WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 19 |

Если в в качестве стохастической системы рассматривается одномерный объект управления, то АРРС- модель объекта примет вид p q y(k) = y(k - i) + u(k - j) + e(k), (2.54) a b i j i=1 j=где y(k), u(k) выходная и входная координаты объекта.

Аналогично (2.51) АР-модель запишется как p y(k) = y(k - i) + bu(k) + e(k), (2.55) a i i=а СС-модель q y(k)= u(k - j) + e(k). (2.56) b j j=Уравнения (2.54) – (2.56) являются линейными разностными уравнениями объекта управления.

Используя z – преобразование их можно записать в символической форме.

АРСС –модель A(z)y(z) = B(z)u(z) + e(z), (2.57) АР – модель A(z)y(z) = bu(z) + e(z), (2.58) СС – модель y(z) = B(z)u(z) + e(z), (2.59) где y(z), u(z) и e(z) – z –изображения соответствующих сигналов;

n m -i - j A(z) = 1 - z, B(z) = z - коэффициенты уравнения.

a b i j i=1 j=Вводя дискретную передаточную функцию объекта, как отношение z – изображений сигнала на входе к сигналу на выходе при нулевых начальных условиях можно записать -1 -m b01 + b1z +...+bm z y(z) W(z) = =. (2.60) -1 -2 -n u(z) 1 + a1z + a z +... + an z При наличии запаздывания в объекте равному целому число периодов дискретизации = d выражение -d для дискретной передаточной функции необходимо умножить на z B(z) -d -d Wd (z) = W (z)z = z. (2.61) A(z) Приводя помехи, действующие на объект управления к выходу, можно получит структурную схему объекта управления A( z ) e(t) f(t) B ( z ) + u(t) y(t) y(t)+f(t) C ( z ) D ( z ) Рис. 2.9.

Для шума (по аналогии) передаточная функция будет иметь вид -1 -s 1 + d1z +... + ds z f (z) D(z).

W (z) = = = (2.62) f -1 -r e(z) C(z) 1 + c1z +... + cr q Объединив выражения (2.61) и (2.62), получим модель объекта с шумом измерений:

B(z) D(z)e(z). (2.63) -d y(z) = z u(z) + A(z) C(z) В зависимости от типа модели шума, при котором гарантируется сходимость оценок модели (2.63), используются модели частного вида [30]:

– МП-модель (модель максимального правдоподобия):

B(z) D(z)e(z), (2.64) -d y(z) = z u(z) + A(z) A(z) – НК-модель (модель наименьших квадратов):

B(z) -d y(z) = z u(z) + e(z). (2.65) A(z) A(z) Переход от непрерывной модели к дискретной задается с помощью z – преобразования.

W z - 1 ( p) W (z) = Z. (2.66) z p Тогда z -W ( p) = pZ W (z) (2.67) z - z - Сомножитель указывает на наличие в дискретной системе z экстаполятора нулевого порядка, который фиксирует сигнал на выходе дискретного элемента между моментами квантования.

В том случае если объект управления многомерный и имеет математическую модель заданную в пространстве состояний (2.6), то последняя сводится к дискретной модели вида x(k + 1) = Ad x(k) + Bd u(k), (2.68) y(k) = Cx(k) где параметры (матрицы) дискретной системы связаны с параметрами (матрицами) исходной непрерывной выражениями Ad = eAh h, (2.69) As Bd = Bds e где h – интервал квантования.

Пример 2.4. Найдем дискретную передаточную функцию исполнительного механизма, уравнения состояния которого имеют вид dx= -x1 + u;

dt dx= x1;. (2.70) dt y = xДля вычисления матричной экспоненты (2.69) найдем ее преобразование Лапласа, которое будет равно.

L[eAt]= ( pI - A)-1 (2.71) I – единичная матрица.

