WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 32 |

(t - )H Использование в формуле (2.129) импульсной переходной функции степенного вида приводит к протяженной коррелированной зависимости процесса BH(t), а также указывает на самоподобный характер фрактального винеровского процесса. На основании очевидного соотношения g(bt-b)=bH-1/2g(t-), где b - масштабный параметр, а также свойства самоподобия винеровского процесса dB(b)=b1/2dB() из формулы (2.129) получаем b-HBH(bt)=BH(t), (2.131) что подтверждает самоподобный характер фрактального винеровского процесса.

Для приращения этого процесса математическое ожидание и дисперсия с учетом рассмотренных в разделе 2.2.1 свойств винеровского процесса M{dB()}=0, M{dB(1)dB(2)}=M{(1)(2)}d1d2=N(2-1)d1dна основании (2.129) соответственно равны M{BH(t)-BH(t0)}=0, M{[BH(t)-B(t0)]2}~(t-t0)2H.

Заметим, что при H=1/2 процесс BH(t) становится винеровским с дисперсией и математическим ожиданием равным соответственно (2.12) и нулю.

Используя аналогичный подход, можно от характеристик винеровского процесса перейти к характеристикам фрактального винеровского процесса. Например, знание математического ожидания (2.6) и корреляционной функции (2.9) позволяет их записать для фрактального винеровского процесса в форме M{BH (t)} = 0, (2.132) 2H 2H k2H (t1,t2) ~ [t1 + t2 - | t2 - t1 |2H ].

Коэффициент корреляции для стационарных приращений фрактального винеровского процесса на интервалах (tn-T,tn) и (tn+k-T,tn+k) заданной длительности T, разнесенных на время kT, где k - параметр смещения, можно представить, как и для приращений точечного процесса, выражением rH (k;T ) ~ [(k +1) +1 - 2k +1 + (k -1) +1].

При k=1, что соответствует корреляционной зависимости приращений процесса на соседних интервалах времени, получаем rH(1;T)~2-1=22H-1-1.

При больших k коэффициент корреляции аппроксимируется выражением (2.122) или rH(k;T)~H(2H-1)k2H-2.

Из этого выражения следует, что чем больше параметр Херста, тем более протяженной зависимостью обладает rH(k;T) Как и для счетных статистик можно показать, что поведение спектральной плотности приращений фрактального броуновского движения при 0 описывается зависимостью (2.123).

Если обозначить приращение фрактального винеровского процесса на интервале через Xn, то у агрегированного процесса k +1)m (m) (m) (m) X ={X, k = 0,1,...}, Xk = Xn коэффициент корреляции k m n=kmH сохраняет свою структуру, а дисперсия изменяется согласно соотношению (2.127). Напомним, что для процессов с короткопротяженными зависимостями статистик дисперсия приращений агрегированного процесса изменяется в соответствии с выражением (2.128).

3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ 3.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Динамическая система представляет собой устройство, преобразующее (перерабатывающее) входной воздействующий сигнал в выходной для достижения определенных практических целей. С математической точки зрения, преобразование входного процесса (t) в выходной – x(t) можно представить формализованным соотношением, которое символически записывается в виде x(t)=w[(t)]. Здесь w[] является оператором, так как выходной процесс можно рассматривать, как результат выполнения некоторых операций над входным воздействием (t). В общем случае система может быть многомерной (многоканальный), т.е. иметь несколько входов и выходов. Поэтому входные и выходные процессы необходимо рассматривать как состоящие из набора компонент векторов определенной размерности: (t)=||1(t),...,p(t)||T, x(t)=||x1(t),...,xr(t)||T.

Динамические системы и соответствующие им операторы могут быть детерминированными или случайными. В первом случае каждой конкретной реализации входного процесса соответствует определенная реализация выходного процесса. Во втором - одной и той же реализации входного процесса соответствуют различные реализации выходного процесса. В детерминированных системах, которые в дальнейшем рассматриваются, их поведение описывается дифференциальными уравнениями с детерминированными (постоянными или зависящими от времени) коэффициентами, а сама случайность выходного процесса обусловлена случайным характером входного процесса.

По характеру зависимости выходного процесса от входного системы классифицируются следующим образом: безынерционные (без памяти) и инерционные, стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные. В безынерционных системах значения выходного процесса в любой момент времени зависит от значения входного процесса в тот же момент времени. В инерционных системах значения выходного процесса в некоторый момент времени зависит не только от значений входного процесса в этот же момент времени, но и от значений этого процесса в предшествующие моменты времени. Любую сложную систему можно представить в виде комбинаций отдельных линейных и нелинейных устройств (звеньев). Поэтому анализ системы может быть сведен к анализу преобразования сигналов через отдельные устройства. В дальнейшем в качестве таких устройств рассматриваются детерминированные линейные инерционные и нелинейные безынерционные устройства.

