WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |

При рассмотрении критериев для определения статистических коэффициентов усиления остановимся на двух наиболее известных способах. Согласно первому способу требуется выполнение равенства дисперсий Dz=Dy. Так как из эквивалентной зависимости (3.69) следует Dz = K1 Dx, то коэффициент K1 с учетом (3.69) определяется из соотношения 1/ K1 = K1(mx, Dx ) = f (x) p(x)dx - m2. (3.70) y Dx - При втором способе коэффициент K2 определяется из условия минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации M{ } = min M{( y - z)2}.

KПринимая во внимание mz=my, а также z0=K2x0 получаем y-z=my+y0-mz-z0=y0-K2x0 и 2 M{ } = M{( y - z)2} = Dy - 2K2Dxy + K2 Dx, где Dxy=M{x0y0}.

Необходимым условием экстремума M{2} по K2 является M{ }/ K2 = -2Dxy + 2K2Dx = 0, отсюда K2=Dxy/Dx.

Поскольку Dxy = M{( f (x) - my )x0} = f (x)(x - mx) p(x)dx, то статистический коэффициент усиления по второму способу принимает вид f (x)(x - mx ) p(x)dx M{ f (x)(x - mx )} K2 = K2(mx, Dx ) = =. (3.71) Dx Dx Соотношения (3.69) и (3.70) или (3.71) позволяют представить нелинейный элемент приближенно в виде линейного элемента f(x)f0+K(mx,Dx)(x-mx)=K0(mx,Dx)mx+K(mx,Dx)(x-mx), если известна одномерная плотность вероятностей p(x). Здесь K0(mx,Dx) - статистический коэффициент усиления по математическому ожиданию. Значение коэффициентов K0 и K (K1 или K2) для различных типов нелинейностей приведена в соответствующих руководствах [28,29].

В замкнутых динамических системах, содержащих нелинейный элемент, истинное значение плотности вероятностей сигнала на входе этого элемента неизвестно. В методе статистической линеаризации эта плотность приближенно принимается гауссовской. В этом и заключается приближенность указанного метода. Рассматриваемое допущение базируется на свойстве сложных систем, содержащих линейные инерционные элементы, нормализовать законы распределения случайных сигналов, т.е. приближать эти сигналы к гауссовским процессам. Это означает, что плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента, находящегося между линейными инерционными элементами в замкнутой системе, можно приближенно считать гауссовской. Если в формулах (3.67), (3.70) и (3.71) плотность вероятностей p(x) предположить гауссовской, то входящие в них интегралы могут быть сведены к интегралам вероятностей, которые вычисляются или определяются из таблиц, как функции двух переменных mx и Dx. В случае гауссовской плотности (x - mx )p(x) = (2Dx )-1/ 2 exp- 2Dx определение статистического коэффициента усиления по второму способу упрощается и он вычисляется из формулы f0(mx, Dx ) K(mx, Dx ) = = f (x) p(x)dx = mx mx (3.72) = f (x)(x - mx ) p(x)dx Dx Обобщим полученные результаты на многомерные процессы.

При статистической линеаризации по второму способу многомерная безынерционная однозначная нелинейная функция f(x) аппроксимируется выражением f0+K[x-mx], где x=||x1...xr||T - векторстолбец на входах нелинейностей, f0(mx,Dx)=M{f(x)} - векторная статистическая характеристика; mx=M{||x1...xr||T} - вектор-столбец математических ожиданий входных процессов; Dx=M{(x-mx)(x-mx)T} - матрица дисперсий (mx и Dx - параметры многомерной гауссовской плотности); K=K(mx,Dx) - матрица статистических коэффициентов усиления, компоненты которой Kij определяется на основании критерия минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации для несвязанных переменных вектора x из уравнений r KijDjl = Dfl, i,l = 1, r, j =где Djl = M{(x - mx j )(xl - mxl )}, Dfj = M{ fi (x)(xl - mxl )}, fi(x) j - компонента вектор-функции f(x), которая аппроксимируется выражением r foi (mx, Dx ) f0i + Kij (x - mx j ), Kij =.

j mx j j =Оба рассмотренных способа статистической линеаризации по методической погрешности практически равноценны. Значения статистических характеристик нелинейностей по этим способам одинаковы, и различия имеют место при определении статистических коэффициентов усиления. При втором способе процедура вычисления проще. С другой стороны, эти значения для ряда конкретных нелинейностей оказывается заниженным. В этом случае целесообразно использовать среднеарифметическое из значений этих коэффициентов по каждому из способов.

