WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

2k +1 2k +k=1 k=Подставляя теперь в (14), запишем искомое решение неоднородной системы (9):

m c2m = (-1)m m+1 2k1. (15) +k=Ранее мы видели, что c2m+1 = 0 (при m= 0, 1, 2, … ), так что все коэффициенты ряда (5) нам известны и мы можем выписать его в окончательном виде:

¶ m y= (-1)m m+1 2k1 x2m, (16) ( ) ) +m=0 k= Радиус сходимости R этого ряда мы найдём в п. 5.

Функция (16) даёт решение поставленной задачи Коши (4): по построению она удовлетворяет и дифференциальному уравнению, и начальным условиям.

5. Найдём радиус сходимости ряда (16).

По теореме Коши-Адамара:

k = lim | ck |.

R k ¶ k 2m Так как c2m+1 =0 при m= 0, 1, 2, …, то lim | ck | = lim | c2m| и, значит, k ¶ m ¶ 2m = lim | c2m|. (17) R m ¶ Из (15):

m 1 |c2m|=. (18) m+1 2k +k= Найдём асимптотику |c2m|. С этой целью воспользуемся хорошо известной асимптотической формулой для частичной суммы гармонического ряда (см, например, [4, задача №146]):

n = lnn+C+qn, k k=где C= 0,55721566… – постоянная Эйлера, а qn – бесконечно малая величина:

lim qn = 0.

n¶ Имеем:

m 2m +1 m 2m +1 m 1 1 1 1 1 = - = - = 2k +1 k 2k k 2 k k= 0 k=1 k=1 k=1 k=1 =ln(2m+ 1)+C+q2m+1 - (lnm+C+qm) = lnm+A+rm, 2 1 1 где A= C+ ln2 = const, а rm=q2m+1- qm+ ln(1 + ) – бесконечно малая величи2 2 2m на.

Поэтому (см. (18)):

1 1 1 |c2m|= (lnm+ 2A+ 2rm)= lnm+ (A+rm)= lnm+sm, 2(m+1) 2(m+1) m+1 2(m+1) где sm = (A+rm) – величина бесконечно малая, так как является произведеm+нием бесконечно малой величины m1 на ограниченную величину A+rm.

+ Запишем теперь выражение под знаком предела в (17) с помощью экспоненты:

1 2m = lim | c2m| = lim exp(2m ln|c2m|).

R m ¶ m ¶ Легко видеть, что m+1) 1 ln|c2m|= ln(2(ln m +sm)=-ln(2m +tm, 2m 2m m+1) (tm – бесконечно малая величина), так что показатель экспоненты стремится к при m¶, а, значит R= 1.

6. Сопоставим результаты, полученные в п. п. 2 и 4.

Ряд (16), дающий решение задачи Коши (4), полностью совпадает с (3) – arctg2x разложением в ряд Маклорена функции y=f (x) =.

xЗаметим ещё, что решение задачи Коши в виде степенного ряда в данном случае определилось однозначно.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. Н. ТИХОНОВ, А. В. ВАСИЛЬЕВА, А. Г. СВЕШНИКОВ. Дифференциальные уравнения, М., "Наука", 1985, 2. Л. Э. ЭЛЬСГОЛЬЦ. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., "Наука", 1969.

3. В. А. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК. Основы математического анализа ч.I, М., "Наука", 1971; ч. II, М., "Наука". 1973.

4. Б. П. ДЕМИДОВИЧ. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., "Наука", 1972.

5. А. П. ПРУДНИКОВ. Ю. А. БРЫЧКОВ, О. И. МАРИЧЕВ. Интегралы и ряды, М., "Наука", 1981.

6. Сборник задач по теории аналитических функций, под редакцией М.

А. ЕВГРАФОВА, изд. 2, М., "Наука", 1972.

M

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.