WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 19 |

(6.30) Моделирование работы алгоритмов этой группы для случайных стационарных процессов, задаваемых авторегрессионной моделью показало, что алгоритм (6.30) имеет преимущество перед всеми рассмотренными ранее алгоритмами идентификации. Так при нормальном законе распределения помех он имеет эффективность такую же, как и не робастные алгоритмы, а при наличии аномальных помех позволяет получить сходящиеся и более точные оценки процесса, в то время как оценки не робастных алгоритмов расходятся.

7. Идентификация переменных состояния объекта управления.

7.1. Идентификация переменных состояния с использованием наблюдателей состояния Очень часто в задачах управления возникает ситуация когда не все переменные состояния объекта могут быть непосредственно определены с использованием прямых или косвенных методов измерения. В этом случае для полностью наблюдаемого объекта с известными параметрами задаваемого уравнением dx = Ax + Bu, x(t0 ) = x(0) (7.1) dt и измеряемыми переменными y = Cx, (7.2) можно вычислить (оценить) его переменные состояния, непосредственно, используя математическую модель объекта dx = Ax + Bu, x(t0 ) = x(0). (7.3) dt Очевидно, что если x(0) = x(0), то решение уравнения (7.1) точно совпадает с решением уравнения (7.3).

Если x(0) x(0), или имеет место ошибки идентификации параметров объекта, то возникает ошибка восстановления переменных состояния, удовлетворяющая уравнению de = Ae; e(t0 ) = x(0) - x(0). (7.4) dt Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка восстановления будет с течением времени уменьшаться, в пределе приближаясь к нулю.

Этого ограничения свойств объекта можно избежать и улучшить сходимость оценки восстановления, если использовать измеряемые переменные у. Для этого в уравнение ошибки (7.4) вводится взвешенная невязка фактически измеренных у и смоделированных переменных. С учетом (7.2) это приводит к следующему уравнению de = [A - KС]e; e(t0 ) = x(0) - x(0), (7.5) dt где К – некоторая прямоугольная весовая матрица, называемая матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Матрица К должна удовлетворять условиям асимптотической устойчивости уравнения (7.5).

Для полностью наблюдаемого объекта удовлетворяющего условию Rang CT, AT CT,..., AT (n-1)CT = n, (7.6) где n – порядок объекта, такая матрица всегда существует[2].

Уравнение наблюдателя, оценивающего переменные состояния объекта можно получить путем подстановки в уравнение объекта (7.1) вместо истинных x = x + e переменных их оценки dx de + = A(x + e) + Bu. (7.7) dt dt Подставляя сюда вместо производной от ошибки ее выражение (7.5) приходим к уравнению наблюдателя dx = Ax + K[y - Cx]+ Bu, x(t0 ) = x(0) (7.8) dt Поскольку размерность вектора состояния наблюдателя равна размерности вектора состояния объекта, то такие наблюдатели называются наблюдателями полного порядка.

На рис. 7.1 показана структурная схема наблюдателя uy Объект x В А + + К С Рис. 7.Данную структуру можно реализовать программными или техническими средствами и оценить тем самым неизмеряемые компоненты вектора переменных состояния.

Замыкая обратную связь в системе с наблюдателем по оцениваемым переменным состояния, как показано на рис. 7.2, в соответствии с теоремой разделения можно реализовать оптимальное стохастическое управление, для которого расчет коэффициентов матрицы обратной связи проводится методом АКОР при полностью измеряемом векторе переменных состояния.

gu y Объект x В А + + К С L Рис. 7.2.

Покажем справедливость применения теоремы разделения для построения закона управления и наблюдателя. Характеристический полином такой системы будет выглядеть Ip - A + KD D( p) = = p - A + KD Ip - A - BLT. (7.9) BLT Ip - A - BLT Из этого выражения следует, что корни характеристического уравнения оптимальной системы с наблюдателем состоят из корней характеристического уравнения наблюдателя и корней характеристического уравнения оптимальной системы, у которой все переменные состояния доступны непосредственному измерению. Следовательно, можно проводить раздельное построение закона управления и наблюдателя.

