WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

Начинаем с минимальных заказов у каждого производителя, то есть x1 = 0, x2 = 4 (поскольку оценочная стоимость заказа x2 = 4 меньше, чем у заказа x2 = 3). Сравнивая цены при небольшом увеличении заказов видим, что дополнительный заказ выгоднее делать у первого ~ ~ производителя ( b1 = 1 ), а не у второго ( b2 = 2 ). Поэтому оптимальное решение оценочной задачи x1 = 11, x2 = 4, а минимальная оценочная стоимость составляет 19 единиц.

s2(x2) ~ s2(x2 ) x3 4 Рис. 1.8.

Сравнивая оценочные стоимости двух рассмотренных вариантов, мы видим, что во втором варианте она меньше. Поэтому выбираем вариант с меньшей оценочной стоимостью. Заметим теперь, что фактическая стоимость в решении x1 = 11, x2 = 4 совпадает с оценочной. Поэтому полученное решение является оптимальным решением всей задачи.

Рассмотрим более сложный пример для иллюстрации эффективности метода ветвей и границ.

Пример 1.2. Имеются три производителя, данные о которых приведены в таблице 1.5. Пусть V = 14, а каждый производитель имеет не более 10 единиц продукции. Для оценочной задачи на первом шаге имеем: s1(x1) = 3x1, s2(x2) = 2x2, s3(x3) = x3. Решение оценочной задачи, ~ ~ очевидно, x1 = 0, x2 = 4, x3 = 10, S = 18. Поскольку s2(4) = 8 < s2(4) = 12, то рассматриваем два подмножества решений – Q1 и Q2. В первом подмножестве x2 4, а во втором x2 4.

Таблица 1.5.

1 V1 5 8 производитель b1 6 5 2 V2 3 6 производитель b2 5 3 3 V3 4 9 производитель b3 4 2 Анализ первого подмножества. Оценочная функция для ~ первого производителя будет уже другой - s2(x2 ) = 3x2. Оптимальное решение оценочной задачи остается прежним: x1 = 0, x2 = 4, x3 = 10, причем оценка стоимости S = 22 совпадает с фактической стоимостью.

Анализ второго подмножества. Оценочная функция для второго производителя во втором подмножестве решений выделена на рис. 1.9 толстой линией. Оптимальное решение оценочной задачи ~ x1 = 0, x2 = 6, x3 = 8, оценочная стоимость S = 12 + 8 = 20.

s2(x2) x3 6 Рис. 1.9.

Из двух решений выбираем решение с минимальной величиной оценочной функции, то есть второе подмножество Q2 с решением x1 = 0, x2 = 6, x3 = 8.

Заметим, что в этом решении значение оценочной функции для третьего производителя меньше, чем фактическая стоимость ~ s3(8) = 8 < s3(8) = 16. Поэтому разбиваем второе подмножество на два подмножества – Q21 и Q22. В первом из них x3 8, а во втором x3 8.

Анализ подмножества Q21. Оценочная функция третьего ~ производителя имеет вид s3(x3) = 2x3, для второго и первого оценочные функции не меняются. Одно из оптимальных решений оценочной задачи ~ x1 = 0, x2 = 8, x3 = 6, S = 28.

Анализ подмножества Q22. Оценочная функция третьего ~ производителя имеет вид s3(x3) = x3 9 x3 10. Оптимальное решение ~ оценочной задачи x1 = 0, x2 = 6, x3 = 9, S = 21 и совпадает с фактической стоимостью.

Заметим, что в данном случае центр закупает продукции больше, чем требуется, поскольку, закупая ровно 14 единиц, он в данном случае проигрывает. Действительно, если центр закупает у второго производителя не 6 единиц, а 5, стоимость составит 53 = 15 единиц вместо 12, а если он закупает у третьего производителя не 9 единиц, а 8, то стоимость составит 82 = 16 единиц вместо 9. Сравнивая оценочные стоимости подмножеств Q1, Q21 и Q22, выбираем подмножество с ~ минимальной оценкой S(Q22) = 21. Соответствующее решение x1 = 0, x2 = 6, x3 = 9 является оптимальным, поскольку оценочная стоимость совпадает с фактической. На рис. 1.10 показано дерево ветвлений (разбиений множества всех решений на подмножества), вершины которого соответствуют подмножествам, а числа в вершинах – оценочным стоимостям.

x2 4 x2 22 x3 8 x3 28 Рис. 1.10.

Решая задачу при разных значениях V, мы получаем зависимость b(V). Далее задача решается также, как в случае одного производителя.

Зависимость b(V) можно получить и на основе метода динамического программирования. Для применения метода динамического программирования упорядочим производителей произвольным образом, например, согласно их номерам. Пусть нам необходимо получить зависимость b(V) при 1 V 16. Берем первого производителя и определяем минимальные стоимости закупок у него продукции в количестве от 1 до 10 (больше у него нет). Эти данные помещены в таблице 1.6.

Добавляем второго производителя и определяем минимальные стоимости закупок продукции у этих двух производителей в Таблица 1.6.

