WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 19 |

[] Заметим, что в отличие от разложения в ряд Вольтерра (2.110), являющегося обобщением ряда Тейлора, разложение оператора F[x(n)] по ортогональным функционалам Gm[hm, x(n)] можно рассматривать как обобщенный ряд Фурье [137]. В этом случае ядра ортогонального полинома определяются из системы независимых уравнений вида F x(n),Gm hm, x(n) = Gm hm, x(n), (2.122) ( [ ] [ ]) [] которая легко может быть получена из (1.119) с учетом свойства ортогональности (2.121).

Структура ортогональных функционалов Gm[hm, x(n)] зависит от вероятностных свойств процесса x(n). Для статических нелинейных систем без памяти (T = {n}) определение ортогональных функционалов не составляет труда. Они фактически совпадают с обычными полиномами (Эрмита, Чебышева, Лежандра и др.), ортогональными с весом, равным плотности вероятности f(x) сигнала x(n) [38]. В случае динамических систем с памятью (Т = {...,-1, 0, 1,... }) и статистически независимыми процессами на входе для построения Gm[hm, x(n)] также можно воспользоваться одномерными ортогональными полиномами [127, 131].

Пусть для процесса x(n) существует полиномиальный базис pi[x(n)], такой, что M pi x(n) pj x(n) = [ ] [ ]0, i j ;

{} [ ] i p x(n), i = j.

Вид полиномов определяется плотностью f(x) случайного процесса x(n). В частности, для гауссова процесса x(n) с математическим ожиданием M{x(n)} = 0 и дисперсией М{x2(n)} = 2 таким базисом будут являться многочлены Эрмита вида m (-1)r m! 2r m- 2r pm(x) = x, (2.123) r ! 2r (m - 2r ) ! r =первые из которых равны p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2 - 2, p3(x) = x3 - 32x. (2.124) Определим теперь симметричные многомерные полиномы вида m[x(i1),..., x(i1) x( ),..., x(is = pm1[x(i1)]K pms [x(is )], s 14243,...,1i4243] 4 4) ms для которых m = m1 +... + ms, a все индексы i1,..., is различны. Из статистической независимости отсчетов x(i1),..., x(is) случайного процесса следует ортогональность таких полиномов в следующем смысле:

Mm[x(i1),..., x(i1) x( ),..., x(is x( j1),..., x( j1 x( jr ),..., x( jr = s 14243,...,1i4243]n[14243,...,14243] 4 4) 4 4) 4 4) ms k1 kr 0, (m n) Per (k1,..., k ) (m1,..., ms);

s s = (2.125) M pm [ x(i )], (m = n) Per (k1,..., k ) = (m1,..., ms), j s {} j j = т. е. скалярное произведение полиномов отлично от нуля только в том случае, если их степени равны и существует перестановка Per(k1,..., ks) совокупности индексов (k1,..., ks), переводящая ее в (m1,..., ms).

Данное свойство дает основание утверждать, что функционалы вида Gm hm, x(n) = hm(i1,...,i )m x(n - i1),..., x(n - i ) (2.126) [] [ ] K m m i1 T i T m будут удовлетворять условию (2.121) ортогональности. Используя в данном выражении полиномы Эрмита (2.124), получаем как частный случай известные функционалы Винера [24, 105]:

G0[h0, x(n)] = h0, G1[h1, x(n)] = h(i )x(n - i ), i T G2[h2, x(n)] = h2(i1, i )x(n - i1)x(n - i ) - 2 2(i, i ), 2 2 h i1T i2 T i T G3[h3, x(n)] = h3(i1,i,i3)x(n - i1)x(n - i2)x(n - i3) - i1 T i T i T 2 -32 h3(i1, i, i )x(n - i1), (2.127) 2 i1T i2 T ортогональные для белого гауссова шума x(n) с нулевым средним и дисперсией 2. Аналогичным образом можно построить ортогональные функционалы для случайных процессов типа белого шума с другими законами распределений.

Известны, например, ортогональные функционалы для импульсных шумов с пуассоновским распределением, определяемые через многомерные многочлены Шарлье [137].