7.2. Наблюдатель пониженного порядка У наблюдателей пониженного порядка размерность его вектора состояния уменьшается на число компонент измеряемого вектора. Такой наблюдатель называется еще редуцированным наблюдателем [2]. Для него вводят новые переменные состояния, задаваемы следующими условиями v = Tx, (7.10) причем x = Sy + v. (7.11) Подставить в (7.11) у и v из (7.2) и (7.10) получим x = SCx + x. (7.12) Если x(0) = x(0), то равенство (7.12) должно являться тождеством, откуда следует уравнение для вычисления матриц S и Ф SC + T = I. (7.13) Уравнение наблюдателя пониженного порядка можно получить, дифференцируя (7.10), с последующей подстановкой производной по x из уравнения наблюдателя полного порядка (7.8) dv = T[Ax + K[y - Cx]+ Bu]. (7.14) dt Подставляя сюда x из (7.10) будем иметь dv = v + Fy + TBu, (7.15) dt где = T(A - KC)T-1, F = TK.

Исключая Т из выражений для матриц Г и К, получим уравнение для их вычисления TA - T - FC. (7.16) Непосредственно из уравнения (7.15) следует, что для устойчивости устройства восстановления необходимо и достаточно, чтобы собственные числа произвольной матрицы Г имели отрицательные вещественные числа.

Матрица Т, входящая в уравнение (7.15), является решением матричного алгебраического уравнения (7.16), которое единственно, если матрицы А и Г не имеют общих собственных чисел. Матрица F, входящая в уравнение (7.15) произвольна.

Впервые уравнения наблюдателя пониженного (7.10), (7.11), (7.13), (7.15) и (7.16) порядка были получены Люенбергером, поэтому такой наблюдатель часто называют наблюдателем Люенбергера.

Пример 7.1. Рассмотрим в качестве объекта управления исполнительный механизм с передаточной функцией k W ( p) =. (7.17) p(Tp + 1) Пусть непосредственному измерению доступно перемещение исполнительного органа l.

Требуется построить наблюдатель пониженного порядка для восстановления частоты вращения исполнительного механизма.

Уравнения состояния рассматриваемого объекта примут вид dx= a11x1 + bu;

dt dx= a21x1; (7.18) dt y = x2, 1 k где a11 = -, b =, a21 = 1.

T T В соответствии с (7.11) и (7.15) искомый наблюдатель описывается уравнениями x1 = S11 y + 11v;

(7.19) x2 = S21 y + v;

dv = v + f11 y + t11bu, (7.20) dt параметры которых находятся из матричных уравнений (7.13), (7.16) и которые в рассматриваемом случае примут вид:

s11 11 1 (0 1) + (t11 t12 ) = ; (7.21) 0 s 21 (t11 t12 ) a11 0 - (t11 t12 ) = f11(0 1). (7.22) a 0 В развернутой форме уравнения (7.21) преобразуются к виду:

11t11 = 1; s11 + 11t12 = 0; 21t12 = 0; s21 + 21t12 = 1. (7.23) Решение этих уравнений имеет вид:

t11 = ; s11 = - ; 21 = 0; s21 = 1. (7.24) t11 tУравнение (7.22) запишется как:

t11a11 + t12a21 - t11 = 0; - t12 = f11, (7.25) 11 отсюда f11a21 ft11 = - ; t12 = -. (7.26) (a11 - ) 11 11 С учетом (7.24) и (7.26) уравнения наблюдателя (7.19), (7.20) примут вид:

a11 - (a11 - ) 11 11 x1 = y - v;

a21 f11ax2 = y4 (7.27) f11adv = y + f11 y - bu.

dt (a11 - ) 11 Из условия устойчивости наблюдателя полагаем < 0, а f11 =1, выбирается произвольно.