V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s1(V) 0 6 12 18 24 25 30 35 24 27 количестве от 1 до 16. Это делается следующим образом. Возьмем, например, заказ V = 3. Его можно обеспечить четырьмя способами: все заказать у первого производителя (стоимость составит s1(3) = 18), заказать 2 единицы у первого и 1 единицу у второго (стоимость составит s1(2) + b2(1) = 12 + 5 = 17), заказать 1 единицу у первого и единицы у второго (s1(1) + 2b2(2) = 16) и, наконец, все заказать у второго (стоимость составит 3b2(3) = 9). Очевидно, следует выбрать самый дешевый вариант, то есть все заказать у второго производителя.

Это и есть принцип оптимальности Беллмана.

Перебирая все возможные варианты и выбирая лучший, мы можем получить минимальные стоимости заказа при любых 1 V при условии, что обеспечение заказа проводится первыми двумя производителями. Эти минимальные стоимости обозначим через s12(V). Их значения приведены в таблице 1.7.

Таблица 1.7.

V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 s12(V) 5 10 9 12 15 12 14 16 18 20 26 32 38 36 38 Рассмотрим еще раз, как получена, например, величина s12(13) = 38. Сравнить следует всего 3 варианта: 1) заказ 10 единиц у второго и 3 единицы у первого (стоимость 38 единиц); 2)8 единиц у второго и 5 единиц у первого (стоимость 41); 3) 6 единиц у второго и единиц у первого (стоимость 47). Минимальная стоимость у первого варианта и она равна 38 единиц.

Наконец, подключаем третьего производителя и определяем искомые минимальные стоимости заказа S(V), действуя по аналогии со случаем двух производителей. Рассмотрим, например, случай V = 14.

Заказ V = 14 можно получить двумя способами, которые следует сравнить (остальные способы заведомо хуже). Первый – заказать единиц у третьего производителя и 4 единицы у первых двух (стоимость s12(4) + s3(10) = 22). Второй – заказать 6 единиц у первых двух и 8 единиц у третьего производителя (стоимость s12(6) + s3(8) = единиц). Выбираем лучший вариант со значением S(14) = 22 единицы.

Поступая таким образом для всех значений 1 V 16, получим итоговую зависимость S(V) (см. таблицу 1.8).

Таблица 1.8.

V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S(V) 4 8 9 8 10 12 14 16 9 10 15 18 19 22 21 Анализируя эту зависимость, мы видим, что заказ 14 единиц стоит дороже, чем больший заказ 15 единиц. Поэтому очевидно, что центр никогда не будет заказывать 14 единиц, а закажет 15, даже если нужно будет только 14. Аналогично нецелесообразны заказы в 3, 5, 6, и 8 единиц, так как гораздо дешевле вместо 3 единиц заказать 4, а вместо 5, 6, 7, или 8 единиц заказать 9.

Случай нескольких видов продукции сводится к независимому решению задач для каждого вида продукции.

1.3. Теоретико-игровой анализ механизма определения согласованных цен При оценке эффективности описанного выше механизма определения согласованных цен следует учитывать активность потребителей, которая проявляется в стремлении занизить предлагаемые ими цены. Рассмотрим, насколько велики могут быть потери центра от занижения цен потребителями. Пусть максимум прибыли центра достигается при V = Vk, то есть k Vk = max iVi.

i Пусть далее следующий по величине максимум равен V, то есть k Vk > V = max iVi.

ik Рассмотрим два возможных случая. В первом случае V > Vk, q < qk. В этом случае потребителю k выгодно снизить цену ck = qk до величины q. При этом центр установит согласованную цену q = q, потребитель k остается включенным в централизованную схему снабжения, покупая продукцию по более низкой цене. Заметим, что при этом выигрывают все потребители, включенные в централизованную схему снабжения.

Если следующий по величине максимум будет достигаться при V > V, то произойдет дальнейшее снижение цены.

Во втором случае V < Vk. В этом случае потребителю k также выгодно снизить цену, но так, чтобы величина kVk оставалась максимальной. В противном случае он выпадает из централизованной схемы снабжения. Из условия (ck – bk)Vk = (q - b )V определяем минимальную цену, которую может установить потребитель k:

V ck = bk + (q - b ) < qk.

Vk Пример 1.3. Пусть график (V), полученный на основе достоверных цен, предлагаемых потребителями, имеет вид, показанный на рис. 1.11. Достоверными мы будем называть цены, при которых потребителям одинаково выгодно использование как централизованной схемы, так и децентрализованной.

(V) V 6 9 13 Рис. 1.11.

Оптимальным, как легко проверить, является вариант V3 = 13, 3 = 3, 3V3 = 39. Следующим по величине является вариант V4 = 19, 4 = 2, 4V4 = 38. Так как V4 > V3, то третьему потребителю выгодно снизить предлагаемую цену до c3 = 2. В этом случае центр назначит цену q(14) на единицу меньше, чем q(13), и третий потребитель получит дополнительную прибыль.

После четвертого потребителя следующим по величине V является вариант V2 = 9, 2 = 4, 2V2 = 36. Так как V2 < V4 = 14, то и третий и четвертый потребители могут снизить цену, но так, чтобы ~(19) новое значение произведения 19 было меньше 36. Независимо от того, кто снижает цену, она должна быть не менее 36/19 1,89.

