WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

w w8=w3=w2=w1=w0=t =0 t1=t2=7 t3=13 t4=Рис. 2.При таком способе определения ti добавочные дуги следует проводить в сети только от тех операций, ресурсы с которых перемещаются на i-ю операцию в моменты времени не позднее t. Реjсурсы, приходящие позже, не принимают участия в выполнении операции и сразу перемещаются на следующие операции. Заметим, что этот способ определения моментов окончания операций можно рассматривать как простейший алгоритм оптимизации распределения ресурсов. Рассмотрим, например, поток рис. 2.4. Для операции А2 имеем 12 t2 = min0 + ;3 + = 2 т. е. более выгодно выполнять операцию A2 двумя единицами ресурсов, не ожидая прихода третьей. Более того, эту третью единицу можно направить теперь на операцию A6 уменьшив время ее выполнения до 6=3. Такое преобразование потока ресурсов уменьшает время выполнения комплекса в нашем примере с 17 до 15.

2.2. Постановка задачи и обсуждение модели После введения основных понятий и определения графа ПР мы в состоянии четко поставить задачу оптимального распределения ресурсов.

Задача. Задана сетевая модель комплекса из n операций, в которую входит:

1) сетевой график;

2) граф ПР;

3) матрица ||ij||, где ij — время перемещения ресурсов с i-й операции на j-ю;

4) зависимость wi=fi(ui) скорости выполнения i-ой операции от количества ресурсов соответствующего вида (предполагаем, что fi — неубывающие функции ui);

5) количество ресурсов Nj j-го вида (j=1, 2,..., k) где k — число классов операций.

Требуется определить поток ресурсов по графу ПР, минимизирующий время выполнения комплекса, либо упущенную выгоду.

Описанная модель охватывает довольно большой круг практических задач. Отметим лишь, что ее частными случаями являются такие известные задачи, как «задача коммивояжера», задача определения оптимального порядка обработки деталей на станках и др.

Однако следует отметить, что некоторые черты практических задач не отражены в пашей модели. В свое оправдание скажем лишь, что, во-первых, «нельзя объять необъятное» (особенно в такой маленькой книге), во-вторых, в такой упрощенной форме модель позволяет решать; практически интересные задачи и, в-третьих, методы, которые мы будем рассматривать, могут служить основой более сложных постановок.

В следующих параграфах мы рассмотрим некоторые алгоритмы распределения ресурсов для частных случаев.

2.3. Оптимизация календарного графика с учётом времени перемещений бригад Рассмотрим комплекс из n работ, выполнение которых происходит в пунктах, расположенных друг от друга на заданных расстояниях. Все работы выполняются одной бригадой. Обозначим через i – продолжительность i-ой работы, Di – заданный срок завершения i-ой работы, ij – время перемещения бригады из пункта i в пункт j (0i – время перемещения бригады от места её расположения в пункт i).

Постановка задачи. Определить очерёдность выполнения работ, обеспечивающую их завершение не позже заданных сроков.

Если это невозможно, то минимизировать максимальное запаздывание сверх заданных сроков, то есть минимизировать max(ti - Di ), i где ti – момент завершения i-ой работы. Задача является NPтрудной, поскольку её частным случаем является известная задача Коммивожера.

Рассмотрим частный случай задачи, когда все пункты расположены в линию (например, вдоль железнодорожного пути или автострады) (рис. 2.9). В этом случае ij = |qj – qi|, q1 q2 q3 q4 q0 1 2 3 4 D1 D2 D3 D4 DРис. 2.9.

где qj – время переезда бригады из начального пункта 0 в пункт j.

Получим оценку снизу Cin момента завершения работы i при условии, что она выполняется в последнюю очередь. Для этого необходимо определить длину кратчайшего пути из пункта 0 в пункт i, проходящего через все остальные пункты. Эта длина равна Li(n) = 2qn – qi.(2.2) Оценка снизу n Cin = i + Li(n).(2.3) i=Определим множество Q работ, для которых Cin Di. Если это множество пустое, то определяем = min(Cin - Di ) (2.4) i и множество Q работ, для который Cin – Di =.

Выбираем любую работу k из множества Q. Для каждой из оставшихся работ i определяем оценку снизу Ci, n–1 её завершения при условии, что эта работа выполняется предпоследней. Для этого определяем кратчайший путь Li(n–1) из пункта 0 в пункт i, проходящей через все пункты за исключением k-го. Оценка снизу Ci, n -1 = Li(n -1)+ i (2.5) ik Снова определяем множество Q и выбираем любую работу из этого множества и т.д. пока не получаем допустимого решения.

Пример 2.1. Пусть имеются пять работ. Величины q, i и Di приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3.

i qiiDi1 шаг. Определяем C1n = 9 + 12 = 21, D1 = 6, C2n = 8 + 12 = 20, D2 = 7, C3n = 7 + 12 = 19, D3 = 22, C4n = 6 + 12 = 18, D4 = 13, C5n = 5 + 12 = 17, D5 = 16.

2 шаг. Множество Q состоит из одной вершины 3. Исключаем эту вершину и определяем C1n = 9 + 11 = 20, D1 = 6, C2n = 8 + 11 = 19, D2 = 7, C4n = 6 + 11 = 17, D4 = 13, C5n = 5 + 11 = 16, D5 = 16.