После подстановки в него матрицы А получим -p + 1 ( pI - A)-1 =. (2.72) - 1 p Вычислим обратную матрицу -1 p + 1 0 p p + = =. (2.73) 1 - 1 p p( p + 1) 1 p + p( p + 1) p Откуда, осуществляя z – преобразование последней матрицы, найдем матрицу перехода дискретной системы Ad e-h Ad = eAh = Z p + 1 =. (2.74) 1 - e-h p( p + 1) p где h – интервал дискретизации по времени.

Матрица Bd в соответствии с (2.69) будет равна h - e-s e-s Bd = (2.75) 1 - e-s = 1 + e-h.

ds h - 0 Тогда дискретный аналог модели исполнительного механизма будет выглядеть x1(k +1) = e-hx1(k) + (1- e-h)u(k) x2(k +1) = (1- e-h)x1(k) + x2(k) + (h -1+ e-h)u(k).

Этот пример в MATLAB для h=0,1 запишется так A=[-1 0;1 0];

B=[1;0];

C=[0 1];

D=0;

sn=ss(A,B,C,D) % Модель непрерывной системы h=.1; % Период дискретизации sd=c2d(sn,h) % Модель дискретной системы Полученные непрерывная и дискретная модель будут выглядеть:

Непрерывная модель a = x1 xx1 -1 x2 1 b = ux1 x2 c = x1 xy1 0 d = uy1 Continuous-time model.

Дискретная модель a = x1 xx1 0.90484 x2 0.095163 b = ux1 0.x2 0. c = x1 xy1 0 d = uy1 Sampling time: 0.Discrete-time model.

2.5. Математические модели на базе матричных операторов.

При исследовании нестационарных и нелинейных систем использование линейных моделей, рассмотренных в п. 2.1- 2.4 становится громоздким и неэффективным, поэтому возникла идея создания методов использующих аппарат матричных операторов и спектральную форму описания процессов [4, 5, 49, 60]. Аппарат матричных операторов базируется на использовании теории ортогональных функций использующей в качестве базиса не только тригонометрические, но и другие виды ортогональных функций образующих новые базисы. В качестве таких функций используют полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, функции Уолша и др.

Метод матричных операторов и спектральные методы предполагают разложение сигналов и временных динамических характеристик системы по ортогональным базисам.

Пусть [1(t),2 (t),...n (t)]T одностолбцовая матрица элементов ортонормированного базиса порождающее в общем случае некоторое банахово пространство функций. Тогда произвольный сигнал системы x(t) заданный на отрезке [ t0 t1] можно приблизить с помою разложения x(t) = T (t)Cx, (2.76) x x x где Cx =[c1, c2,...cn ] коэффициенты разложения x(t) по базисным функциям (не обязательно тригонометрическим).

x x x В терминах спектральных методов Cx =[c1, c2,...cn ] представляет совокупность коэффициентов Фурье исходного сигнала x(t) относительно выбранной ортонормированной системы функций Ф(t). Применение спектральной формы описания сигналов позволяет перейти от исследования самих сигналов к рассмотрению их спектральных характеристик относительно выбранного базиса.

Выбранный базис образует пространство состояний системы, в котором ее входной и выходной сигналы будут соответственно векторами x x x y y Cx = [c1, c2,...cn ] и Cy =[c1y,c2,...cm]. Без нарушения общности рассуждений можно положить m=n. Тогда в пространстве состояний, определяемом выбранным ортонормированным базисом, система осуществляет отображение входного вектора в выходной с помощью матричного оператора А Cy = ACx. (2.77) Этот оператор называется матричным оператором или спектральной характеристикой системы относительно ортонормированного базиса.

Выразим этот оператор через параметры системы, задаваемой дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами n k k n-1 m d y + = (t) = (t). (2.78) a d y b d x dtn k=1 k dtk k=1 k dtk Интегрируя n-раз исходное уравнение системы и осуществляя последующее интегрирование по частям с учетом нулевых начальных условий получим интегральное уравнение Вольтерра 2 – го рода эквивалентное исходному дифференциальному уравнению t y(t) + hy (t, )y( )d = f (t), (2.79) где k n-(-1)k d hy (t, ) = [ak ( )(t - )n-1], (2.80) k (n - 1)! d k =t f (t) = hx (t, )x( )d (2.81) k m (-1)k d hx (t, ) = [bk ( )(t - )n-1] (2.82) k (n -1)! d k = h (t, ), 0 t h(t, ) = (2.83) 0, 0 T Функции h(t, ) называются ядрами интегрального уравнения.