Для ортогональных функционалов вида (2.126) уравнение (2.122), определяющее его ядра hm(i1,..., im), будет выглядеть следующим образом:

M y(n)m x(n - i1)K x(n - i ) = [ {]} m K h (n1,...,nm) m n1 nm M m x(n - i1)K x(n - i ) m x(n - n1)K x(n - nm). (2.128) { [] [ ]} m С учетом свойства (2.125) ортогональности функционалов решение может быть получено в явном виде:

m1!K ms!M{y(n)vm1 (n - i1) K vms (n - is )]}, hm (i1,...,i1,...,is,...,is = 2 12 123) m!M{vm1 (n)}K M{vms (n)} m1 ms где vi(n) = pi[x(n)], все i1,..., is различны, m = m1 +... + ms, а m = 0, 1,..., M.

Числитель полученного выражения представляет собой многомерную взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и различных сигналов vi(n), полученных преобразованием входного сигнала x(n) ортогональными многочленами различного порядка, а знаменатель определяется произведением мощностей сигналов vi(n).

Для случайных процессов, отличных от белого шума (окрашенных), c корреляционной функцией Rx(n) (n), условие (2.125) ортогональности многомерных полиномов будет нарушаться. В этом случае ортогональные функционалы Gm[hm,x(n)] могут быть получены непосредственно из системы линейно независимых функциональных полиномов m s Pm[ x(n)] = K hs(i1,..., i ) x(n - i ), m = 0, 1,..., M s j s= 0 i1 T is T j =с помощью процедуры ортогонализации Грама - Шмидта [70, 86]. Можно показать [131], что для гауссовых процессов с произвольной корреляционной функцией Rx(n) ортогональные функционалы Винера определяются выражением Gm[hm, x(n)] = hm(i1,...,i )Hem x(n - i1),..., x(n - i ), (2.129) [ ] K m m i1 T i T m где hm(i1,..., im) - ядра Винера во временной области.

Входящие в (2.129) многомерные полиномы Эрмита в данном случае определяются следующим образом:

m [ ] Hem x(n1),..., x(nm) = Rx (ni - n ) x(nk ), (2.139) (-)r [] j (r ) r = 0 (m- 2r ) где Rx(n) - корреляционная функция процесса x(n), m/2 означает наибольшее целое число, не превосходящее m/2, а суммирование производится по всевозможным разбиениям совокупности {n1,..., nm} на r пар {ni, nj} и (m - 2r) элементов nk. Например, первые полиномы будут равны He0 = 1, He1 x(i ) = x(i ), He2 x(i1), x(i2) = x(i1)x(i ) - Rx (i1 - i ), [ ] [ ] 2 He3 x(i1), x(i ), x(i3) = x(i1)x(i )x(i3) - [] 2 - x(i1)Rx (i3 - i ) - x(i )Rx (i3 - i1) - x(i3)Rx (i - i1).

2 2 Свойство ортогональности данных полиномов имеет следующий вид:

0, m n;

M Hem x(i1),..., x(i ) Hem x( j1),..., x( jn ) = (2.131) { [] [ ]} m Rx (i - j ), m = n, s r (m) где суммирование осуществляется по различным разбиениям (всего m!) на пары (is, jr), is (i1,..., im), jr (j1,..., jm), а произведение содержит m сомножителей, соответствующих каждому такому разбиению. В отличие от выражения (2.125), определяющего условие ортогональности для белого шума, здесь скалярное произведение отлично от нуля как только m = n и не требуется существования перестановки Per(i1,..., is) = (j1,..., js). Поэтому (2.131) отлично от нуля в большей области, чем (2.125).

Для функционалов (2.129) уравнение (2.128), определяющее оптимальные ядра ортогонального ряда Винера с окрашенным процессом на входе, выглядит m hm(i1,...,i ) (n - i ) = RyHe(n1,...,nm), (2.132) K m x j j R i1 T i T j =m где RyHe(n1,..., nm) = M{y(n)x(n - n1)...x(n - nm)} представляет собой взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и многомерного многочлена Эрмита вида (2.130) от входного сигнала x(n). Хотя полученное уравнение и не допускает явного решения во временной области, как это было в случае белого шума, оно может быть решено в частотной. Действительно, вычисляя многомерное преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.132), получим:

SyHe(1,..., m) H (1,..., m) =, (2.133) m m!Sx (1)K Sx (m) где Sx() - спектр мощности процесса x(n), SуHe(1,..., m) - преобразование Фурье функции RyHe(n1,..., nm).

