WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 32 |

[ jk il jl ll dt k =1 l =Для стационарной системы соответствующие статистические характеристики определяются из уравнений dmx (t) = Fmx (t), mx (t0) = mx (0), dt dD(t) = FD(t) + D(t)FT + N T, D(t0) = D(0).

dt Одним из распространенных режимов стационарных устойчивых систем является установившийся режим при воздействии стационарного сигнала (t). Соответствующие статистические характеристики на основании выражений (3.42) и (3.50) определяются из соотношений mx=0, FD+DFT+N=0.

Для дискретных линейных систем, динамика которых описывается уравнением (2.55) после выполнения соответствующих преобразований уравнения для вектора математического ожидания и матрицы дисперсии принимают вид mx,n+1=nmxn, mx0=mx(0), (3.51) T Dn+1 = nDnT + nQnn, D0 = D(0), (3.52) n где n=1+tFn, Qn=N,t=t/t.

В некоторых практических задачах корреляционного анализа помимо значений вектора математического ожидания и матрицы дисперсий необходимы более полные вероятностные характеристики, которые даются матрицей корреляционных функций. Для ее определения воспользуемся уравнением состояния линейной динамической системы (3.41), в правой части которого в качестве воздействующего сигнала используется стационарный гауссовский белый шум. Для центрированной составляющей это уравнение имеет вид (3.43). По определению матрица корреляционных функций равняется kx(t1,t2) = M{x0(t2)x0T (t1)} = M{M{x0(t2) | x0(t1 )}x0T (t1)} = (3.53) = M{x0(t2)x0T (t1)}, где x0(t2) = M{x0(t2) | x0(t1 )} - условное математическое ожидание. Оно определяется в результате усреднения уравнения (3.43) относительно условной плотности вероятностей p(x,t2|x,t1) из соотношения dx0(t2) = Ft2 x0(t2), x0(t1) = x0(t1). (3.54) dtРешение его запишем в форме x0(t2) = 0(t2,t1)x0(t1), (3.55) где 0(t2,t1) - матрица весовых коэффициентов, являющаяся решением уравнения (3.14).

Подставляя (3.55) в выражение (3.53), а также учитывая (3.44), имеем kx (t1,t2) = M{x0(t2)x0T (t1)} = M{0(t2,t1)x0(t1 )x0T (t1)} = = 0(t2,t1)D(t1).

Аналогичным образом после соответствующих преобразований можно записать для случая t1t2 уравнение x0T (t1) = x0T (t2)T (t1,t2) и kx (t2,t1) = D(t2)T (t1,t2).

Таким образом, для всей области изменений t1 и t2 матрица корреляционных функций записывается в форме 0(t2,t1)D(t1), t2 t1, kx (t1,t2) = (3.56) D(t )T (t1,t2), t1 t2.

2 При t1=t2=t имеем kx(t,t)=D(t), поскольку (t,t)=T(t,t)=I(t).

Как следует из полученных выражений, для определения матрицы корреляционных функций вектора состояния системы необходимо сначала определить матрицу дисперсий, а затем умножить ее соответственно при t2t1 слева, а при t1t2 справа на матрицу весовых коэффициентов.

3.3.4.2. ВОЗДЕЙСТВУЮЩИЙ ПРОЦЕСС - ПУАССОНОВСКИЙ ИМПУЛЬСНЫЙ ПОТОК Исходным при определении соответствующих статистических характеристик является дифференциальное уравнение вектора состояния системы, описывающего многомерный марковский процесс в форме (2.96) dx(t) N = Ft x(t) + t (t), x(t0) = x(0). (3.57) dt Применяя операцию математического ожидания, а также учитывая рассмотреные в разделе 2.4.3 характеристики пуассоновского процесса, определяем дифференциальное уравнение вектора математического ожидания размера (r1) dmx (t) = Ftmx (t) + t (t), mx(t0) = mx (0), (3.58) dt где (t) - вектор интенсивностей импульсного потока размера (r1).

Почленно вычитая из уравнения (3.57) уравнение (3.58), получаем линейное уравнение относительно центрированных составляющих x0(t)=x(t)-mx(t), N0(t)=N(t)-(t):

dx0(t) N = Ft x0(t) + t (t), (3.59) dt Определим дифференциальное уравнение для матрицы дисперсии вектора состояния x(t) из выражения D(t)=kx(t,t)=M{x0(t)x0T(t)}, (3.60) где x0T(t) - транспорированный вектор x0(t), удовлетворяющий сопряженному уравнению T dx0T (t) N = x0T (t)FtT +( (t)) tT. (3.61) dt Дифференцируя выражение (3.60) по времени, а также учитывая, что операции определения математического ожидания и дифференцирования линейны и независимы, получаем dx0(t) dD(t) dx0T (t) = M x0T (t) + M (t). (3.62) x dt dt dt Подставляя в соотношение (3.62) выражения для производных (3.59) и (3.61), имеем dD(t) N 0 N = Ft D(t) + D(t)FtT + M{t (t)x0T (t)}+ M{x0(t)( (t))T tT }.

dt Математические ожидания выражений в фигурных скобках определяются на основании формул (3.12), (3.13) и (3.60) при воздействии пуассоновского импульсного потока с известной корреляционной диагональной матрицей k(t,u)=M{N0(t)(N0(t))T}=(t)(t-u).

