WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 19 |

m n1 =0 nm =(8.16) Предположим, что корреляционная функция Rx(n) сигнала x(n), используемого для тестирования системы в процессе идентификации, также имеет конечную длительность R. Обозначим N = max(h, R). Положим M{x(n)} = M{y(n)} = 0, что всегда можно обеспечить центрированием процессов x(n) и y(n).

$ Согласно выражениям (8.1) и (8.3) оценки H (1,..., m) ядер Винера m определяются путем усреднения многомерных периодограмм, вычисленных по конечным интервалам временных рядов x(n) и ym(n). Такое разбиение реализаций на отрезки позволяет наиболее эффективно построить процедуру вычисления функционалов (8.16) на основе использования алгоритма БПФ и принципов сегментации данных.

Итак, представим реализацию x(n) в виде непересекающихся отрезков xl(n), содержащих по N > N отсчетов каждый, и вычислим ортогональный функционал Gm[hm, xl(n)], предполагая известным ядро Hm(k1,..., km) Винера в частотной области. Возможны два различных подхода при организации такого вычислительного процесса.

Первый подход, состоящий в непосредственном расчете по формуле (8.16), довольно неэффективен, так как требует выполнения трудоемкой операции многомерного преобразования Фурье для определения ядра hm(n1,..., nm) во временной области по его изображению Hm(k1,..., km) в частотной. Поэтому воспользуемся вторым подходом [93], непосредственно использующим ядро в частотной области. Для этого дополним многомерный массив hm(n1,..., nm) нулями для значений аргументов, лежащих в интервале [N, N - 1], и рассмотрим циклическую свертку вида N -1 N -f (n1,...,nm) = K l h (i1,...,i )Hem[ x(n1 - i1),..., x(nm - i )].

m m m i1 =0 i =m (8.17) Результатом циклической свертки является периодическая функция fl(n1,..., nm), преобразование Fl(k1,..., km) Фурье которой связано с частотным ядром Hm(k1,..., km) следующим простым соотношением:

Fl(k1,..., k ) = H (k1,..., k )H em [ X (k1),..., X (k )].

mm m l l m Здесь Hem[Xl(k1),..., Xl(km)] представляет собой m-мерное ДПФ полинома Эрмита. На основании сделанного допущения о финитности корреляционной функции Rx(n) из выражения (2.130) получим m Hem[ X (k1),..., X (km)] = (-1)r x (ki )(ki + k ) X (k ), l l S j l s (r ) r = 0 (m- 2r ) где суммирование производится по всевозможным разбиениям совокупности {k1,..., km} на r пар {ki, kj} и (m - 2r) элементов ks.

Циклическая свертка (4.40) и функционал Gm[hm, xl(n)] связаны следующим очевидным тождеством:

Gm[hm, xl (n)] = fl (n1,..., nm) = fl (n), lN n l (N - 1). (8.18) n1 =...=nm =n Таким образом, выполняя операцию циклической свертки для всех непересекающихся отрезков xl(n) входной реализации x(n), ортогональный функционал можно вычислить лишь на интервалах lN n l(N - 1), l = 1,..., L. Из соотношения (8.18) также следует, что для определения значений функционала во всем диапазоне изменения n достаточно, чтобы реализации перекрывались друг с другом на интервалах N N.

На рис. 8.1 показана такая организация сегментации данных с перекрытием N = N/2. При этом для формирования правой половины fl1(n) отрезков fl(n), определяющих выходной сигнал фильтра на отдельных интервалах, используются отрезки xl1(n), а для формирования левой половины fl2(n) - отрезки xl2(n), сдвинутые относительно xl1(n) на N/2. Заметим, что выбор интервала перекрытия, равным N/2, позволяет формировать отрезки fl(n) из минимального количества составных частей.

При реализации рассмотренной выше процедуры необходимо вычислять лишь диагональные элементы получаемых в результате циклической свертки многомерных массивов fl(n1,..., nm). Это можно сделать, например, определив сначала многомерное обратное ДПФ массива Fl(k1,..., km) и выбрав затем диагональные элементы результата. Более эффективный метод [50] использует модифицированный алгоритм многомерного БПФ, ориентированный на вычисление только диагональных элементов массива.