Отметим еще одну интересную тенденцию. Первый и второй потребители, видя, что цена центра q 2 значительно ниже цен, которые они предлагают, вполне возможно, и предлагать будут более низкие цены. Таким образом возникает общая тенденция снижения цен. Действительно, если первый и второй потребители снизят цены, например, до c2 = 3, то это позволит третьему и четвертому потребителям также снизить цены до величины /19 1,5, что подтолкнет первого и второго к дальнейшему снижению цен и т.д.

Вполне обоснованной представляется гипотеза о том, что с течением времени цены, предлагаемые потребителями, будут близкими.

Рассмотрим поэтому случай, когда все потребители предлагают одинаковые цены ci = q. Кроме того, примем, что в рассматриваемом интервале величин заказов V оптовые цены b(V) также не меняются. В этом случае (V) = будет постоянной величиной. Предположим, что потребитель i снизил цену на некоторую величину i > 0. Для того, чтобы «не выпасть» из централизованной схемы снабжения, потребитель i должен выбирать i из условия ( - i)V > (V – vi) или vi i <.

V Действительно, если i vi /V, то центр исключит потребителя i, сохранив цену q и получая прибыль (V - vi). Таким образом, возможности снижения цены у каждого потребителя ограничены. Тем не менее, тенденция для всех потребителей действует в одну сторону – в сторону снижения предлагаемых цен. Учитывая такую тенденцию, центр должен применять более гибкую стратегию. Возможный вариант – при снижении цен потребителями, как минимум одного из них исключать из централизованной схемы, даже если это не выгодно.

ГЛАВА 2. Определение сроков и объемов оптовых закупок 2.1. Описание модели В предыдущей главе мы рассмотрели задачу определения согласованных цен, а значит – множества потребителей, включенных в централизованную схему снабжения, а также объемы и сроки их заказов. На основе этой информации можно построить график поставок продукции от центра к потребителям. Для обеспечения этого графика, соответствующие объемы продукции должны быть своевременно заказаны у производителей и находиться на складе у центра.

С точки зрения оптовых цен, очевидно, самое выгодное закупить сразу весь объем продукции, заказанный потребителями в рассматриваемом периоде времени и держать его на складе. Именно такой вариант закупок был рассмотрен в предыдущей главе. Однако, при этом возрастают затраты на хранение продукции на складе, а также возможные потери в качестве и количестве продукции. Кроме того, большие закупки требуют соответствующего количества оборотных средств, что приведет к необходимости взятия кредита и выплаты процентов. Требуется найти оптимальный вариант закупок, обеспечивающий минимум суммарных потерь.

В качестве основного требования примем безусловное выполнение центром графика поставок потребителям (считаем, что санкции за срыв поставок превышают возможную экономию от уменьшения издержек на хранение и процентов за кредит). Рассмотрим интегральный график поставок продукции потребителям (рис. 2.1).

W(t) wwwwwt t1 t2 t3 t4 tРис. 2.1.

Смысл этого графика в том, что к моменту ti центр должен поставить потребителям продукцию в объеме wi. На основе графика поставок можно построить интегральный график закупок продукции у производителей (рис. 2.2), учитывая сроки поставок продукции от производителя центру.

W(t) wwwwwt 1 2 3 4 Рис. 2.2.

Можно закупать и раньше, но позже нельзя, поскольку это приведет к срыву графика поставок потребителям. В дальнейшем будем считать, что рост цен на продукцию незначителен, так что закупка продукции раньше, чем требуется, нецелесообразна. По этой причине возможные закупки продукции будут производиться центром в моменты i, определяемый сроками ti изменения объема поставок. Очевидно, что в момент 1 центр должен закупить продукции в объеме не менее w1. При этом, если следующая закупка продукции будет производиться в момент i, то в момент 1 центр должен закупить продукции в объеме wi-1. Действительно, объем продукции, закупленной в момент должен быть достаточен для того, чтобы обеспечить всех потребителей, поставки которым должны быть раньше, чем ti.

Предположим сначала, что оптовая цена продукции не зависит от объема закупок (это вполне возможная ситуация, когда объемы закупок попадают в интервал постоянства оптовой цены). Покажем, что в этом случае оптимальная стратегия закупок состоит в том, чтобы производить закупки продукции в моменты i в объеме i = wi – wi-1, то есть в объеме, который требуется для выполнения заказов потребителей в момент ti. Действительно, закупки ранее требуемого срока приведут только к росту затрат на хранение и процентов за кредит. Таким образом, закупка в момент i продукции в объеме более чем i целесообразна только, если объем закупочной партии будет обеспечивать скидку в оптовой цене. Примем, что скидка к оптовой цене дается производителем в случае, если объем закупок не менее определенной величины Q. Рассмотрим метод построения всех рациональных стратегий закупок. Начнем с момента времени 1 первой закупки. Очевидно, что в этот момент центр должен произвести закупку продукции либо в объеме 1 = w1, либо не менее Q.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.