Дальнейшие преобразования, аналогичные ранее рассмотренным в разделе 3.3.4.1, приводят к дифференциальному уравнению матрицы дисперсии dD(t) = FtD(t) + D(t)FtT + t (t)tT, D(t0) = D(0). (3.63) dt или в координатно-скалярном представлении r r dmxi (t) = fijmx j (t) + l, mxi (t0) = mxi (0), il dt j =1 l =r r dDij (t) = [fik Dkj (t) + Dik (t) f ]+ ll, Dij (t0) = Dij (0).

jk il jl dt k l =Уравнения (3.58) и (3.63) описывают эволюцию во времени вектора математического ожидания и матрицы дисперсии линейной динамической системы при воздействии пуассоновского импульсного потока. Как следует из вида этих уравнений, они не связаны между собой и решаются раздельно.

Обратим внимание на структурную идентичность уравнений (3.50) и (3.63) для рассматриваемых типов воздействий: белого шума и случайного импульсного потока. Хотя физическая картина поведения реализаций этих процессов различна: в первом случае непрерывный, во втором - импульсный процесс. Неполнота описания векторного процесса системы только первыми двумя статистическими характеристиками (в рамках корреляционной теории) нивелирует эти процессы. Для более точной их идентификации необходимо учитывать статистические характеристики третьего и более высоких порядков.

Для стационарных линейных систем соответствующие статистические характеристики определяются из уравнений dmx (t) = Fmx (t) +, mx (t0) = mx (0), dt dD(t) = FD(t) + D(t)FT + T, D(t0) = D(0).

dt В случае дискретных линейных систем, динамика которых описывается уравнением (2.96), после выполнения соответствующих преобразований, реккурентные уравнения вектора математического ожидания и матрицы дисперсий принимают вид mx,n +1 = nmxn + n, mx0 = mx (0), n.

T Dn+1 = nDnT + nQnn, D0 = D(0), n где n=1+tFn, Qn=t=nt/t.

Приведем без вывода формулу матрицы корреляционных функций вектора состояния системы 0(t2,t1)D(t1), t2 t1, kx (t1,t2) = D(t )T (t1,t2), t1 t2.

2 где 0(t2,t1) - матрица весовых коэффициентов, D(t) - матрица дисперсий.

3.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 3.4.1. ОБЗОР МЕТОДОВ Исследование нелинейных систем, находящихся под воздействием случайных сигналов, обычно является достаточно сложной задачей. Решение описывающих эти системы нелинейных дифференциальных уравнений зависит от вида внешних воздействий, начальных условий, типа нелинейностей и в отличие от линейной системы не может быть записано в общем виде. Остановимся на некоторых наиболее важных в практическом отношении задачах анализа таких систем. Методы исследования нелинейных систем могут быть разделены на точные и приближенные. К точным можно отнести методы, позволяющие получить характеристики, полностью описывающие случайный процесс (n-мерные плотности вероятностей, моментные, корреляционные функции и т.д.). К ним относятся, например, методы с использованием функциональных рядов Вольтерра [25], канонических разложений [26], основанный на интегрировании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова.

Метод с использованием рядов Вольтерра основан на представлении решения нелинейного дифференциального уравнения (2.42) в виде функционального ряда n x(t) = C0 + C... gi (t,1,...,i ) (1)... (i )d1...di, i i=- где функции gi() - ядра нелинейной системы.

При этом предполагается, что функция f() аппроксимируется рядом Тейлора, а функции gi() не зависят от процесса x(t).

Первый член ряда (не считая постоянной составляющей) характеризует линейную часть системы. Второй - операцию возведения в квадрат входного воздействия, третий - возведение в куб и т.д. Вычисления корреляционных функций первого (математического ожидания) и более высоких порядков производятся по известным правилам и является весьма трудной задачей.

Облегчить задачу может ортогональное разложение ядер высокого порядка нелинейной системы.

В методе канонических разложений используется представление двумерной плотности вероятностей в виде двойного ряда по ортогональным полиномам:

p(x1,t1; x2,t2) = p(x1,t1) p(x2,t2) a (t1,t2)Qn(x1,t1)Qm(x2,t2), nm n,m=где p(x,t) - одномерная плотность вероятностей Qn(x,t), Qm(x,t) - полиномы, удовлетворяющие условию ортогональности 1, m = n, p(x,t)Qn (x,t)Qm(x,t)dx = 0, m n.

Коэффициенты anm(t1,t2) можно заранее вычислить из формул anm = p(x1,t1; x2,t2)Qn(x1,t1)Qm(x2,t2)dx1dx2.