Рис. 8.1. Сегментация данных при вычислении ортогональных функционалов Однако наибольшей экономии в вычислениях можно достигнуть, если операцию перехода к одной переменной выполнять не во временной, а в частотной области с помощью выражения N -1 N -Fl (k) = (8.19) L F (k1,..., km)(k - k1-...-km), l m-N k1 =0 km =определяя затем искомое значение fl(n) путем выполнения обратного ДПФ (уже одномерного) над полученным результатом Fl(k). Таким образом, в данном случае вместо трудоемкой операции многомерного ДПФ выполняется более простая операция (8.19), не требующая умножения комплексных чисел.

В соответствии с рассмотренными выше принципами сегментации данных и выражениями (8.1) - (8.3) алгоритм вычисления оценки $ H (k1,..., km) ядра Винера в частотной области можно представить m состоящим из следующей последовательности действий:

1. Разбиение реализации входного процесса x(n) на две группы отрезков xl1(n) и xl2(n), l = 1,..., L, перекрывающихся на интервалах N/2 (см. рис. 8.1), а реализации выходного процесса y(n) - на отрезки y1,l(n), совпадающие по времени с отрезками xl1(n).

2. Вычисление с помощью алгоритма БПФ коэффициентов Фурье i X (k) = БПФ xli (n) { }, i = 1, 2.

l 3. Вычисление по ранее полученной оценке m-1(1,...,m-1) ядра меньшего порядка многомерных функций $ Fli (k1,..., km-1) = H (k1,..., km-1)Hem-1[ Xli (k1),..., Xli (km-1)], i = 1, m-и определение Fli(k) путем выполнения операции (4.42) перехода к одной переменной в частотной области.

4. Определение с помощью обратного БПФ циклических сверток fli (n) = ОБПФ Fli (k) i = 1, 2.

{ }, 5. Формирование l-го отрезка составляющей выходного сигнала фильтра, обусловленной ортогональным функционалом (m-1)-го порядка fl1(n), N 2 n N - 1;

fl (n) = fl2(n + N 2), 0 n N 2 - 1.

6. Определение отрезка ym,l(n) реализации ym(n) путем вычитания из соответствующего отрезка ранее полученной реализации ym-1(n) отрезка fl(n), т.

е. ym,l(n) = ym-1,l(n) - fl(n).

7. Умножение массивов xl1(n) и ym,l(n) на временное окно wm(n) и вычисление ДПФ X (k) = БПФ wm(n)xl (n) l { }, Yml (k) = БПФ wm(n)ym,l (n).

{ }, l 8. Вычисление многомерных периодограмм I (k1,..., km) по ymx...x формуле (8.2) для всех отрезков l = 1,..., L временных рядов и оценки $ H (k1,..., km) ядра m-го порядка согласно выражениям (8.1) и (8.3).

m Заметим, что ДПФ пары действительных массивов, вычисляемые на шагах 2 и 7 алгоритма, можно получить за один проход алгоритма БПФ, если предварительно объединить данные массивы в один комплексный [65]. Тогда для вычисления оценки ядра m-го порядка (m 2) в общей сложности необходимо выполнить 3L ДПФ, что составит 1.5Nlog2N операций комплексного умножения [6].

Выполнение этапов 3 и 8 алгоритма осуществляется на множестве Dm точек (k1,..., km), принадлежащих области задания ядер, которое согласно (2.140) может быть определено в виде k1+...+km N N 2, y Dm =,..., km):, (8.20) (k ki N N 2, i = 1,..., m x где Nx = x/ и Ny = y/. Дополнительного сокращения вычислительных затрат на данных этапах алгоритма можно достигнуть за счет использования свойств симметрии ядер и результатов промежуточных вычислений.