Выражая переменные интегрального уравнения в ортонормируемом базисе, получим y x(t) = T (t)Cx, y(t) = T (t)C, (2.84) x y hx (t, ) = T (t)A ( ), hy (t, ) = T (t)A0 ( ), (2.85) где T T сix = x(t)i (t)dt, сiy = y(t)i (t)dt, i =1,2,......m 0 k k y Ax = x j x j k (t, )i (t) ( )dtd, A0 = k (t, )i (t) ( )dtd T i, j=1 T i, j=Подставляя (2.84) и (2.85) в (2.79) с учетом (2.80) – (2.83) получим:

T T y T y y T x T (t)C + (t)A0 ( )T ( )C d = (t)A ( )T ( )Cxd, 0 (2.86) или, после преобразований T T y y y x T (t)C + T (t)A0 C ( )T ( )d =T (t)A Cx ( )T ( )d. (2.87) 0 T Поскольку ( )T ( )d = I - единичная матрица, то (2.87) преобразуется к виду:

y y x C + A0 Cx = A Cx. (2.88) Вводя обозначение y y A = I + A0, (2.89) из (2.88) находим отображение входного вектора Cx в выходной вектор Cy -y y x C = (A ) A Cx = ACx (2.90) Квадратную матрицу А вида -y x A = (A ) A (2.91) называют матричным оператором или спектральной характеристикой системы относительно ортонормируемого базиса ФФ.

Вводя, по аналогии с типовыми динамическими звеньями линейных систем, типовые матричные операторы интегрирования, дифференцирования и умножения можно формировать из этих операторов матричные структурные схемы системы в выбранном базисе.

Причем для таких структурных справедливы те же правила преобразования, что и для линейных систем.

Матричный оператор последовательного соединения элементов равен произведению матричных операторов отдельных элементов Сx Сy А1 АРис. 2.10.

A = A2A1. (2.92) Следует обратить внимание на то, что матричные операторы перемножаются от выхода ко входу.

Матричный оператор параллельного соединения элементов равен сумме матричных операторов отдельных элементов СyАСx Сy АСyРис. 2.11.

A = A1 + A2. (2.93) Матричный оператор соединения с обратной связью определяется произведением матричного оператора прямой цепи на матричный оператор вида (I + A2A1)-Сx Сe Сy АСoc АРис. 2.12.

A = A1(I + A2A1). (2.94) Пример 2.5. Рассмотрим построение матричного оператора интегрирования t y(t) = x( )d (2.95) в базисе функций Уолша для входного сигнала x(t) = t заданного на интервале времени [0, 1]. Поскольку функции Уолша принимают значения +1 и –1, то их дискретным аналогом будут являться строки матрицы Адамара (ti ) = H, элементы которой определяют значение функций на множестве равноудаленных точек.

Построив матрицу Адамара, коэффициенты разложения функции x(t) можно вычислить по формуле Cx = HX, (2.96) n где n – число дискретных значений, X = (x1,x2,… xn) – вектор, элементы которого представляют дискретные значения функции x(t) определенные в середине интервалов дискретизации.

Для нахождения матричного оператора интегрирования подставим в выражение для интегрируемой функции ее разложение по выбранному базису T T T y(t) = x( )d = ( )Cxd. (2.97) 0 Поскольку Cx не зависит от ее можно вынести за знак интеграла T T y(t) = ( )dCx, (2.98) а интеграл от базисных функций также разложить по выбранному базису t n T s (t) = ( )d =. (2.99) ( ) =Aи( ) i i i=Откуда можно найти искомый оператор интегрирования Aи = -1s. (2.100) Как следует из (2.99) матрицу Фs можно получить суммированием с накоплением матрицы (ti ) = H или матрицы Адамара.