3.4.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 3.4.3.1. ВОЗДЕЙСТВУЮЩИЙ ПРОЦЕСС - БЕЛЫЙ ШУМ Динамическая система описывается в пространстве состояний системой дифференциальных уравнений в векторной форме (2.50). В результате статистической линеаризации нелинейности ft(x) по известной методике раздела 3.4.2 приходим к линеаризованному уравнению dx(t) = f0t (mx, Dx ) + Kt (mx, Dx )x0(t) + t(t), x(t0) = x(0), (3.73) dt где f0t() - векторная статистическая характеристика, Kt() - матрица статистических коэффициентов усиления, зависящих от вектора математического ожидания - mx(t) и матрицы дисперсий Dx(t).

Для дискретного времени на основании уравнения (3.73) можно получить линеаризованное уравнение в конечных разностях xn+1 = xn + f0n(mx, Dx )t + Kn(mx, Dx )xnt + nn, x0 = x(0), (3.74) где n - матрица воздействия размера (rr); n - дискретный белый шум с математическим ожиданием равным нулю и корреляционной матрицей M{n,l}=Qnnl, nl - символ Кронекера, Qn=Nt=nt/t, Nt - диагональная положительная матрица спектральных плотностей белого шума (t).

В результате статистического осреднения уравнения (3.73) получаем дифференциальное уравнение для вектора математического ожидания dmx (t) = f0t (mx, Dx ), mx(t0) = mx (0). (3.75) dt Используя рассмотренную в разделе 3.4.2 методику, сначала определяют дифференциальное уравнение относительно центрированной составляющей x0(t) dx0(t) = Kt (mx, Dx)x0(t) + t(t).

dt На основании выражения для матрицы дисперсий (3.44), где транспонированный вектор x0T(t) определяется из сопряженного уравнения dx0T (t) T = x0T (t)KT (mx, Dx) +Tt, t dt после дифференцирования приходят к соотношению dDx(t) = K (mx, Dx)Dxt + DxtKtT (mx, Dx ) + t dt T + M{t(t)x0(t)}+ M{x0(t)T (t)t }, t T T где M{t(t)x0T } = M = t 0 t (t) (t)u T (t,u)du tN tT, t t T M{x0(t)T (t)t } = M = 0 t (t,u)u(u)T (t)tT du tN tT, t K (t,u) = N (t - u), k (t,u) = N (u - t).

t t Здесь 0(t,u) и T (u,t) матрицы весовых коэффициентов, являющиеся решением соответствующих линеаризованных уравнений d0(t,u) = Kt (mx, Dx )0(t,u) + I (t - u), (3.76) dt dT (u,t) = T (u,t)KT (mx, Dx) + I (u - t), (3.77) 0 u du где I(t-u) и I(u-t) - диагональные матрицы дельта-функций.

В результате линеаризованное дифференциальное уравнение матрицы дисперсии вектора состояния нелинейной системы принимает вид dDx (t) = Kt (mx, Dx )Dx (t) + dt (3.78) + Dx (t)KtT (mx, Dx ) + tN tT, Dx (t0) = Dx (0).

n В координатно-скалярном представлении уравнения (3.75) и (3.78) имеют вид dmxi (t) = f0i (mx, Dx ), mxi (t0) = mxi (0), dt r r dDxij (t) = [K (mx, Dx )Dkj (t) + Dik (t)K (mx, Dx )] + N, ik jk il jl ll dt k =1 l =Dij(t0) = Dij (0), i, j = 1, r.

В отличие от линейной системы уравнения (3.75) и (3.78) связаны между собой и их необходимо решать совместно. Обратим внимание на то, что эти уравнения линейные по форме являются посуществу нелинейными, так как параметры f0t и Kt зависят от математического ожидания и дисперсии вектора состояния системы нелинейно. В этом проявляется сущность метода статистической линеаризации, сохраняющая специфические особенности исходной нелинейной системы, в том числе и несоблюдение принципа суперпозиции. Как следует из структуры полученных уравнений метод статистической линеаризации обеспечивает единообразный алгоритм анализа линейных и нелинейных систем.

