WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 32 |

Аналогом формулы (3.9) для линейных стационарных систем при нулевых начальных условиях является соотношение k -xk = gk -ii, где gi - некоторые весовые коэффициенты. Физической i=реализуемости указанной системы соответствует условие gk-i=0 при k

Вернемся к рассмотрению системы уравнений в пространстве состояний (3.2). Решением ее является вектор состояний, определяемый при нулевых начальных условиях из соотношения t x(t) = g(t,u) (u)du, (3.12) tгде g(t,u) - матрица импульсных переходных функций. Для уравнения с постоянными коэффициентами компоненты этой матрицы зависят от разности моментов времени =t-u.

Представим эту матрицу в следующем виде g(t,u)=0(t,u)u, (3.13) где 0(t,u) - матрица весовых коэффициентов, являющаяся решением дифференциального уравнения 0(t,u) = Ft0(t,u) + I (t - u), 0(u,u) = 0. (3.14) t при входном воздействии в виде диагональной матрицы (t - u) 0...........I (t - u) =............................., 0...........0 (t - u) (t-u) - дельта-функция*) Решением уравнения (3.14) является соотношение t 0(t,u) = exp F d.

u Аналогичный результат можно получить после решения однородного уравнения с отличными от нуля начальными условиями 0(t,u) = Ft0(t,u), 0(u,u) = I (u), (3.15) t 1(u) 0..........где единичная матрица I(u) =.......................

0..........0 1(u) В матрице 0(t,u) ее компоненты непрерывны по t и дискретны по u. В некоторых приложениях удобно иметь матрицуT (u,t), в *) В теории линейных дифференциальных уравнений матрицу 0(t,u) также называют фундаментальной матрицей.

которой компоненты непрерывны по u и дискретны по t. Эта матрица является решением сопряженного к (3.15) уравнения T (u,t) = T (u,t)FtT, T (t,t) = I (t). (3.16) 0 u Общее решение уравнения (3.2) с учетом начальных условий на основании принципа суперпозиции запишется в виде t x(t) = 0(t,t0)x(t0) + (t,u)u (u)du, (3.17) tгде 0(t,t0) - матрица весовых коэффициентов, являющаяся решением однородного уравнения (t,t0) = Ft(t,t0) t с начальными условиями - единичной матрицей I(t0).

3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Одним из обязательных требований, обеспечивающим работоспособность динамических систем, является устойчивость.

Под устойчивостью обычно понимается свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешних возмущений. Дальнейшее рассмотрение материала в пособии не связано с применением критериев устойчивости и динамическую систему полагают всегда устойчивой. Поэтому ограничимся кратким изложением известных в теории систем понятий и определений устойчивости.

Допустим, что поведение системы описывается уравнением в dx векторной форме = ft (x), характеризующим собственное dt (свободное) движение системы. Компоненты вектора x имеют единственное решение xi=i(xi0,t), удовлетворяющее начальным условиям xi0=i(xi0,t0) для момента времени t0, t>t0. Рассмотрим некоторое решение xi=i на интервале (t0,). Это решение называется устойчивым по Ляпунову при t, если для любого >0 существует такое >0, зависящее от и t0, что любое решение xi=i(t) для которого при t=t0 выполняются неравенство |i(t0)-i(t0)|<, удовлетворяет неравенству |i(t)-i(t)|<, для всех i = 1, r.

Геометрически это означает, что все решения, которые при t=tначинаются в -окрестности, никогда не покинут -трубку решения (t).

Решение i(t) называется неустойчивым, если существует >такое, что для любого >0 найдется такой момент времени t=t1 что для некоторого i=k и t=t1 будет выполняться неравенство |k(t1)-k(t1)|, несмотря на то, что |i(t0)-i(t0)|< для всех i = 1, r.

Обратим внимание на одно обстоятельство. Приведенное определение устойчивости предусматривает сравнение свободных движений при двух близких начальных состояниях. Движение системы свободно, если в процессе ее работы возмущения не действуют. В реальных условиях всегда имеется возмущение.

Поэтому определение устойчивости целесообразно изменить, используя положение о возможности замены начальных состояний эквивалентными воздействиями. Как с физической, так и с математической точек зрения нет никакой необходимости различать воздействия, эквивалентные начальным условиям, и обычные воздействия. Поэтому определение устойчивости движения системы следует основывать на оценке суммарного воздействия, включающего в себя как эквивалентное воздействие, так и сигнал, поступающий извне на вход системы. В этом случае движение системы будет устойчиво, если при малом изменении суммарного входного воздействия (t) изменения выходного сигнала системы x(t) малы по абсолютной величине в диапазоне достаточно больших значений аргумента. Система, устойчивая в смысле уточненного определения называется системой, устойчивой по воздействиям.