Реальные устройства, как правило, оказываются одновременно нелинейными и инерционными. Решение задач анализа для этого общего случая сопряжено с большими трудностями. Поэтому в практических задачах прибегают к вышеуказанным более простым моделям устройств, которые в большинстве инженерных задач приводят к удовлетворительным результатам.

Важным классом динамических систем являются стационарные системы. Для этих систем реакция на входное воздействие зависит только от времени действия этого воздействия и не зависит от его временного момента приложения. Другими словами, сдвиг входного воздействия приводит к такому же сдвигу выходного процесса:

x(t-)=w[(t-)]. Если это условие не выполняется, система оказывается нестационарной.

В современной теории систем при описании динамических процессов используют переменные состояния и уравнения первого порядка относительно этих переменных. Состояние системы в любой текущий момент времени характеризуется совокупностью фазовых координат - переменных состояний, объединенных в вектор состояния. Метод исследования динамических систем, как и ранее рассмотренный в разд.2.3.7 формирующих фильтров, использующих этот способ описания, принято называть методом пространства состояний. Таким образом, состояние системы может быть охарактеризовано r-мерным вектором выходных сигналов x(t)=||x1(t),...,xr(t)||T. Динамика изменения состояния непрерывной нелинейной системы с детерминированными параметрами описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в векторно-матричной форме dx(t) = ft (x) + t (t), x(t0) = x(0), (3.1) dt где (t) - вектор произвольных входных сигналов. В частном случае, когда входной сигнал является гауссовским белым шумом, уравнение (3.1) становится стохастическим дифференциальным уравнением.

Для линейных систем уравнение принимает вид dx(t) = Ft x(t) + t (t), x(t0) = x(0), (3.2) dt где Ft и t аналогичны векторам и матрицам уравнений (2.48).

В случае линейных систем справедлив принцип суперпозиции, согласно которому линейная комбинация входных воздействий связана с выходным процессом линейным оператором на основании соотношения k k x(t) = w ii (t) = (3.3) C C w[i (t)], i i=1 i=где Ci являются постоянными или случайными величинами, не зависящими от времени. Оператор, для которого принцип суперпозиции не применим, называется нелинейным.

Последовательно дифференцируя уравнения первого порядка системы (3.2), можно получить дифференциальное уравнение r-ого порядка относительно какой-либо компоненты вектора выходного процесса, например, x(t)=x1(t) r r -d xt d xt ar (t) + ar -1(t) +...+ a0(t)xt = dtr dtr -r -1 r -d t d t = br -1(t) + br (t) +... + b0(t)t, (3.4) dtr -1 -2 dtr - x(t0) = x(0), x (t0) = x1(0),..., x(r -1)(t0) = xr -1(0).

Оператор системы, описываемой уравнением (3.4) имеет вид r w(p,t)=B(p,t)/A(p,t), где собственный оператор A( p,t) = a pi, i i=r -i входной оператор B( p,t) = pi, p=d/dt - оператор b i i=дифференцирования*) Сокращенная запись уравнения, принимает форму A(p,t)x(t)=B(p,t)(t). (3.5) Из (3.4) формально следует равенство, определяющее выходной процесс в явном виде x(t)=w(p,t)(t). При заданном операторе линейной системы принцип суперпозиции позволяет свести исследование реакции системы (поведение выходного процесса системы) на произвольное воздействие к исследованию реакции системы на типовое воздействие. В теории линейных систем в качестве одного из таких воздействий используется дельта-функция.

Используя фильтрующие свойства дельта-функции, произвольное воздействие можно представить в виде бесконечной последовательности дельта-импульсов в следующиe друг за другом моменты времени с интенсивностями, равными значениям воздействующего сигнала в эти моменты времени t (t) = (u) (t - u)du. (3.6) Реакцией предварительно невозбужденной системы на воздействие дельта-импульса является импульсная переходная *) Название «собственный оператор» обусловлено тем, что многочлен A(p,t) характеризует собственное движение системы, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий функция системы g(t,u). Для системы (3.4) эта реакция может быть установлена дифференциальным уравнением r r -d d ar (t) g(t,u) + ar -1(t) g(t,u) +... + a0d(t,u) = dtr dtr -r -1 r -d d = br -1(t) (t - u) + br -2(t) (t - u) + b0 (t - u) dtr -1 dtr -или в операторной форме g(t,u)=w(p,u)(t-u). (3.7) Момент времени i является параметром, определяющим момент приложения дельта-импульса. Анализируя действия этого импульса, отметим, что до момента его приложения система остается не возбужденной. Это означает, что функция g(t,u) тождественно равна нулю при tu, а в момент времени t=u она сама и ее производные имеют разрыв. Условие g(t,u)=0 при t

0 Соотношения (3.6) и (3.8) раскрывают смысл функции g(t,u).

