WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Рассматриваем первую операцию. Если она выполняется первой бригадой, то проводим наклонную линию в точку с координатами 0 1 2 3 4 Рис. 2.(1; с1)=(1; 8). Если она выполняется второй бригадой, то проводим горизонтальную линию в точку с координатами (1; 0). Из каждой полученной точки проводим две линии (наклонную и горизонтальную) в зависимости от того какая бригада выполняет вторую операцию, и т.д. Получаем сеть, приведенную на рис. 2.14. Положим длины горизонтальных дуг равными 0, а длины наклонных величинам Сi соответствующих операций. Задача свелась к определению пути, соединяющего начало координат с одной из конечных вершин и имеющего максимальную длину среди всех путей, длина которых не превышает 16. Таких путей два, и каждый имеет длину 15. Соответственно получаем два оптимальных решения. В первом первая бригада выполняет операции 2, 4 и5 (время работы равно 15), а вторая – операции 1,3 (время работы равно 17). Во втором – первая бригада выполняет операции 3, 5 (время работы равно 15), вторая – операции 1, 2, 4 ( время работы равно 17).

Перейдем к рассмотрению случаев, когда число бригад «велико», Долее точно примем, что каждой бригаде назначается не более двух операций. Следовательно n2m. Пусть n=m+k, где km.

Пусть далее операции пронумерованы по возрастанию Сi, то есть С1С2…Сn. Оптимальное решение получается по следующему правилу. (m-k) операций с номерами (2k+1), …, (m+k) выполняются по одной (m-k) бригадами, а 2k операций выполняются по две k бригадами, причем первая бригада выполняет операции 1 и 2k, вторая – 2 и 2k-1, третья – 3 и 2k-2 и т.д.

Пример 2.4. Пусть n=9, m=6.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 Сi 2 3 5 6 8 9 10 11 Так как n=m+3, то k=3. Следовательно операции 7,8 и 9 выполняются по одной. Далее одна из бригад выполняет операции 1 и 6, вторая – 2 и 5 и третья – 3 и 4. Время выполнения всех операций T = max(10;11;11; 2 + 9; 3 + 8; 5 + 6)=2.5. Произвольная транспортная схема В случае достаточно большого числа бригад, когда каждой бригаде достается не более двух операций, удается эффективно решать задачи календарного планирования и для произвольных транспортных схем.

Пусть задана матрица времен перехода с одной операции ij i на другую j. Без ограничения общности можно принять, что n=2m (этого всегда можно добиться, вводя фиктивные операции). Пусть операции i и j выполняются одной бригадой. Если операция i делается первой, то время выполнения двух операций составит Tij = + i + +.

0i ij j В противном случае Tji = + j + + i.

0 j ji Обозначим через Cij следующую величину Cij = min(Tij;Tji) Рассмотрим симметрический граф с длинами ребер Cij. Задача свелась к выделению в этом графе m ребер (по числу бригад), никакие два из которых не имеют общих вершин. Такое множество ребер называется паросочетанием графа. Таким образом, необходимо найти паросочетание Q, для которого величина = max Cij (i,j)минимальна. В основе метода решения задачи лежит алгоритм определения паросочетанием в графе. Опишем этот алгоритм.

Предварительно получим необходимые и достаточные условия оптимальности для более общей задачи. Обозначим qij – вес ребра (i, j). Будем рассматривать полные графе с четным числом вершин. Поставим задачу определения паросочетания с максимальным суммарным весом ребер.

Пусть Q – произвольное паросочетание.

Определение 2.1. Чередующимся циклом называется цикл, в котором из любых двух смежных ребер одно принадлежит циклу, а другое не принадлежит.

Определение 2.2. Длиной чередующегося цикла М называется разность суммы весов ребер паросочетания и суммы весов ребер, не принадлежащих паросочетанию, то есть L(M) = q - q ij ij (i,j)M-Q (i.j)M Q Теорема 2.1. Для того, чтобы паросочетание Q – было оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы длина любого чередующегося цикла была неположительной.

Необходимость. Пусть Q – оптимальное сочетание и пусть нашелся чередующийся цикл М, такой что, L(M) > 0. Но в этом случае ребра M-Q и ребра Q-M образуют паросочетания с большим весом.

Достаточность. Пусть Q – паросочетание такое, что любой чередующейся цепи имеет неположительную длину. Пусть Q0 – оптимальное паросочетание. Заметим, что если QQ0, то ребра Q-Q0 и Q0-Q образуют чередующийся цикл. Заменив ребра Q0-Q на ребра Q-Q0, то мы получим паросочетание Q0.При этом вес паросочетания Q0 будет не больше чем Q, поскольку чередующийся цикл имеет неположительную длину. Поэтому Q – оптимальное паросочетание.