В настоящее время наиболее изучены вопросы устойчивости линейных динамических систем с постоянными коэффициентами.

При исследовании устойчивости таких систем широко применяются критерии, позволяющие по виду передаточной функции w(s) системы установить устойчива система или нет. В этом случае движение системы устойчиво, если все полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения A(p)=0) имеют отрицательные вещественные части. Граничные случаи, когда один или несколько полюсов функции w(s) находятся в точке s=0 или на мнимой оси относятся, как правило, к неработоспособным системам.

Благодаря теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению теория устойчивости линейных систем служит основным инструментом при исследовании устойчивости реальных систем при малых возмущениях. Однако при исследовании устойчивости при больших возмущениях теория линейных систем в большинстве случаев либо вообще не позволяет обнаружить важные свойства системы, либо приводит к результатам мало пригодным для количественных оценок. Наиболее существенное развитие при исследовании устойчивости нелинейных систем и больших возмущениях получил прямой метод Ляпунова, для которого сформулирован ряд теорем [22,23,24]. Это метод позволяет с помощью вспомогательных знакопостоянных и знакоопределенных функций исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений.

3.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 3.3.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Соотношение (3.17) определяет реакцию динамической системы с известными параметрами на входное воздействие или возмущение (t). Если повторять опыты по исследованию реакции системы на эти возмущения, создаваемые реальными устройствами, и осуществлять запись выходных сигналов при каждом опыте, то можно обнаружить, что записи не совпадают. С какой бы тщательностью не ставился последующий опыт, на вход системы не удается подать сигналы аналогичные по характеру изменения, что и в предыдущем опыте. На закон изменения входного сигнала находящейся в условиях эксплуатации динамической системы оказывают влияния большое количество различных не поддающихся всестороннему теоретическому учету факторы: помехи и шумы, климатические и метеорологические условия, источники электромагнитных излучений окружающей среды. Следовательно, выходные сигналы системы также будут меняться от опыта к опыту. Процессы, конкретное протекание или реализации которых изменяются от опыта к опыту, как было отмечено ранее, являются случайными процессами. В ряде практических задач случайностью процессов в системах можно пренебречь, считать, что функционирование системы осуществляется при некоторых осредненных характеристиках внешних условий, а сами входные и выходные сигналы полагать практически детерминированными. Наряду с ними имеется большой класс задач, где учет осредненных условий недостаточен и необходимо знать возможные отклонения от средних значений и влияние этих отклонений на характеристики качества работы системы. Наиболее типичными примерами таких задач являются задачи, связанные с разработкой систем связи в условиях воздействия шумов и внешних помех, с созданием систем управления летательных и других подвижных объектов, приводящих объект управления в заданную точку с наименьшей погрешностью, с проектированием адаптивных систем, определяющих режим своей дальнейшей работы по результатам статистической обработки информации о внешних условиях до данного момента времени и т.д.

В разд.1 и 2 рассматривались типы случайных процессов и методы их описания. Было отмечено, что наиболее полной вероятностной характеристикой случайного процесса являются законы распределения и, в частности, функции распределения вероятностей (плотностей вероятностей) переменных состояния системы. Также было отмечено, что задачей исследования динамических систем является преобразование входного воздействующего процесса в выходной. Для случайных процессов эта задача формулируется следующим образом. Предполагая известными параметры математической модели динамической системы (или известным оператор этой системы), необходимо определить вероятностные характеристики выходного процесса по вероятностным характеристикам входного воздействия. В наиболее общей постановке задача анализа сводится к определению плотности вероятностей p(x,t) или параметров ее заменяющих (моментных или корреляционных функций разных порядков) случайных процессов на выходе системы с известными параметрами (описываемой известными дифференциальными уравнениями) по плотности вероятностей p(,t) случайных процессов на входе системы.

За исключением гауссовских и марковских процессов и небольшого числа частных примеров, не существует прямых методов, которые позволили бы непосредственно по плотности p(,t) находить плотность вероятностей p(x,t). Существуют приближенные достаточно сложные и трудоемкие методы пересчета вероятностных характеристик, суть которых заключается в следующем. По известной плотности вероятностей p(,t) на основании прямого преобразования Фурье определяют характеристическую функцию.

Представляя характеристическую функцию в виде многомерного разложения в ряд (1.6), определяют моментные или корреляционные функции процесса (t). На основании характеристик динамической системы, например, импульсной переходной функции, пересчитывают их и находят некоторое число моментных или корреляционных функций выходного процесса x(t). Определив их, записывают в виде конечного ряда разложение характеристической функции выходного процесса. А затем путем обратного преобразования Фурье - приближенное выражение плотности вероятностей p(x,t).

