WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 32 |

Спектральная плотность выходного процесса при стационарных воздействиях на основании формул (1.17) и (3.22) принимает вид Fx () = kx ( ) exp{- j}d = = g(1)d1 g(2)d2 k ( + 1 - 2) exp{- j}d.

0 0 Введем новую переменную +1-2=u, получаем Fx () = g(1) exp{- j1}d1 g(2) exp{ j2}d 0 (u) exp{- ju}du.

k Но согласно свойствам преобразования Лапласа и известному соответствию импульсной переходной функции передаточной функции имеем g(1) exp{ j1}d1 = w(- j), g(2) exp{- j2}d2 = w( j).

0 Кроме того, (u) exp{- ju}du = F (), поэтому k Fx()=w(j)w(-j)F()=|w(j)|2F().

Соотношение (3.27) позволяет определить спектральную плотность выходного процесса системы с амплитудно-частотной характеристикой |w(j)| по известной спектральной плотности входного воздействия. При входном сигнале - белом шуме, имеем F()=N, и спектральная плотность выходного сигнала равна Fx()=|w(j)|2N. Если выражение |w(j)|2 является дробнорациональной относительно 2 функцией, то выходной сигнал представляет собой, как было отмечено в разделе 2.3.7, гауссовский марковский процесс.

Для многомерной системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме (3.2), статистические характеристики первых двух порядков могут быть получены следующим образом. Учитывая, что для линейных систем операции взятия математического ожидания и интегрирования можно менять местами, аналогичным образом, что для одномерного случая, на основании (3.12) при нулевых начальных условиях после усреднения можно записать вектор математического ожидания t выходного процесса mx (t) = M{x(t)} = g(t,u)m (u)du или с учетом t(3.13) t mx (t) = (t,u)um (u)du.

tМатрицы корреляционных функций и дисперсий соответственно определяются из выражений kx(t1,t2) = M{[x(t1) - mx(t1)][x(t2) - mx(t2)]T } = t1 tT = 0 (t1,u1)u1k (u1,u2)u2T (t2,u2)du1du2, t0 tt t T Dx(t) = kx(t,t) = 0 (t,u1)u1k (u1,u2)u2T (t,u2)du1du2, t0 tгде k(u1,u2) - матрицa корреляционных функций входного сигнала.

Для стационарной системы с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений имеем t mx(t) = (t - u)m (u)du, tt1 tkx (t1,t2) = 0 (t1 - u1)k (u1,u2)TT (t2 - u2)du1du2, t0 tt t Dx(t) = 0 (t - u1)k (u1,u2)TT (t - u2)du1du2.

t0 tВ установившемся режиме при воздействии стационарного процесса (t) соответствующие статистические характеристики равны t mx = 0 (t - u)m du = ()m d, - t1 tkx ( ) = 0 (t1 - u1)k (u1,u2)TT (t2 - u2)du1du2 = - = 0 (1)k ( + 1 - 2)TT (2)d1d2, 0 t t Dx(t) = 0 (t - u1)k (u1,u2)TT (t - u2)du1du2 = - = 0 (1)k (1 - 2)TT (2)d1d2, 0 где =t2-t1, =t-u, 1=t1-u1, 2=t2-u2.

В частном случае, когда воздействующий сигнал представляет собой многокомпонентный белый шум (t)=(t) с m=0 и корреляционной матрицей N(), имеем mx = 0, (3.28) kx ( ) = ()N TT ( + )d, (3.29) 0 Dx = ()N TT ()d. (3.30) 0 Напомним, что при воздействии на линейную систему белого шума уравнения состояния системы описывают многомерный гауссовский марковский процесса, а формулы (3.28), (3.29) и (3.30) выражают статистические характеристики этого процесса.