На основе доказанной теоремы можно предложить алгоритм определения оптимального паросочетания, в основе которого лежит процедура поиска чередующихся циклов с положительной длиной.

Описание алгоритма проведем на примере.

Пример 2.5. На рис. 2.15. приведен граф из 6 вершин. Веса ребер указаны в скобках.

(1) 4 (9) (10) (4) (2) (7) (8) (3) (6) (12) 3 (16) (14) (5) (8) (17) Рис. 2.15.

Предварительный шаг. Получение начального решения. Начальное решение можно получить, применяя любое эвристическое правило, приведем одно из них.

Выбираем ребро с максимальным весом. Удаляем все смежные с ним ребра, снова выбираем ребро с максимальным весом и т.

д. Пока не получим паросочетание. В нашем примере выбираем ребро (1, 2) с весом 17, затем ребро (3, 6) с весом 12 и наконец ребро (4, 5) с весом 1.(Эти ребра выделены на рис. двойными линиями).

Получаем паросочеьание Q0={(1, 2); (3, 6); (4, 5)} с весом L(Q0)=30.

2 этап. Улучшение начального решения.

1 шаг. Выбираем любые два ребра паросочетания и рассматриваем подграф из четырех вершин. Возьмем, например, ребра (1, 2) и (3, 6) и соответствующий подграф из четырех вершин (1, 2, 3, 6) Рис. 2.16.

(12) (16) (8) (5) (14) (17) Рис. 2.16.

Наша задача определить в этом подграфе чередующийся цикл максимальной длины. Для этого перейдем к другому графу следующим образом. Выделяем вершины 1 и 2 и построим сеть в которой вершина 1 является входом, а вершина 2 выходом сети (Рис. 2.17).

(2) (16) 1 (-7) (8) Рис. 2.17.

Длины дуг определим следующим образом:

l16=q13-q36=14-12=l13=q16-q36=5-12=-l32=q32=l62=q62=Определим в этой сети путь максимальной длины, соединяющий вход сети с выходом. Задача имеет решение, так как сеть не имеет контуров. В нашем примере это путь (1, 6, 2), длина которого L(1, 6, 2)=18. Если длина пути превышает вес ребра (1, 2), то начальное решение можно улучшить.

Действительно, в этом случае существует чередующийся цикл М(1, 3, 6, 2, 1) положительной длины L(M1)=18-17=1>Этому циклу соответствует паросочетание Q1={(1, 3). (2, 6), (4, 5)} с большим весом L(Q1)=31.

2 шаг. Выбираем третье ребро из оставшихся ребер паросочетания. В нашем примере это ребро (4, 5). Принимаем вершину 4 за вход сети, а верщину 5 за выход сети и строим сеть из шести вершин (рис 2.18).

Определяем длины дуг:

l 41=q43-q31=8-14=-l42=q46-q26=10-16=-l43=q41-q13=12-14=-l46=q42-q26=3-16=-l12=q16-q26=5-16=-l16=q12-q26=17-16=l21=q23-q31=8-14=-l23=q12-q13=17-14=l32=q36-q62=12-16=-l36=q32-q62=8-16=-(-2) [-5] [-6] (1) 1 (-6) (7) (6) (-13) [0] (-6) (-9) (-11) (-8) 4 [7] (4) (-2) (-6) (9) (3) (-4) [-6] [-2] Рис. 2.18.

l61=q63-q31=12-14=-l63=q61-q31=5-14=-l15=q15=l25=q25=l35=q35=l65=q65=Определяем путь максимальной длины, соединяющий вход с выходом. Эта задача всегда имеет решение, поскольку в полученной сети отсутствуют контуры положительной длины. Действительно, если бы такой контур существовал, то в подграфе, состоящем из вершин (1, 2, 3, 6) нашлась бы чередующаяся цепь положительной длины, что невозможно. В нашем примере это путь (4, 3, 5), имеющий длину L(4, 3, 5)=7. Так как L(4, 3, 5)>q45=1, то существует чередующийся цикл M2=(4. 1. 3. 5. 4) положительной длины L(M2)=21-15=6.

следовательно, можно построить следующее паросочетание Q2={(1, 4); (3, 5); (2, 6)} имеющее вес P(Q2)=37.

Это паросочетание является оптимальным, то есть имеет максимальный вес.

Описанный алгоритм можно применить для определения паросочетания произвольного графа. Для этого достаточно положить веса ребер равными 1, а веса отсутствующих ребер – равными 0 и решить задачу построение паросочетания с максимальным весом для полученного полного графа. Если вес оптимального паросочетания равен n/2, то исходный граф имеет паросочетание.

Лемма. Если в графе имеется висячее ребро, то есть ребро, одно из граничных вершин которого имеет единичную степень, то существует паросочетание, с максимальным весом, содержащее это ребро.