Действительно, процесс вычислений можно организовать таким образом, чтобы частичные произведения и суммы, полученные на предыдущих этапах алгоритма, полностью использовались для последующих вычислений. Так, например, результаты вида m = Xl(k1)...Xl(km), m = k1 +K + km, полученные при формировании периодограммы m-го порядка, могут быть использованы далее для вычисления соответствующих произведений и сумм m+1 = m Xl(km+1), m+1 = m + km+1, определяющих периодограмму (m + 1)-го порядка, которая в этом случае формируется согласно выражению l I (k1,..., km+1) = Ym+1,l (m+1) m+1.

yx...x Такая организация процесса вычислений возможна при соответствующем методе сканирования опорных множеств Dm, m = 1,..., M вида (8.10), учитывающем взаимосвязь между ними и свойства симметрии ядер в частотной области.

С учетом сделанных замечаний общее количество комплексных умножений, необходимых для вычисления оценки ядра Винера m-го порядка в предлагаемом алгоритме, составит L(1.5Nlog2N + Km-1 + Km), где Km обозначает количество точек (k1,..., km) Dm.

8.3. Быстрый алгоритм идентификации при псевдослучайных воздействиях Методика эксперимента, проводимого в процессе активной идентификации, состоит в возбуждении системы тестовым сигналом специального вида. Выбор тестового сигнала должен определяться таким образом, чтобы, с одной стороны, получить в ходе эксперимента максимум информации о системе, а с другой - упростить вид ортогональных функционалов и процедуру идентификации в целом [87, 98].

Учитывая данные обстоятельства, воспользуемся в качестве тестового сигнала псевдослучайным процессом x(n), определяемым дискретным аналогом известного разложения Райса - Пирсона [46] вида:

N x x(n) = X (k) exp( j kn). (8.21) N k =-N x Здесь коэффициенты X(k) Фурье принимаются равными A(k)exp[j(k)], где амплитуды A(k) отдельных гармоник определяют спектральную плотность мощности воздействия, а случайные фазы (k) статистически независимы и равномерно распределены в интервале [0, 2]. Наложим на X(k) дополнительные ограничения X(-k) = X*(k) и X(0) = 0, гарантирующие действительность процесса x(n) и равенство нулю его математического ожидания. При каждом фиксированном наборе l(k) случайных фаз соотношение (4.44) определяет периодическую реализацию xl(n) псевдослучайного процесса x(n), коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ) которой равны A(k)exp[jl(k)]. Для формирования реализаций процесса x(n) целесообразно использовать алгоритм БПФ.

В соответствии с выбранным методом генерирования тестового сигнала lя реализация xl(n) псевдослучайного процесса x(n) однозначно определяется набором Nx коэффициентов Xl(n) ДПФ. Аналогично установившуюся реакцию yl(n) системы на периодическое воздействие xl(n) будем характеризовать набором Ny коэффициентов Yl(n) ДПФ реакции. Тогда ортогональный фильтр (4.3), моделирующий частотный отклик Y(k) нелинейной системы на воздействие X(k), можно представить в виде функционального полинома M-го порядка M YM (k) = (8.22) G [H, X (k)].

m m m= С помощью процедуры ортогонализации Грама - Шмидта в приложении Б показано, что система функционалов Gm[Hm, X(k)] в частотной области, ортогональных при псевдослучайных воздействиях вида (8.21), определяется следующим выражением:

m Gm[H, X (k)] = H (k1,K, km)(k - k1-K -km) X (ki ), (8.23) m m Dm i =где суммирование проводится по всем элементам опорной области Dm, образованной всевозможными сочетаниями (k1,..., km) из совокупности чисел {-Nx,..., -1, 1,..., Nx}, такими, что ki -kj.

Ядра Hm(k1,..., km) ортогонального фильтра определим из условия минимума квадрата нормы вектора ошибки между ДПФ реакции Y(k) системы и YM(k) фильтра Y (k) - YM (k) min.

Выражение, определяющее оптимальные ядра Винера в частотной области, также получено в п. 2.8 и имеет вид ** M Y (k1 + K + k )X (k1)K X (k ) { mm }.