Выходной сигнал системы x(t) в момент времени t представляет собой бесконечную сумму для разных моментов времени u (0

Рассмотрим импульсную переходную функцию, у которой моменты ее измерения t и подачи на вход системы дельта-импульса u сдвинуты на t0: g(t,u)=g(t+t0,u+t0).

Обозначим интервал времени между моментами измерения и приложения дельта-импульса =t-u=t-u, получим g(,u). Если g(,u)=g(), т.е. реакция системы зависит от интервала времени и не зависит от момента приложения дельта-импульса, то динамическая система становится стационарной. Выходной сигнал на основании (3.8) при нулевых начальных условиях определяется формулой t t x(t) = g(t - u) (u)du = g(u) (t - u)du. (3.9) 0 Понятия стационарности и линейности не связаны между собой.

Стационарная система может быть как линейной, так и нелинейной, и соответственно линейная система может быть как стационарной, так и нестационарной. Рассматриваемая ранее линейная система ввиду зависимости оператора системы w(p,t) явно от текущего времени является нестационарной. Покажем, что система с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений (с оператором, независящим от времени – w(p)) является стационарной. Для этого случая дифференциальное уравнение (3.5) в операторной форме имеет вид A(p)x(t)=B(p)(t). (3.10) Заменим параметр дифференцирования p на комплексный параметр s преобразования Лапласа. В этом случае изображение Лапласа входного и выходного сигналов принимают форму L{ (t)} = (s) и L{x(t)} = x(s) и при нулевых начальных условиях связаны соотношением x(s) = w(s) (s).

Обозначив сигнал в пространстве оригиналов, соответствующий изображению w(s) через h(t) имеем на основании теоремы свертывания t x(t) = - u) (u)du. (3.11) h(t Сравнивая (3.9) с выражением (3.11), приходим к равенству h()=g(), означающее зависимость функции g() только от одного параметра =t-u. Формула (3.9), как ранее было показано, выражает свойство стационарности. Следовательно, линейная система с постоянными коэффициентами стационарна.

Из соотношения (3.11) следует, что характеристика w(s) является изображением Лапласа импульсной переходной функции линейной стационарной системы: w(s)=L{g(t)} В теории систем эта характеристика имеет особое название - передаточная функция системы. Путем замены s=j может быть получена частотная характеристика системы w(j)=|w(j)|exp{j()}, которая связана с импульсной переходной функцией парой преобразования Фурье w( j) = g( ) exp{- j}d, g( ) = w( j) exp{ j}d, где |w(j)| - амплитудно-частотная характеристика, () - фазочастотная характеристика.

Представим динамическую систему, состоящую из k последовательно соединенных линейных устройств с передаточными функциями wi(s). Передаточная функция системы имеет вид k w(s) = w (s). Если обозначить через g10(1),g20(2),...,gk0(k)=g(t) i i импульсные переходные функции на выходе подсистем k w1(s),w1(s)w2(s),..., (s), то импульсная переходная функция w i i системы имеет вид t k-g(t) = gk0(t) = gk (t -k -1)dk -1 gk -1(t -k -2)d...

k - 0 3... g3(t -2)d2 g2(t -1)g10(1)d1, g10(1) = g1( ).

0 На основании свойства ассоциативности свертка функций дает одинаковый результат независимо от того, в каком порядке выполняются операции свертывания.

При ненулевых начальных условиях выходной процесс t определяется соотношением x(t) = (t) + g(t - u) (u)du, где (t) является решением однородного уравнения A(p)x(t)=0 при начальных условиях x(0)=x(0),x(0)=x1(0),...,x(r-1)(0)=xr-1(0).

Для дискретных линейных систем модели случайных процессов в дискретном времени можно получить путем перехода от непрерывной модели с помощью следующей процедуры. Обозначим значение процесса x в равностоящие моменты времени t=kt, k=0,1,...

через x(kt)=xk. Введем разностный оператор :

xk=xk+1-xk, 2xk=xk+1-xk,...,mxk=m-1xk+1-m-1xk.

В этом случае формальным аналогом уравнения (3.4) с постоянными коэффициентами является линейное разностное уравнение порядка r (rr+r-1r-1+...+0)xk=(r-1r-1+r-2r-2+...+0)k.

Необходимо отметить, что если от непрерывной модели можно всегда осуществить переход к дискретной, то обратный переход в общем случае невозможен. Во многих задачах дискретные модели представляют самостоятельный интерес и соответствующие ей непрерывные модели не существуют.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.