3.3.3. СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПРОЦЕССЫ Полученная выше импульсная переходная функция является решением дифференциального уравнения (3.7) при входном сигнале - дельта-импульсе и нулевых начальных условиях. Очевидно, что при воздействии случайной последовательности дельта-импульсов на выходе системы, характеризуемой этим уравнением, возникает последовательность импульсных переходных функций, начальные временные координаты которых совпадают с координатами дельтаимпульсов. Для формирования импульсных процессов разного типа наиболее общим уравнением служит (2.95) или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, решением которого является выражение (3.9) при (t)=N(t). Рассматриваемый подход достаточно конструктивен, так как во-первых, расширяет арсенал используемых в информационных системах моделей марковских процессов, вовторых, позволяет смоделировать реальные импульсные сигналы и определить статистические характеристики импульсных и «гладких» (из-за перекрытия импульсных переходных функций) выходных процессов системы. Для наблюдаемых в устройствах обработки информации импульсных процессов довольно часто в качестве случайного параметра рассматривается только положение импульса по временной оси. Остальные параметры (форма, амплитуда, длительность импульса и т.д.) полагают постоянными.

Сформированный таким образом импульсный процесс называется случайной импульсной последовательностью. Статистические характеристики случайных импульсных последовательностей (математическое ожидание, корреляционная функция, спектральная плотность) могут быть получены на основании рассмотренных в разделе 3.3.2 методов преобразования случайных процессов.

Перейдем к рассмотрению основных характеристик случайных импульсных последовательностей. Допустим, что на линейную стационарную систему в момент времени ti воздействует дельтаимпульс. Выходным сигналом системы при нулевых начальных условиях является импульс, описываемый импульсной переходной функцией g(t-ti). «Пропуская» последовательность дельта-импульсов через эту систему, которую назовем формирующим фильтром, получим на выходе фильтра последовательность импульсов, форма которых определяется функцией формы (t)=g(t).

Используя выражение (2.84) для случайного импульсного потока и фильтрующее свойство дельта-функции, получим на основании формулы (3.9) выражение, описывающее случайную импульсную последовательность t t N x(t) = g(t - u) (u)du = g(t - u) (u - ti )du = i 0 t = (t - ti ).

(t - u) (u - ti )du = i i Таким образом, случайная импульсная последовательность является суперпозицией импульсных переходных функций (фильтрованным пуассоновским процессом).

Определение характеристик приведем для двух типов стационарных импульсных последовательностей, построенных на основе пуассоновского импульсного потока: с экспоненциальными и прямоугольными импульсами единичной амплитуды.

Воздействующий стационарный пуассоновский импульсный поток на основании формул (2.89), (2.90) и (2.91) имеет математическое ожидание, корреляционную функцию и спектральную плотность, соответственно равные m=, k()=() и F()=. (3.31) Математическое ожидание, корреляционная функция и спектральная плотность случайной импульсной последовательности на основании соотношений (3.21), (3.22) и (3.27) равны mx = (3.32) ()d, kx ( ) = ( )(2) ( + 1 - 2)d1d2 = 0 (3.33) = ()( + )d, Fx () =| w ( j) |2, (3.34) где w(j) - Фурье-преобразование функции формы.

Для импульсной последовательности с экспоненциальными импульсами имеем (t) = exp{-t}, w ( j) =.

+ j Математическое ожидание на основании (3.32) равно mx = exp{-}d =.

Корреляционную функцию определяют из следующих соображений. На основании формулы (3.33) kx ( ) = exp{-(2 + )}d.

В этом интеграле величина >0, что соответствует «прямому»течению времени (>0). Для величины 1=-<0 и «обратному» течению времени (1=-<0) имеем kx ( ) = exp{(2 +1)}d1.

Объединив результаты интегрирования по обеим областям, получим kx ( ) = exp{- | |}.

Спектральная плотность на основании (3.34) равна Fx () =.