- При использовании уравнения ФПК выходной случайный процесс полагают марковским. Решение этого уравнения проводится численными методами и, как правило, ограничивается нахождением одномерной, в некоторых случаях - двумерной плотности вероятностей. Точное аналитическое решение можно получить для ряда частных задач. Так, в методе, рассмотренном в [27], вводятся новые переменные, которые позволяют свести уравнение ФПК к уравнению, решение которого известно. Основная трудность этого метода заключается в выборе функции, связывающей старые и новые переменные. С наиболее простым решением сталкиваются в стационарном режиме, когда при t p(x,t) стремится к стационарной плотности p(x), не зависящей от начальных условий.

Уравнение (2.38) в этом случае преобразуется к виду d{K2(x)p(x)}/dx-2K1(x)p(x)=0. (3.64) Решением уравнения (3.64) при нулевых граничных условиях является выражение x C K1() p(x) = exp2 d, K2(x) K2() где постоянная С определяется из условия нормировки p(x)dx = 1.

Например, для линейной устойчивой системы, описываемой уравнением (2.46), стационарная плотность определяется из уравнения (3.64) и имеет гауссовский вид xp(x) = (2D)-1/ 2 exp-, 2Dx где Dx=N/2.

Ввиду того, что применение точных методов исследований нелинейных систем связано с большими трудностями, большое распространение получили приближенные методы, в частности, основанные на линеаризации нелинейной функции. Простейшим видом линеаризации при условии малой величины дисперсии центрированной составляющей случайного сигнала является линеаризация нелинейной дифференцируемой функции путем замены ее линейной зависимостью (так называемая локальная аппроксимация или линеаризация). Пусть нелинейность описываемая однозначной безынерционной нечетной функцией ft(x), где x(t)=mx(t)+x0(t) - случайный сигнал, центрированная составляющая которого x0(t) имеет малую дисперсию M{[x0(t)]2}. Это означает, что случайный сигнал, в основном, незначительно отклоняется от своего математического ожидания mx(t). Локальная линеаризация состоит в замене нелинейности приближенной линеаризованной зависимостью, определяемой первыми двумя членами разложения функции ft(x) в ряд Тейлора в точке mx(t) относительно центрированного сигнала x0(t) ft (mx ) y(t) = ft (x) ft (mx ) + x0(t). (3.65) mx Приближенная зависимость линейна относительно x0(t) и нелинейна относительно mx(t) и заменяет кривую y(t)=ft(x) касательной в окрестности подвижной точки mx(t), т.е.

непосредственно (локально) вблизи этой точки. Погрешность зависимости (3.65) оценивается по статистическим характеристикам (математическому ожиданию и дисперсии) отброшенных членов разложения в ряд Тейлора.

В случае многомерной нелинейной функции y(t)=ft(x) линеаризованная зависимость записывается в виде ft (mx ) y(t) ft (mx ) + x0(t).

mx где y(t), x0 и ft(mx) - r-мерные векторы-столбцы соответственно выходного, входного сигналов и нелинейного преобразования ft (mx) вектора математического ожидания mx(t); - матрица Якоби с mx fti (mx ) компонентами, i, j = 1, r, i - номер строки; j - номер столбца.

mx j Для определения статистических характеристик процесса на выходе нелинейности при локальной линеаризации может быть использован рассмотренный в предыдущем разделе математический аппарат линейного корреляционного анализа.

Если дисперсия центрированной составляющей случайного сигнала на входе нелинейности большая или в системе содержатся элементы с существенно нелинейными характеристиками (релейные элементы, элементы с ограниченными зонами линейности, нечувствительности и т.д.), то при исследовании процессов применяют методы статистической линеаризации.

3.4.2. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Локальная линеаризация неприменима к недифференцируемым нелинейностям, а также тогда, когда изменение входного сигнала превышает зону, в которой нелинейность может быть заменена линейной зависимостью. Для указанных случаев не существует достаточно простой связи между входными и выходными сигналами и соответственно между входными и выходными статистическими характеристиками. Однако при статистическом анализе системы можно построить относительно простую приближенную линеаризованную зависимость, статистически эквивалентную исходной нелинейности. Указанная линеаризация нелинейности получила название статистической линеаризации. Метод статистической линеаризации состоит в замене безынерционной нелинейной функции y=f(x) (3.66) эквивалентной в вероятностном смысле линеаризованной зависимостью между входным и выходными сигналами. Указанная задача сводится к нахождению наилучшего в рамках корреляционной теории приближения к нелинейному преобразованию. Поэтому метод статистической линеаризации позволяет учесть основные закономерности нелинейного преобразования в рамках первых двух вероятностных моментов случайного процесса my = f (x) p(x)dx, (3.67) Dy = f (x) p(x)dx - m2. (3.68) y Представим однозначную нелинейную функцию (3.66) приближенным соотношением z=f0+Kx0. (3.69) где x0=x-mx - входной центрированный случайный сигнал.

Входящими в это соотношение параметрами являются статистическая характеристика нелинейности -f0 и статистический коэффициент усиления -K. Указанные параметры - неслучайные нелинейные функции статических характеристик входного сигнала:

mx и Dx.

В качестве критерия эквивалентности принимается выполнение равенства my=mz. Отсюда имеем f0 = f0(mx, Dx ) = f (x) p(x)dx.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.