Для выполнения практических расчетов ядер рядов Винера целесообразно выразить RyHe(n1,..., nm) и SуHe(1,..., m) непосредственно через данные вход-выход моделируемой системы. Учитывая, что скалярное произведение функционала m-го порядка и однородного функционала меньшего порядка равно нулю, можно записать:

RyHe(n1,...,nm) = M ym(n)Hem[ x(n - n1),..., x(n - nm)] = { } y m = M (n) x(n - ni ), (2.134) m i =где сигнал ym(n) формируется в виде разности выходных сигналов системы и ортогонального фильтра (m - 1)-го порядка m-ym(n) = y(n) - ym-1(n) = y(n) -i (2.135) G [hi, x(n)].

i =Правую часть (2.134) можно рассматривать как многомерную взаимную корреляционную функцию y m RymxK x (n1,...,nm) = M (n) x(n - ni ), m i =а ее преобразование SymxK x (1,..., m) - как многомерный взаимный спектр разностного ym(n) и входного x(n) сигналов системы. С использованием данных величин, выражение (2.133 ) для ядер Винера в частотной области может быть записано в следующей эквивалентной форме:

SymxKx(1,..., m) H (1,..., m) =. (2.136) m m!Sx(1)KSx(m) Найдем связь взаимного спектра SymxK x (1,..., m) процессов ym(n) и x(n) с преобразованием Фурье их реализаций уmN(n) и xN(n) длительностью N отсчетов. Используя свойства преобразования Фурье, можно показать справедливость следующего соотношения [107]:

m Ym(1,..., m) X (i ) = N i = m = Rymx...x (n1,...,nm )exp(- j i ), (2.137) K n i n1=- nm =- i=где Ym() и X() - преобразования Фурье соответственно реализаций уmN(n) и xN(n); Rymx...x (n1,..., nm ) - оценка многомерной корреляционной функции, определяемая выражением m Ry x...x (n1,...,nm ) = ymN (n) (n - ni ).

x N m N n i=Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.137) и устремляя N к бесконечности, получим:

m Y Symx...x (1,..., m) = lim M (1+...+m) X (i ). (2.138) m N N i =Выражения (2.136) и (2.138) характеризуют ядра Hm(1,..., m) Винера как многомерные периодические в комплексном пространстве функции, обладающие свойством симметрии относительно всевозможных перестановок аргументов и свойством комплексно сопряженной симметрии:

H (1,..., m) = H (-1,...,-m) (2.139) m m относительно начала координат. Рассматривая ядро Hm(1,..., m) на одном периоде, область его задания можно определить следующей системой неравенств:

1 +... + m y 2, (2.140) i x 2, i = 1,..., m, где - частота дискретизации, x и y - верхние граничные частоты входного и выходного сигналов системы. Отмеченные обстоятельства дают возможность ограничиться определением ядра Винера m-го порядка лишь в некоторой области m-мерного куба.

В заключение следует отметить, что несмотря на тождественность математической структуры рядов Вольтерра и Винера, последние имеют ряд преимуществ, так как ортогональный базис, в во-первых, позволяет существенно упростить определение ядер функционалов; во-вторых, дает возможность увеличения порядка системы без пересчета ранее полученных ядер и, в-третьих, облегчает статистический анализ характеристик системы и сигналов на его выходе.

2.8. Построение ортогональных функционалов для класса псевдослучайных сигналов Опишем статистические свойства псевдослучайного процесса x(n), определяемым дискретным аналогом известного разложения Райса - Пирсона [46] вида:

N x x(n) = X (k) exp( j kn), (2.141) N k =-N x задаваемого с помощью высших моментов комплексных коэффициентов X(k) ДПФ [85]. Вследствие симметрии плотности распределения x(n) нечетные моменты X(k) равны нулю. Для моментов четных порядков имеем следующее соотношение:

2m 2m 2m 2m M X (ki ) = A(ki ) L exp j (ki ) d(k ), i i =(2)m i =1 i = i =которое отлично от нуля лишь для тех наборов (k1,..., k2m), для которых 2m (k ) = 0.

i i =Данное условие выполняется только в том случае, ecли возможно разбиение совокупности {(k1),..., (k2m)} на m пар {(ki), (-ki)}. Учитывая это, запишем соотношение для первых двух четных моментов комплексных коэффициентов X(k):