Для дискретных нелинейных систем, динамика которых описывается линеаризованным уравнением (3.74) после выполнения соответствующих преобразований можно определить рекуррентные уравнения вектора математических ожиданий и матрицы дисперсий mx,n+1 = mxn + f0n (mx, Dx )t, mx0 = mx (0), (3.79) T T Dx,n+1 = Dxn + Kn(mx, Dx)Dxnt + DxnKn (mx, Dx )t + nQnn, (3.80) Dx0 = Dx(0).

Корреляционная функция по форме аналогична соответствующим выражениям, полученным для линейной системы, и имеет вид 0(t2,t1 )Dx(t1), t2 t1, kx (t1,t2) = (3.81) (t2)T (t1,t2), t1 t2.

Dx Особенность их определения состоит в том, что дисперсия Dx(t) и матрицы 0(t2,t1) и T (t1,t2) являются решениями линеаризованных уравнений (3.78) и (3.76) и (3.77). Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов. Поэтому достаточно рассчитать верхнее или нижнее произведение выражений (3.81).

3.4.3.2. ВОЗДЕЙСТВУЮЩИЙ ПРОЦЕСС - ПУАССОНОВСКИЙ ИМПУЛЬСНЫЙ ПОТОК Динамическая система описывается в пространстве состояний системой дифференциальных уравнений в векторной форме (2.95). В результате статистической линеаризации нелинейности приходят к линеаризованному уравнению dx(t) = f0t (mx, Dx ) + Kt (mx, Dx )x0(t) + ttN, x(t0) = x(0). (3.82) dt После статистического осреднения уравнения (3.82) дифференциальное уравнение вектора математического ожидания принимает вид dmx (t) = f0t (mx, Dx ) + t (t), mx (t0) = mx (0) (3.83) dt где (t) - вектор интенсивностей импульсного потока размера (r1).

Исходным при определении уравнения для матрицы дисперсии является выражение (3.46), где уравнения для центрированных составляющих векторов состояния системы имеют вид dx0(t) N = Kt (mx, Dx )x0(t) + t (t), dt dx0T (t) N 0 T = x0T (t)KT (mx, Dx ) + [ (t)]T t, t dt Здесь N0(t)=N(t)-(t) - вектор центрированного импульсного потока.

После дифференцирования (3.44) по времени и проведения известных из раздела 3.4.2 преобразований получаем дифференциальное уравнение матрицы дисперсии dDx (t) = Kt (mx, Dx )Dx (t) + dt (3.84) + Dx (t)KtT (mx, Dx ) + t (t)tT, Dx (t0) = Dx (0).

где (t) - положительная диагональная матрица интенсивностей импульсного потока размера (rr).

В координатно-скалярном представлении уравнения (3.83) и (3.84) принимают вид r dmxi (t) = f0i (mx, Dx ) + l (t), mxi (t0) = mxi (0), il dt l =r r dDx,ij (t) = [K (mx, Dx )Dkj (t) + Dik (t)K (mx, Dx )] + ll (t), ik jk il jl dt k =1 l =Dx,ij(t0 ) = Dx,ij (0).

Для дискретных нелинейных систем после выполнения статистической линеаризации и соответствующих преобразований рекуррентные уравнения вектора математического ожидания и матрицы дисперсий mx,n+1 = mxn + f0n(mx, Dx )t + n, mx (t0) = mx (0), (3.85) n T T Dx,n+1 = Dxn + Kn(mx, Dx )Dxnt + DxnKn (mx, Dx )t + nQnn, (3.86) Dx0 = Dx (0).

где Qn=t=nt/t.

Выражение корреляционной функции по форме аналогично соотношениям (3.81). При этом необходимо обратить внимание на то, что матрицы 0(t2,t1), T(t1,t2) и матрица дисперсии D(t) являются решением линеаризованных уравнений (3.76),(3.77) и (3.84).

