.

Указанный подход соответствует характеру работы реальной системы: сначала поиску (обнаружению), а затем оцениванию принимаемых сигналов. Аналитические способы решения этих задач опираются на один из важных научных разделов теории статистических решений - методах оптимальной фильтрации.

Основная цель этих методов состоит в определении структур и соответствующих параметров оптимальных фильтров, обеспечивающих получение с наибольшей точностью оценок передаваемых сигналов при наличии случайных помех. Оценка является точечной, т.е. определяется для момента времени t=t1, на основании всей доступной для наблюдения информации за время (t0,t). Причем последующие наблюдения не используются для улучшения ранее полученных оценок. Наряду с задачей фильтрации в технических приложениях существуют задачи экстраполяции (прогнозирования) и интерполяции (сглаживания), для которых оценки определяются соответственно в моменты времени t1>t и t0

Методы оптимальной фильтрации опираются на свойства стохастической наблюдаемости. Благодаря этим свойствам обеспечивается определение части ненаблюдаемых (оцениваемых) сигналов по другой связанной с ней доступной для наблюдения группе сигналов. Стохастическая наблюдаемость определяется асимптотическим поведением апостериорной плотности вероятностей или дисперсий ошибок оцениваемых процессов при увеличении числа наблюдений (или наблюдаемой реализации).

Следствием этого поведения является сходимость по вероятности к конечному значению указанных ошибок. При этом возможны два типа задачи фильтрации. Для первого типа отыскиваются оценки квазидетерминированных процессов. Ошибки оценки в этом случае при неограниченном времени наблюдения стремится к нулю.

Указанному типу задач соответствует поведение систем с неслучайными выходными сигналами, измерения которых засорены помехами. Для другого типа задач оцениваемый на выходе системы процесс случаен и измерения также засорены помехами. Ошибки оценки здесь отличны от нуля и не превосходят заданной величины при неограниченном времени наблюдения.

Наиболее полно получила развитие теория линейной оптимальной фильтрации. В работе [40] показано, что при критерии минимума среднеквадратической ошибки и гауссовском распределении рассматриваемых случайных процессов оптимальная система фильтрации является линейной. Это означает также, что оптимальный алгоритм обработки результатов является линейным, а сам наблюдаемый сигнал связан с оцениваемым процессом линейной зависимостью. Важное значение для теории линейной фильтрации имели результаты работ Колмогорова [41] и Винера [42], получившие дальнейшее развитие в трудах отечественных и зарубежных исследователей. Согласно этим результатам импульсная переходная характеристика оптимального линейного фильтра на выходе которого отыскивается оценка процесса x, а на входе существует наблюдаемый сигнал y=x+, где - независимая от оцениваемого процесса x помеха, точно определяемая с помощью интегрального уравнения Винера-Хопфа через известные корреляционную функцию процесса x и взаимную корреляционную функцию x и наблюдаемого сигнала y.

Более простой алгоритм фильтрации можно получить, если отказаться от вышеуказанных корреляционных функций и представить оцениваемый процесс, как было показано в разделе 2.3.7, в виде решений системы стохастических дифференциальных уравнений. При этом оптимальный фильтр, называемый фильтром Калмана-Бьюси [43], полностью описывается дифференциальными или разностными уравнениями. Наличие уравнений указанного вида вместо интегральных существенно облегчает определение структуры оптимального фильтра. Необходимо также отметить, что с помощью фильтра Калмана-Бьюси могут быть получены оптимальные оценки для более широкого класса многомерных случайных процессов: с учетом ненулевых начальных условий и детерминированной составляющий сигнала, при наличии корреляционных связей между «небелой» помехой и оцениваемым процессом, при нестационарном режиме работы фильтра и т.д.

Для многих практических задач, где процессы не являются гауссовскими и, кроме того, подвергаются нелинейному преобразованию, оптимальная оценка может быть получена в классе нелинейных фильтров, т.е. оптимальный алгоритм обработки результатов наблюдения является нелинейным. Нахождение структур нелинейных фильтров, которым занимается теория нелинейной фильтрации, является достаточно сложной задачей.

Наиболее существенные результаты здесь получены при рассмотрении оценки как условного марковского процесса и аддитивной белой гауссовской помехе. Результаты разработанной Р.Л. Стратоновичем [44] теории нелинейной фильтрации не противоречат данным теории линейной фильтрации и являются более общими по сравнению с ними. Это означает, что при гауссовском характере процессов, независимой аддитивной помехе и линейном преобразовании оцениваемого процесса нелинейная фильтрация вырождается в линейную, осуществляемую по критерию минимума среднеквадратической погрешности.

Задача синтеза формулируется следующим образом. Имеются априорные сведения о сигналах, помехах и способах их функционального взаимодействия. Для наблюдения (измерения) доступна векторная реализация случайного процесса ytt на текущем интервале времени (t0,t), являющаяся детерминированной (неслучайной) функцией полезного сигнала St(x), некоторой детерминированной функцией управления u(t), квантового шума (t) и помехи (t) y(t) = t{St (xt ),u(t), (t),(t),}. (4.24) Соотношение (4.24) получило название уравнение наблюдения.

Оно описывает статистические процессы передачи информации по каналу связи. Удовлетворяющий ранее рассмотренному в разделе 2.2.2. условию регулярности полезный сигнал St(x), представляет собой в общем случае нелинейную вектор-функцию времени t и многомерного марковского процесса x(t). Марковский процесс может быть гауссовским и негауссовским, с дискретным и непрерывным времени, из конечного или непрерывного множества на действительной оси. Также известны вероятностные характеристики квантового шума (t) и помехи (t). Параметр - случайная величина с вероятностями p1(=1) и p0(=0), p1+p0=1; =1 или =характеризует соответственно наличие или отсутствие полезного сигнала.