H (k1,K, k ) = (8.24) mm A2(k1)K A2(k ) m Для построения оценки ядра Hm(k1,..., km), пригодной для практической идентификации, введем периодограмму [97] m l I (k1,..., k ) = Yl (k1 +... + k ) exp- j l (ki ). (8.25) yx...x m m i =Тогда на основании теоретического выражения (8.24) оценку ядра Hm(k1,..., km) можно определить следующим образом:

L l I (k1,..., k ) yx...x m l =$ H (k1,K, k ) =. (8.26) mm LA(k1)K A(k ) m Отложим исследование статистических свойств данной оценки до следующего раздела, а сейчас, следуя [87, 97], рассмотрим алгоритм идентификации, позволяющий существенно снизить объем вычислительных затрат, связанных с определением ядер ортогональных фильтров.

В процессе идентификации система возбуждается различными реализациями xl(n), l = 1,..., L псевдослучайного процесса, получаемыми из (8.21) при различных наборах l(k) случайных фаз коэффициентов Xl(n) ДПФ.

По истечении переходного процесса в системе для каждого воздействия xl(n) регистрируется реакция yl(n) и вычисляется ее ДПФ Yl(n), которое используется l для определения периодограмм I (k1,..., km), различных порядков yx...x $ m = 1,..., M. Для вычисления оценок H (k1,K, km) ядер полученные m периодограммы усредняются по всем реализациям xl(n), l = 1,..., L в соответствии с выражением (8.26). Заметим, что в данном случае не ставится условие последовательного определения оценок ядер, так как необходимости в моделировании отдельных составляющих реакции системы здесь не возникает.

Вычисление периодограмм (8.25) и оценок (8.26) осуществляется на множествах Dm точек (k1,..., km), составляющих область задания ядер Hm(k1,..., km), m = 1,..., M. Множество Dm определяется аналогично множеству (8.20) и отличается лишь тем, что из него исключаются совокупности (k1,..., km), содержащие нулевые индексы или индексы, равные по абсолютному значению и противоположные по знаку, так как в этих точках ядра вида (8.24) тождественно равны нулю.

Процедуру вычисления оценок H$m (k1,K, k ) ядер можно построить m наиболее эффективно [97], если генерирование случайных фаз (k) комплексных коэффициентов X(k) в (8.21) осуществлять путем случайной выборки значений фаз в R равноотстоящих точках, принадлежащих интервалу [0, 2], положив (k) = 2sk/R, где sk - случайные целые числа, равновероятно принимающие значения из ряда 0,..., R - 1. Тогда, учитывая периодичность функции expjx, выражение (8.25) для периодограммы можно представить в виде:

l l l I (k1,..., k ) = Yl (k1 +... + k ) exp- j sk1 + K + skm mod R, (8.27) yx...x m m { } R где skl - значения случайных фаз, определяющих l-й набор l(k) случайных фаз, а {•}modR означает суммирование по модулю R.

Так как число допустимых значений фаз ограничено величиной R, периодограмма (8.27) также может принимать значения лишь из конечного ряда, образованного различными произведениями Yl(k)exp(-j2i/R), k = 0, K, Ny, i = 0,..., R - 1, что позволяет заранее формировать массив возможных значений периодограмм после каждого вычисления ДПФ Yl(k) реакции системы. С учетом сделанного замечания алгоритм идентификации можно представить состоящим из следующих основных шагов:

1. Генерирование Nx целых случайных чисел sil, i = 1,..., Nx, равновероятно принимающих значения из ряда 0,..., R - 1, и формирование коэффициентов Xl(k) ДПФ воздействия, равных l A(k) exp j 2sk R, k = 1, K, N x ;

( ) X (k) = 0, k = 0, N + 1, K, N - N - 1;

l xx l A(N - k) exp - j 2sN R, k = N - N, K, N - 1.

( ) x - k 2. Вычисление с помощью алгоритма обратного БПФ реализации xl(n) псевдослучайного процесса N -xl (n) = Xl (n) exp j 2kn N, n = 0,..., N - 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.