В случае гауссовского процесса задача упрощается, поскольку он полностью определяется двумя статистическими характеристиками: вектором математического ожидания и матрицей корреляционных функций. После линейного преобразования выходной процесс системы остается гауссовским с пересчитанными математическими ожиданиями и корреляционными функциями. Для марковских процессов плотность вероятностей выходного процесса определяется из уравнения ФПК (2.38), коэффициенты сноса и диффузии которого зависят от параметров дифференциальных уравнений динамической системы.

Рассмотренные выше подходы по статистическому исследованию динамических систем являются содержанием задач вероятностного анализа. Определяющим при этом оказывается знание функции распределения (плотности вероятностей) или моментных (корреляционных функций первого, второго и более высоких порядков). Наиболее полно и в достаточно общем виде эти задачи решаются для линейных систем и гауссовских процессов с использованием моментных (корреляционных) функций первых двух порядков. Во многих случаях для исследования не только линейных, но и нелинейных систем также практически достаточными являются оценки статистических характеристик первых двух порядков.

Область вероятностного анализа, ограничивающаяся изучением указанных статистических характеристик при преобразовании случайных сигналов, получила название корреляционной теории (корреляционного анализа).

3.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В рамках корреляционной теории задачей вероятностного анализа является установление правил пересчета статистических характеристик первых двух порядков (математического ожидания, дисперсий, корреляционных функций, спектральных плотностей).

Воспользуемся приведенными в разделе 3.1 данными по определению статистических характеристик через операции взятия математических ожиданий. Выходной процесс x(t) одномерной линейной динамической системы при воздействии входного сигнала при нулевых начальных условиях определяется, начиная с момента времени t0, соотношением (3.8). Учитывая, что для линейных систем операции взятия математического ожидания и интегрирования можно менять местами, получаем выражения математического ожидания, корреляционной функции и дисперсии выходного процесса системы t t mx (t) = M{x(t)} = M g(t,u) (u)du = g(t,u)M{ (u)}du = tt (3.18) t = g(t,u)m (u)du;

tkx (t1,t2) = M{[x(t1) - mx (t1)][x(t2) - mx (t2)]} t t = M g(t1,u1)g(t2,u2) t0 t [ (u1) - m (u1)][ (u2) - m (u2)]du1du2}= t1 t(3.19) = g(t1,u1)g(t2,u2) t0 t M{ [ (u1) - m (u1)][ (u2) - m (u2)] }du1du2 = t1 t= g(t1,u1)g(t2,u2)k (u1,u2)du1du2;

t0 tt t Dx (t) = kx (t,t) = g(t1,u1)g(t,u2)k (u1,u2)du1du2, (3.20) t0 tгде m(t) и k(t1,t2) - математическое ожидание и корреляционная функция входного сигнала.

Для стационарных систем в формулах (3.18), (3.19) и (3.20) необходимо подставить импульсную переходную функцию, зависящую от разности аргументов: g(t,u)=g(t-u).

Допустим, что на вход стационарной системы подается стационарный в широком смысле процесс, математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит от разности аргументов. Установившемуся режиму соответствует достаточно большое время работы системы, что обеспечивается, если нижние пределы интегрирования в формулах (3.18), (3.19) и (3.20) принять равными -. Соответствующие выражения статистических характеристик принимают вид mx = g(t - u)m du = m g()d, (3.21) - t t kx ( ) = g(t1 - u1)g(t2 - u2)k (u1 - u2)du1du2 = - (3.22) = g(1)g(2)k ( + 1 - 2)d1d2, 0 Dx = kx (0) = g(1)g(2)k (1 - 2)d1d2, (3.23) 0 где =t2-t1, =t-u, 1=t1-u1, 2=t2-u2.

Если входной процесс нестационарный, а преобразующая система по-прежнему стационарна, то статистические характеристики при нулевых начальных условиях, соответственно равны t mx (t) = g(t - u)m (u)du, (3.24) t1 tkx (t1,t2) = g(t1 - u1)g(t2 - u2)k (u1,u2)du1du2, (3.25) 0 t t Dx = kx (t,t) = g(t - u1)g(t - u2)k (u1,u2)du1du2. (3.26) 0 В частном случае, когда входной сигнал - стационарный белый шум (t)=(t) с m=0 и корреляционной функцией k()=N(), статистические характеристики выходного сигнала на основании (3.21), (3.22) и (3.23) с учетом фильтрующих свойств дельта-функции соответственно равны mx = 0;

kx ( ) = N g()g( + )d;

Dx = N g2()d.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.