На основании приведенных априорных сведений необходимо в каждый текущий момент времени t сформировать апостериорную плотность вероятностей (АПВ), позволяющую определить оценку вектора x(t) согласно одному из рассмотренных в разделе 4.1.критериев качества.

4.6.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ И ОБНАРУЖЕНИЯ В данном разделе излагается метод определения рекуррентных алгоритмов для уравнения наблюдения*) y(t)=t{St(xt),(t),}.

Решается задача синтеза для дискретного времени и одномерного марковского процесса, принимающего значения из непрерывного множества на действительной числовой оси.

Уравнение наблюдения для этого случая имеет вид yn+1=n+1{Sn+1(xn+1),n+1,}. (4.25) *) Решения задачи синтеза с учетом вектора управления u(t), а также квантового шума (t),обусловленного статистическим характером квантовых измерений, представлены соответственно в разделах 4.12 и 4.10.

Рассматривается на временном интервале (t0,tn+1) условная вероятность оцениваемого процесса в виде последовательности n+отсчетов x1 = {x1,...x,..., xn+1} в дискретные моменты времени j t, j = 1, n +1 и случайной величины при условии осуществления j n+события y1 = {y1,...y,..., yn+1}- последовательности из n+1 отсчетов j n+1 n+наблюдаемого сигнала в те же моменты времени - P(x1, | y1 ).

Начальное значение марковского процесса x0, соответствующее моменту времени t0, удовлетворяет априорной плотности вероятностей p(x0).

На основании соотношения для условных вероятностей (1.4) можно записать n+1 n P(x1,, yn+1 | y1 ) n+1 n+1 n+1 n P(x1, | y1 ) = P(x1, | yn+1, y1 ) =, (4.26) n P(yn+1 | y1 ) где условная вероятность в числителе (4.26) с учетом условия n факторизации и независимости xn+1 от y1 имеет вид n n n+1 n P(x1, = 1| y1 ) (xn+1 | xn) p(yn+1 | x1, y1 ), n+1 n p(x1,, yn+1 | y1 ) = (4.27) n n n, = 0 | y1 ) (xn+1) p( yn+1 | y1 ).

P(xВведенная во второй строчке формулы (4.27) взамен (xn+1|xn) дельта-функция (xn+1) соответствует состоянию =0(Sn+1(xn+1)=0). В n+1 n n условной плотности вероятности p(yn+1| x1, y1 ) опустим y1, так как n+1 n при =1 сигнал yn+1 зависит только от x1, а последовательность yn+не дает никакой дополнительной информации при наличии x1.

n Кроме того, при =0 p(yn+1| y1 )=p(yn+1) в виду независимости отсчетов наблюдаемого сигнала в отсутствие оцениваемого процесса.

Запишем рассматриваемую условную плотность вероятностей с учетом высказанных замечаний n+p( yn+1, x1 ) n+1 n n+p( yn+1 | x1, y1 ) = p( yn+1 | x1 ) = = n+p(x1 ) (4.28) n p(x1 | yn+1, xn+1) p( yn+1 | xn+1) p(xn+1) = = p( yn+1 | xn+1), n+p(x1 ) n так как последовательность x1 не зависит от yn+1, а n+1 n p( x1 )=p( x1 |xn+1)p(xn+1). Таким образом, плотность вероятностей отсчета наблюдаемого сигнала yn+1 зависит от значения марковского процесса для того же момента времени xn+1. Поскольку отсчет xn+1 в силу марковости процесса зависит только от предшествующего значения xn, то наблюдаемый сигнал также является марковским процессом. Условная плотность вероятностей p(yn+1|xn+1) по определению является функцией правдоподобия (ФП) и характеризует статистические процессы передачи информации по каналу связи. После подстановки (4.28) в выражение (4.27), а затем – в (4.26), интегрирование обеих частей этого выражения по x1,...,xn-получим n+P(xn+1, xn, | y1 ) = p( yn+1) (4.29) n P(xn, = 1| y1 ) (xn+1 | xn) p(yn+1 | xn+1), n, = 0 | y1 ) (xn+1) p( yn+1).

P(xn Представим соответствующие апостериорные вероятности в виде n n (4.30) p(xn | 1, y1 )P( = 1| y1 ), n P(xn, | y1 ) = n n (4.31) p(xn | = 0, y1 ) p( = 0 | y1 ).

n Обозначим p(xn|=0, y1 )=(xn), а отношение апостериорных вероятностей в момент времени tn n P( = 1| y1 ) ln =.

n P( = 0 | y1 ) n n Из равенства P(=1| y1 )+P(=0| y1 )=1 следует ln n P( = 1| y1 ) =, (4.32) 1+ ln n P( = 0 | y1 ) =. (4.33) 1+ ln После подстановки (4.32) и (4.33) в (4.30) и (4.31), а затем в (4.29) и последующего интегрирования по xn, с учетом фильтрующих свойств дельта-функции (xn) получим n+P(xn+1, | y1 ) = ln wn(xn) p( yn+1 | xn+1) (xn+1 | xn )dxn, (4.34) 1+ ln = p( yn+1) (xn+1) p(yn+1).

1+ ln n где p(xn|=1, y1 )=wn(xn) - апостериорная (условная) плотность вероятностей (АПВ) в момент времени tn, описывает поведение условного марковского процесса.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.