+ В случае импульсной последовательности с прямоугольными импульсами имеем 1- exp{- ju} (t) = 1(t) -1(t -u ), w =, j где u - длительность импульса, 0, t

Статистические характеристики для рассматриваемого случая имеют вид mx = [1() -1( -u )]d =u, kx ( ) = [1() -1( -u )][1( + ) -1( + -u )]d, Объединив результаты интегрирования по областям >0, >0 и <0, <0, получим 0, | |> u, kx ( ) = | | | |< u.

u 1- u, Спектральная плотность, вычисленная из формулы (3.34), равна 4 u Fx () = sin2.

(u )Обобщим полученные результаты на задачи преобразования случайных импульсных потоков линейными стационарными устройствами с известной импульсной переходной функцией g(t). Для стационарных пуассоновских импульсных потоков после подстановки в формулы (3.21), (3.22) и (3.23) соответствующих исходных характеристик (3.31), используя фильтрующие свойства дельта-функции, получим математическое ожидание, корреляционную функцию, дисперсию и спектральную плотность случайного процесса на выходе преобразующего устройства mx = g()d, (3.35) kx ( ) = g()g( + )d, (3.36) Dx = kx (0) = g ()d, (3.37) Fx () =| w( j) |2, где |w(j)| - амплитудно-частотная характеристика преобразующего устройства*).

Если пуассоновский импульсный поток модулируется стационарным случайным сигналом z(t) с математическим ожиданием равным нулю и корреляционной функцией kz(), то соответствующие характеристики преобразованного процесса x(t) на основании формул (3.21), (3.22) и (3.23), а также (2.87) и (2.88), в которых необходимо положить f1=, равны mx = M{} g()d kx ( ) = M{} g()g( + )d + mz g(1)g(2)kz ( + 1 - 2)d1d2, 0 0 *) Формулы (3.35), (3.36) и (3.37) являются следствием теоремы Кембелла о суперпозиции независимых случайных возмущений (импульсов).

Dx = kx (0) = M{} g2()d + mz g(1)g(2)kz (1 - 2)d1d2, 0 0 Fx () =| w( j) |2 [M{}+ mzFz ()], где mz - масштабный коэффициент, M{} означает операцию усреднения относительно плотности вероятностей сигнала z.

В случае нестационарного пуассоновского импульсного потока, когда интенсивность является неслучайной функцией времени (t), а корреляционная функция - k(t1,t2)=(t1)(t1-t2), соответствующие статистические характеристики выходного процесса определяются из формул (3.24), (3.25) и (3.26) t mx (t) = g(t - u) (u)du, (3.38) min(t1,t2 ) kx (t1,t2) = g(t1 - u)g(t2 - u) (u)du, (3.39) t Dx (t) = kx (t,t) = g2(t - u) (u)du. (3.40) В заключение этого раздела на основании полученных результатов определим математическое ожидание и дисперсию случайного процесса на выходе сглаживающего фильтра (линейного измерителя скорости счета) с импульсной переходной функцией g(t)=exp{-t} при подаче на его вход нестационарного импульсного потока с ИП, аппроксимируемого выражением (t)=0+Aexp{-H}, H=H0-Vt. С такими задачами сталкиваются при измерении высоты положения летательного аппарата с помощью радиоизотопных высотомеров по обратно-рассеянному излучению.

Здесь H - высота, 0 - интенсивность фоновой составляющей потока излучения, A и - параметры высотомера. Рассмотрим установившийся режим, которому соответствует постоянная скорость спуска V. На основании формулы (3.38), математическое ожидание случайного процесса на выходе фильтра в установившемся режиме t mx = 0 + Aexp{- (H0 -Vu)}]exp{- (t - u)}du = [ Aexp{-H} =0 +.

1-1V Используя формулу (3.40), получаем дисперсию выходного процесса t Dx (t) = 0 + Aexp{- (H0 -Vu)}]exp{-2 (t - u)}du = [ 0 A exp{-H} = +.

2 + 1V 3.3.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 3.3.4.1. ВОЗДЕЙСТВУЮЩИЙ ПРОЦЕСС - БЕЛЫЙ ШУМ Одной из важных задач корреляционного анализа является составление дифференциальных уравнений статистических характеристик вектора состояния системы и интегрирования их при заданных начальных условиях. В практических расчетах корреляционного анализа, как уже было отмечено ранее, ограничиваются наиболее доступными для исследований статистическими характеристиками первого и второго порядка.