7.3. Построение наблюдатели полного порядка методом модального управления Рассмотренный в п.7.2 метод построения наблюдателя пониженного порядка сводится к введению вспомогательных переменных v системы управления. Уравнение наблюдателя для новых переменных (7.15) не содержат в явном виде матрицы коэффициентов усиления наблюдателя К, причем часть коэффициентов этого уравнения выбирается произвольно (коэффициенты матрицы F) и на основе выполнения условий отрицательности коэффициентов (коэффициенты матрицы Г).

Можно преодолеть эту неопределенность в выборе коэффициентов, воспользовавшись двойственностью (дуальностью) задач управления и наблюдения. Для пояснения этого свойства систем управления введем в рассмотрение вспомогательную систему управления, задаваемую уравнениями [41] dz = AT z + СT u;

(7.28) dt u = -KT z.

Нетрудно убедится, что если исходная система, задаваемая уравнениями (7.1), (7.2), полностью наблюдаема, то вспомогательная система (7.28), полностью управляема, так как условия наблюдаемости у управляемости для них полностью совпадают. Следовательно, для полностью управляемой вспомогательной системы может быть найдена единственная матрица К обеспечивающая заданные показатели качества вспомогательной системы.

Вместе с тем характеристические полиномы вспомогательной системы (7.28) и наблюдателя полного порядка (7.8) полностью совпадают, значит, будут идентичными и динамические характеристик этих систем.

Таким образом, свойство двойственности систем управления позволяет свести задачу нахождения матрицы коэффициентов усиления наблюдателя, к задаче синтеза закона управления вспомогательной системы, полученной из исходной.

Для многомерных систем нахождение матрицы коэффициентов усиления наблюдателя может быть осуществлено на основе модального или линейноквадратичного управления, реализуемого методом аналитического конструирования регуляторов.

Рассмотрим нахождение матрицы коэффициентов усиления наблюдателя методом модального управления.

Пусть для объекта управления заданного уравнениями (7.1), (7.2) требуется построить наблюдатель полного порядка (7.8).

На основании свойства двойственности вводится в рассмотрение вспомогательная система, задаваемая уравнениями (7.28). После этого она приводится к канонической управляемой форме.

( ( ( dz ( = AT z + СT u;

dt (7.29) ( ( u = -KT z, где 0 1... 0 0 0... ( (...

A =............ ;CT = (7.30) 0 0... 1 - d0 - d1... - dn-1 Переход от уравнения (7.28) к (7.29) осуществляется с помощью линейного преобразования ( z = z, (7.31) где ( ( ( ( ( - = (CT, AT CT,... (AT )n-1CT )(CT, AT CT,... (AT )n-1CT ). (7.32) Задавясь желаемыми корнями характеристического уравнения (р1,р2,…,рn) вычисляют желаемые коэффициенты характеристического полинома системы di* n * * * (7.33) (p - pi ) = pn + dn-1 pn-1 +... + d1 p + d0, i=( находят значения коэффициентов матрицы K ( ki+1 = di* - di, i =1,2,...n - 1 (7.34) и переходят к исходным переменным ( KT = KT. (7.35) Пример 7.2. Определим матрицу К наблюдателя полного порядка для переменных состояния исполнительного механизма рассмотренного в п.7.2.

Уравнения наблюдателя полного порядка для переменных состояния исполнительного механизма, описываемого уравнениями (7.18), имеют в соответствии с (7.8) вид:

dx = a11x1 + k11(y - x2 ) + bu;

dt (7.36) dx = a21x1 + k21(y - x2 ).

dt Неизвестные коэффициенты k11, k21 определим так, чтобы корни характеристического уравнения наблюдателя имели наперед заданные значения p1, p2.