Программа, осуществляющая интегрирование в базисе функций Уолша для n=8, приведена ниже.

n=8;

t=1/(2*n):1/n:1; %Задание дискретного времени x=t; % Задание подынтегральной функции H=hadamard(n); % Формирование матрицы Адамара Cx=H*x'./n; % Вычисление коэффициентов разложения входного сигнала sH=cumsum(H)/n; % Суммирование с накоплением матрицы Адамара Ai=inv(H)*sH; % Вычисление интегрального оператора Cy=Ai*Cx; % Вычисление коэффициентов разложения выходного сигнала y=H*Cy % Вычисление интеграла от входного сигнала stairs(t,y) % Построение приближения выходного сигнала hold on plot(t,x.^2/2),grid % Построение выходного сигнала hold off Результаты расчетов Матрица Адамара H = 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -Коэффициенты разложения входного сигнала Cx= [0,5000 -0,0625 -0,1250 0 -0,2500 0 0 0] Интегральный оператор Aи = 0,5625 0,0625 0,1250 0 0,2500 0 0 -0,0625 0,0625 0 0 0 0 0 -0,1250 0 0,0625 0,0625 0 0 0 0 0 -0,0625 0,0625 0 0 0 -0,2500 0 0 0 0,0625 0,0625 0,1250 0 0 0 0 -0,0625 0,0625 0 0 0 0 0 -0,1250 0 0,0625 0, 0 0 0 0 0 0 -0,0625 0,Коэффициенты разложения выходного сигнала Cy = [0,1992 -0,0352 -0,0703 0,0078 -0,1406 0,0156 0,0313 0] Значения выходного сигнала y=[0,0078 0,0313 0,0703 0,1250 0,1953 0,2813 0,3828 0,5000] Рис.2.13.

2.6. Математические модели нелинейных систем на базе функциональных рядов Вольтерра – Винера Данные модели являются дальнейшим развитием метода матричных операторов и применяются для исследования нелинейных систем. В отличии от линейных для нелинейных систем нарушается принцип суперпозиции и постоянство масштаба переменных. Вследствие этого становится неприменимым математический аппарат теории линейных систем, а в нелинейных системах возникают многие явления, не имеющие места в линейном случае и связанные, например, с появлением комбинационных гармоник и расширением спектра выходного сигнала, возникновении автоколебаний и нелинейного резонанса.

С позиции теории функций, моделирование нелинейной системы можно рассматривать как аппроксимацию оператора, характеризующего систему, в классе функциональных полиномов заданной степени. Решение данной задачи методом матричных операторов существенно упрощается при условии ортогональности используемых полиномов. Для аппроксимации статических нелинейных систем (без памяти) могут применяться обычные полиномы:

Чебышева, Эрмита, Лагерра и др. Для динамических систем (с памятью) требуется построение функциональных полиномов, ортогональных для заданного класса входных и выходных сигналов системы. В частности, известные функционалы Винера ортогональны для белого гауссова шума [24].

С математической точки зрения процесс в нелинейной системе может быть представлен как преобразование множества X входных сигналов в множество Y выходных сигналов с помощью нелинейного оператора F. Различные классы процессов определяются видом элементов тройки < X, Y, F >. В свою очередь сигналы, являющиеся носителями информации во времени и пространстве, могут быть определены в виде двойки < T, S >, где множество T определяет область задания сигнала, а множество S - область его значений. Для непрерывных сигналов множества T и S являются бесконечными, а для дискретных сигналов, ограниченных по длительности, данные множества являются конечными.

В классе линейных систем, как уже отмечалось, выполняется принцип суперпозиции, согласно которому для любых x1, x2 X справедливо F ax1 + bx2 = aF x1 + bF x2, (2.101) [] [ ] [ ] где a и b - произвольные константы. Если условие (2.101) не выполняется, то система является нелинейной.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.