Отметим, что для линейных систем и гауссовских процессов знание этих характеристик полностью определяют плотности вероятностей случайных процессов.

Дальнейшее изложение материала базируется на использовании методов теории марковских процессов. Вопросы аппроксимации реальных сигналов в динамических системах марковскими процессами рассматривались в разделе 2.3. Было показано, что при воздействии белого шума (или винеровского процесса) характер динамики линейных и нелинейных систем в пространстве состояний определяется стохастическими дифференциальными уравнениями (2.48) и (2.50), описывающими многомерный марковский процесс.

Рассмотрение начнем с линейных динамических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями в векторно-матричной форме (2.48) dx(t) = Ft x(t) + t(t), x(t0) = x(0). (3.41) dt Применяя операцию математического ожидания к уравнению (3.41) с учетом характеристик гауссовского белого шума (раздел 2.2) приходим к дифференциальному уравнению вектора математического ожидания dmx (t) = Ftmx (t), mx (t0) = mx (0). (3.42) dt Почленно вычитая уравнение (3.42) из уравнения (3.41), получаем линейное уравнение относительно центрированной составляющей вектора состояния x0(t)=x(t)-mx(t) dx0(t) = Ft x0(t) + t(t). (3.43) dt Определим дифференциальное уравнение для матрицы дисперсии вектора состояния системы из выражения D(t)=kx(t,t)=M{x0(t)x0T(t)}, (3.44) где x0T(t) - транспонированный вектор, удовлетворяющий сопряженному уравнению dx0T (t) = x0T (t)FtT +T (t)tT. (3.45) dt Дифференцируя выражение (3.44) по времени, а также учитывая, что операции определения математического ожидания и дифференцирования линейны и независимы, получаем dx0(t) dD(t) dx0T (t) = M x0T (t) + M (t). (3.46) x dt dt dt Подставляя в соотношение (3.46) выражения для производных (3.43) и (3.45), имеем dD(t) = Ft D(t) + D(t)FtT + M{t(t)x0T (t)}+ M{x0(t)T (t)tT }. (3.47) dt Математическое ожидание выражений в фигурных скобках соотношения (3.47) определяется на основании формул (3.12) и (3.13) при (t)=(t) с учетом значения корреляционной функции k(t,u)=N(t)(t-u). Принимая во внимание фильтрующие свойства дельта-функции, имеем t T M{t(t)x0T (t)} = M = t (t) (u)tT T (t,u)du t t T = N (t - u)u T (t,u)du = tN tTT (t,t) = (3.48) t t 0 t t= tN tT.

t Здесь учтено, что матрица 0(t,t) является единичной, а половинный множитель появился вследствие того, что интеграл от дельта-функции при аргументе равном верхнему значению интеграла, равен 0,5.

Аналогичным путем было определено соотношение t M{x0(t)T (t)tT } = M = (t,u)u(u)T (t)tT du t (3.49) = tNttT.

Подставляя полученные выражения (3.48) и (3.49) в (3.47), приходим к уравнению для матрицы дисперсии dD(t) = Ft D(t) + D(t)FtT + tN tT. (3.50) t dt Уравнения (3.42) и (3.50) описывают эволюцию во времени вектора математического ожидания и матрицы дисперсии вектора состояния системы. Обратим внимание на то, что для линейных систем, во-первых, уравнения определенного порядка содержат соответствующие статистические характеристики данного порядка, во-вторых, уравнения (3.42) и (3.50) не связаны между собой и каждое решается независимо друг от друга.

В координатно- скалярном представлении для уравнения (3.42) и (3.50) можно записать r dmxi (t) = fijmx j (t), mxi (t0) = mxi (0), dt j =r r dDij (t) = fik Dkj (t) + Dik (k) f ] + N, Dij(t0) = D(0).

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.