Введем вспомогательную систему, задаваемую уравнениями (7.28) dz= a11z1 + a21z2 ;

dt (7.37) dz= u.

dt Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

p2 - a11 p = 0. (7.38) Коэффициенты характеристического уравнения соответственно равны d0 = 0; d1 = -aПриведем эти уравнения к канонической управляемой форме (7.29) ( dz( = z2 ;

dt (7.39) ( dz( = -a11z2 + u.

dt Вычислим матрицу перехода по формуле (7.32) 0 1 0 a21 -1 0 0 a = =. (7.40) 1 - a11 0 = a11 1 1 - a21 0 a11 a ( Коэффициенты матрицы K в соответствии с (7.34) будут равны ( ( k11 = p1 p2; k21 = p1 + p2 + a11.

Тогда по формуле (7.35) найдем коэффициенты матрицы К p1 p2 ak11 = - ( p1 + p2 );

a21 a(7.41) ( k22 = k21 = p1 + p2 + a11.

7.4. Оптимальный наблюдатель Впервые уравнение оптимального наблюдателя было получено работе Р. Калмана и Бьюси [8], которая явилась дальнейшим развитием результатов А.Н. Колмогорова и Н. Винера по оптимальной фильтрации.

Исходная постановка задачи оптимального наблюдения формулируется следующим образом [2]. Пусть не все переменные состояния объекта доступны непосредственному измерению и пусть, кроме того, измерения осуществляются с помехами. В этом случае объект управления описывается уравнениями dx = Ax + Bu + Gf;

dt y = Cx + v; (7.42) x(t0 ) = x(0), где в уравнение дополнительно вводятся, вектор внешних возмущений f размерность которого не превышает размерность объекта и вектор шумов измерения v размерность которого равна размерности вектора измеряемых переменных у. Предполагается, что эти векторы являются независимыми (некоррелированными) случайными гауссовскими процессами типа «белый шум» с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационными матрицами Rf(t), Rv(t). Предполагается также, что начальные условия не зависят от возмущений и помех, а математическое ожидание и дисперсия вектора начальных условий известны.

T M[x(0)]= x(0); R(0) = M{[x(0) - x(0)][x(0) - x(0)] }. (7.43) Требуется построить наблюдатель состояния полного порядка dx = Ax + K[y - Cx]+ Bu, x(t0 ) = x(0), (7.44) dt в котором матрица К определяется из условия минимума среднего квадрата ошибки восстановления е J = M{eT e}, (7.45) - заданная положительно определенная матрица весовых коэффициентов.

На основании свойства двойственности решение этой задачи аналогично решению задачи линейно-квадратичного управления методом аналитического конструирования регулятора для вспомогательной системы (7.28).

Матрица коэффициентов усиления наблюдателя полного порядка К (7.44) для объекта (7.42), при которой функционал (7.45) достигает минимального значения, определяется выражением -K = PCT R, (7.46) v где Р – матрица чисел (размером n n ) определяется путем решения алгебраического уравнения Риккати -AP + PAT - PCT R CP + GR GT = 0. (7.47) v f Построения оптимального наблюдателя в силу двойственности этой задачи является в общем случае решением задачи оптимального стохастического управления при неполной информации о векторе переменных состояния. Нахождение матрицы коэффициентов обратной связи линейноквадратичного регулятора по наблюдаемым параметрам реализуется процедурой аналитического конструирования для исходного уравнения объекта (7.42), а вычисление матрица коэффициентов усиления наблюдателя полного порядка также реализуется процедурой аналитического конструирования, но для вспомогательного (двойственного) объекта (7.28).

Пример 7.3. Определим матрицу К оптимального наблюдателя для переменных состояния исполнительного механизма рассмотренного в п.7.2, возбуждаемого случайными внешними возмущениями, при неточных измерениях. Уравнения объекта в этом случае примут вид:

dx= a11x1 + bu + gf ;

dt dx= a21x1; (7.48) dt y = x2 + v, где f(t), v(t) – центрированные случайные процессы типа «белый шум» с интенсивностями (дисперсиями) rf = 1, ru = 1 соответственно.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.