M X (k1)X (k2) = A2(k1)(k1 + k2), {} M X (k1)X (k2)X (k3)X (k4) = A2(k1)A2(k3)J (k1, k3)(k1 + k2)(k3 + k4) + {} +A2(k1)A2(k2)J (k1, k2)(k1 + k3)(k2 + k4) + +A2(k2)A2(k4)J (k2, k4)(k2 + k3)(k1 + k4), (2.142) где коэффициент J(ki, kj) определяется следующим образом:

1 2, ki = k j ;

J (ki, k ) = j 1, ki k j и исключает повторный учет одной и той же комбинации. Так, например, для момента M{X(k)X*(k)X*(k)X(k)} вклад в (2.142) дают первое и второе слагаемые.

Введение нормализующих коэффициентов J(ki, kj) позволяет получить правильный результат, равный A4(k).

Можно показать, что в общем случае соотношение для четных моментов X(k) имеет вид m 2m M X (ki ) = J (ki1,..., kim ) A2(kir )(kir + k ). (2.143) jr i = r =Здесь суммирование выполняется по различным разбиениям совокупности индексов {k1,..., k2m} на m пар {k, k }, а коэффициент i j r r J (k,..., k ) равен 1/n1!...nm!, где ni - количество аргументов из ii 1 m {k,..., k }, имеющих одинаковые абсолютные значения, например i1 i m J(-1, 1, 1, 2, -2) = 1/3!2!.

Полученная статистика позволяет наиболее просто выполнить процедуру ортогонализации в частотной области, определяя условие ортогональности следующим образом:

M Gi [H, X (k)] G [H, X (k)] = 0, i j, (2.144) { i j j } где Gi[Hi, X(k)] - изображение Фурье Gi[hi, x(n)] как функции от n. Заметим, что из (2.144) следует также ортогональность функционалов во временной области в смысле (2.121), так как N -1 N - M G [H, X (k)] G [H, X (k)] = M G [hi, x(n)] G [hj, x(n)].

i i j j i j k = 0 n = Воспользуемся далее известным алгоритмом Грама - Шмидта [64]. В качестве элементов системы линейно независимых функций возьмем дискретные однородные функционалы m Fm[hm, x(n)] = x(n - ni ), h (n1,...,nm) m n1,...,nm i =которые в частотной области могут быть записаны в виде m Fm[H, X (k)] = H (k1,..., km)(k - k1-K -km) X (ki ).

m m k1,...,km i =В данных выражениях и далее для обозначения кратных сумм N N N -1 N -x x и L L n1 =0 nm =0 k1 =-N km =-N x x используются следующие сокращенные обозначения и.

n1,...,nm k1,...,km Положим G = 0 и найдем функционал первого порядка 0 k G1[H, X (k)] = H (k) + H (k)X (k), 1 10 ортогональный к G M G1 G0 = H (k) = 0.

{ } Следовательно, H10 = 0, и ортогональный функционал G1[H1, X(k)] будет равен G1[H, X (k)] = H (k)X (k). (2.145) 1 Найдем далее функционал второго порядка G2[H, X (k)] = H (k) + H (k)X (k) + 2 20 + H (k1, k2)(k - k1 - k2)X (k1)X (k2), k1,kоргогональный к G0 и G1[H1, X(k)]. Используя соотношение (2.143) для моментов комплексных коэффициентов X(k) и условие (2.144) ортогональности, получим:

H + H 2(k1,-k1)A2(k1)(k) = 0, M G0 = {G2 } k * M G1 = H (k)H (k)A2(k) = 0.

{G2 } 1 Так как ядро H1(k) - произвольная функция, то H (k) = - H (k1,-k1)A2(k1), H (k) = 20 2 kи выражение для функционала G2[H2, X(k)] принимает вид G2[H, X (k)] = H (k1, k2)(k - k1 - k2)X (k1)X (k2) - 2 k1,k- H (k1,-k1)A2(k1)(k).

kДанное соотношение может быть также записано в следующей форме:

G2[H, X (k)] = H (k1, k2)(k - k1 - k2) 1 - (k1 + k2) X (k1)X (k2) = [ ] 2 k1,k~ = H (k1, k2)(k - k1 - k2)X (k1)X (k2), (2.146) k1,k~2(k1, k 2) где H - функция, тождественно равная нулю на диагонали k1 = -k2 и H2(k1, k2) в остальных точках.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.