Доказательство очевидно. Если Q – паросочетание с максимальным весом, не содержащее висячего ребра (i, j), где j – висячая вершина, то удаляя ребро паросочетания с единичным весом инцидентное вершине i и добавляя ребро (i, j) также с единичным весом мы получаем паросочетание, содержащее ребро (i, j) и имеющее такой же вес.

Лемма позволяет сократить размерность задачи, если имеются висячие ребра.

Пример 2.6. Рассмотрим граф из 8 вершин, приведенный на рис 2.19.

Рис.2.19.

Вершина 7 является висячей. Поэтому сразу включаем ребро (7, 6) в паросочетание и удаляем вершины 6, 7 и инцидентные им ребра.

Получаем граф, приведенный на рис. 2.20.

Применяя любое эвристическое правило, пытаемся получить паросочетание для оставшегося графа. Так, например, берем ребра (1, 2) и (3, 4) с единичными весами и ребро (5, 8) с нулевым весом.

Рис.2.20.

Заметим, что ребра (1, 2) и (3, 4) образуют паросочетание с максимальным весом в подграфе, состоящем из вершин 1, 2, 3, 4.

Поэтому определяем чередующуюся цепь максимальной длины из вершины 8 в вершину 5. Соответствующая сеть с длинами дуг приведена на рис. 2.21.

Путей максимальной длины несколько. Один из них это путь µ=(8, 3, 1, 5) длины 1. Этому пути соответствует чередующийся цикл (8, 4, 3, 2, 1, 5) длины 1. Соответственно получаем паросочетание включающее ребра (8, 4), (3, 2) и (1, 5) с максимальным весом 3.

Применим описанный алгоритм для решения задачи назначения бригад. Опишем алгоритм решения задачи. Рассмотрим его на примере. На рис. 2.22 приведен граф из 6 вершин.

(1) (-1) (0) (0) (0) 8 (0) (0) (0) (-1) (0) (0) (1) (-1) 3 Рис.2.21.

(1) 1 (5) (2) (7) (3) (8) (5) (4) (9) (10) 6 (11) (13) (12) (15) (14) Рис. 2.22.

1 шаг. Для каждой вершины графа определяем ребро с минимальной длиной. Обозначим через а1 – максимальную длину полученных ребер и добавляем в граф все ребра, длины которых не превышает а1. В результате получаем граф G1 приведенный на рис. 2.23.

(1) (5) (5) (2) 8 (3) (4) Рис. 2.23.

Поскольку в графе имеются висячие вершины, то берем любую из них, например, вершину 3 и включаем ребро (1, 3) в паросочетание. Удаляя вершины 1, 3 и все инцидентные им ребра, видим, что остается Единственное ребро (2, 6). Итак, мы получаем паросочетание, содержащее ребра (1, 3), (2, 6) с единичными весами и ребро (4, 5)с нулевым весом.

2 шаг. Находим ребра с минимальным весом, среди ребер, не вошедших в граф G1 (см. рис. 2.24) и повторяем алгоритм (1) 1 (5) (7) (5) (2) 8 (3) (4) Рис. 2.24.

определения паросочетания с максимальным весом для нового графа G2. Легко убедиться, что максимальный вес остается равным 2. Поэтому снова добавляем ребра с минимальным весом из числа ребер, не вошедших в граф G2 и т.д., пока не получим паросочетание, имеющее вес 3. В нашем примере это происходит на пятом шаге, когда в граф добавляются все ребра с весом, не превышающим 10 (см. рис. 2. 25).

На основе графа 2.25 строим сеть 2.26 и определяем путь максимальной длины из вершины 5 в вершину 4.

Существует несколько путей максимальной длины 1. Один из них (5, 3, 2, 4). Этому пути соответствует чередующий цикл М=(5, 1, 3, 6, 2, 4, 5) единичной длины, что позволяет получить паросочетание Q={(1, 5), (2, 4), (3, 6)} с максимальным весом 3. Это (1) 1 (2) (5) (7) (5) (9) 6 (10) (4) (3) (8) Рис. 2.25.

(1) (0) (-1) (0) (0) (0) (0) 5 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (-1) (0) (1) 2 Рис.2.26.

значит, что мы получили паросочетание для исходного графа (рис.2.23). Таким образом, получено оптимальное решение задачи назначения бригад, в котором одна из бригад выполняет работы 1 и 5, вторая – работы 2 и 4, а третья работы 3 и 6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотренные в работе постановки задач определения календарного графика работ бригад при различных транспортных схемах являются первыми попытками предложить методы оптимального распределения ресурсов на двойной сетевой модели. Развитие этого направления требует дальнейших исследований.

ЛИТЕРАТУРА 1. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. – М.: СИНТЕГ, 2001.

2. Бурков В.Н. и др. Сетевые модели и задачи управления. – М.:

Советское радио, 1966.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.