3.4.4. ПОГРЕШНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В практических задачах применения статистической линеаризации необходимо оценить погрешность получаемых решений. Известны задачи, где этот способ вносит существенные ошибки, например в безынерционных системах, в системах без обратной связи и с выраженными резонансными свойствами. В этих случаях на вход нелинейного элемента подается сигнал отличный от гауссовского процесса. По существу гауссовский или близкий к нему закон распределения входного процесса являются единственным ограничением приближенного метода статистической линеаризации.

Используя методику работы [30], оценим эту погрешность.

Нелинейная система в пространстве состояний описывается уравнением в векторной форме dx(t) = ft (x) + tµ(t), x(t0) = x(0), (3.87) dt где µ(t) - обобщенный воздействующий процесс: пуассоновский импульсный поток или белый шум. В последнем случае mµ=0.

После применения метода статистической линеаризации уравнение (3.87) заменяется на приближенное линеаризованное уравнение dx(t) = fot (mx, Dx ) + Kt (mx, Dx)x0(t) + tµ(t), x(t0) = x(0). (3.88) dt Этому уравнению соответствуют уравнения вектора математического ожидания и матрицы дисперсии dmx (t) = f0t (mx, Dx ) + mµ (t), mx (t0) = mx (0), dt dDx (t) = Kt (mx, Dx )Dx (t) + dt + Dx (t)KtT (mx, Dx ) + tN tT, Dx (t0) = Dx (0).

µt Используя решения этих уравнений, запишем точное выражение нелинейной функции ft (x) = f0t (mx, Dx) + Kt (mx, Dx)x0(t) + t (x), (3.89) где t(x) - вектор-столбец нелинейных функций, характеризующих отклонение истинного значения функции ft(x) от приближенной линеаризованной зависимости.

Обозначим приближенное решение уравнения (3.88) через x(t), а точное решение уравнения (3.87) - через x(t)+t. Подставим выражение (3.89) в уравнение (3.87), получаем уравнение для точного решения dx(t) d(t) + = f0t (mx, Dx ) + Kt (mx, Dx )(x0(t) + dt dt + 0(t)) + t (x + (t)) + tµ(t), x(t0) + (t0) = x(0).

Вычитая из этого соотношения почленно уравнение (3.88), получаем для вектора ошибок (t) уравнение d(t) = Kt (mx, Dx )0(t) + t (x + (t)), (3.90) dt где (x+(t))=ft(x+(t))-f0t(mx,Dx)-Kt(mx,Dx)(x0(t)+0(t)).

Ввиду того, что вектор ошибок (t) имеет вероятностный характер, для него в рамках корреляционной теории можно определить вектор математического ожидания m(t) и матрицу дисперсии D(t). Указанные параметры вектора ошибки характеризуют погрешность статистической линеаризации. После осреднения векторного уравнения (3.90) последовательно относительно x и уравнение для вектора математического ожидания ошибки принимает вид dm (t) = M{M {t (x + (t))}} x dt или dm (t) = M{((t))}, (3.91) dt где ((t)) = M {t (x + (t))}.

x Представим функцию ((t)) первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора ((t)) = 0t + B(t) + R, где функция 0t равна ((t)) при (t)=0, В - матрица с компонентами k ((t)) bkj =, R - вектор с компонентами TCk, Ck - матрица с i j 1 2k ((t)) компонентами Ckij =.

2 i = j С учетом полученных результатов приходим на основании (3.91) к уравнению относительно вектора математического ожидания ошибки dm (t) = Bm (t) + M {R}, m (t0) = 0.

dt Уравнение матрицы дисперсий ошибок получают из выражения D (t) ={0(0)T}, используя уравнение (3.90), а также уравнение ему t t сопряженное.

В скалярно-координатном представлении компоненты матрицы имеют вид t t r Dij (t) = gik (t, )gli (t, )Kkl (, )dd, k,l =1t0 tгде gik(t,) - импульсная переходная функция с i-ого входа на j-ый выход системы, Kkl = M{,k (x + ) l (x + )}.

В работах [28,31,32] приведена оценка погрешности для частных задач с разными нелинейностями, а также для узкополосных и широкополосных систем.

4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ 4.1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 4.1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Основой для статистических решений и оптимальной обработки сигналов служат аналитические методы математической статистики.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.