3 шаг. Множество Q состоит из одной вершины 5. Исключаем эту вершину и определяем C1n = 7 + 7 = 14, D1 = 6, C2n = 6 + 7 = 13, D2 = 7, C4n = 4 + 7 = 11, D4 = 13.

4 шаг. Множество Q состоит из одной вершины 4. Исключаем эту вершину и определяем C12 = 3 + 5 = 8, D1 = 6, C22 = 2 + 5 = 7, D2 = 7.

Множество Q состоит из двух одной вершины 2.

Окончательно получаем допустимое решение:

= (1, 2, 4, 5, 3).

Описанный алгоритм может не дать оптимального решения.

Однако, оценки можно применить в методе ветвей и границ для получения оптимального решения задачи. Рассмотрим метод ветвей и границ на данных предыдущего примера, изменив значения сроков Di, а именно, примем значения Di, указанные в таблице 2.4.

Таблица 2.iDi1 шаг. Определяем С15=9+12=21,D1=С25=8+12=20,D2=С35=7+12=19,D3=С45=6+12=18,D4=С55=5+12=17,D5=Минимальная величина Сi5-Di = min(10; 4;1; 5; 7) =1 и достигается на третьей операции. Выберем подмножество решений, в котором последней выполняется третья операция.

2 шаг. Определяем С14=9+11=20,D1=С24=8+11=19,D2=С44=6+11=17,D4=С54=5+11=16,D5=min(Сi4 - Di )= min(9; 3; 4; 6) = C24 - D2 = iВыбираем подмножество, в котором предпоследней выполняется вторая операция.

3 шаг. Определяем С13=9+9=18,D1=С43=6+9=15,D4=С53=5+9=14,D5=min(Сi3 - Di )= min(7; 2; 4) = C43 - D4 = +i3,Выбираем подмножество, в котором третьей выполняется четвертая операция.

4 шаг. Определяем С12=9+7=16,D1=С52=5+7=12,D5=min(Сi2 - Di ; C52 - D5 )= min(5; 2) = C52 - D5 = i Выбираем подмножество, в котором второй выполняется пятая операция. Дерево ветвлений приведено на рис. 2.10.

Полученное решение =(1; 5; 4; 2; 3) является оптимальным, поскольку оценки снизу всех остальных подмножеств больше 3.

Для приближенного решения задачи можно применить и метод локальной оптимизации.

Сначала, пользуясь каким либо эвристическим правилом, получаем допустимое решение.

[10] [7] [1] [4] [5] 2 3 4 [6] [3] [9] [4] 1 2 4 [3] [7] [4] 1 4 [3] [5] 1 Рис. 2.Так, например, хорошим эвристическим правилом, как показало решение большого числа примеров, является выполнение операции в очередности возрастания Di. В нашем примере это правило дает следующее решение 0=(5; 1; 4; 2; 3) со значением целевой функции F = max(9 -10; 16 -11; 21 -13; 25 -16; 27 -18) = Рассмотрим множество соседних перестановок, полученных транспозицией начальной перестановки 0. Имеем F1=1=(1; 5; 4; 2; 3), F2=2=(5; 4; 1; 2; 3), F3=3=(5; 1; 2; 4; 3), F4=4=(5; 1; 4; 3; 2), Лучшее решение 1 является оптимальным.

Описанный подход можно применить и к ряду других схем расположения операций.

Пусть, например, все операции которые предстоит выполнить, расположены вдоль кольцевой дороги (см. рис. 2.11) а0 а5 а4 ааРис. 2.11.

В случае одностороннего движения оценка Сin определяется следующим выражением Li (n) = L + qi, i n Ln (n) = qni где L – длина кольцевой дороги.

В случае двустороннего движения оценка Cin получается более сложным образом, поскольку возможны различные варианты выполнения всех операций так чтобы операция i выполнялась последней.

1 вариант. Выполняем последовательно операции с 1 по n (исключая операцию i), а затем выполняем операцию i. В этом случае оценка снизу будет равна Li (n) = 2qn - qi 2 вариант. Выполняем последовательно операции с 1 по (i-1), а затем операции с n по i (в обратном порядке). Оценка снизу будет равна Li (n) = 2qi-1 + L - qi Если варианты 1 и 2 проделать в обратном порядке, то получим еще две оценки Li (n) = L + qi - 2qi Li (n) = 2(L - qi+1) + qi Окончательная оценка снизу равна минимальному из полученных чисел Рассмотрим решение примера 2.1 полагая, что пункт 5 соединен с начальным пунктом 0 путем длины 1.

Сначала рассмотрим случай одностороннего движения.

1 шаг. Вычисляем (L=6) С15=7+12=19,D1=11,F1=С25=8+12=20,D2=16,F2=С35=9+12=21,D3=18,F3=С45=10+12=22,D4=13,F4=С55=5+12=17,D5=10,F5=Выполним последней операцию 2 шаг. Вычисляем С14=7+11=18,D1=11,F1=С24=8+11=19,D2=16,F2=С44=10+11=21,D4=13,F4=Здесь следует учесть, что выполняется операция, которая расположена ближе к начальному пункту, чем операция 3. Поэтому момент завершения операции 3 увеличится до 2L + q3 + T = 27, и следовательно оценка снизу этого варианта F4=9. Для операции имеем С54=5+11=16,D5=10,F5=Выполняем предпоследней операцию 2.

3 шаг. Вычисляем С13=14+9=16, D1=11, F1=С43=15+9=19, D4=13, F4=Однако при этом С24=14+11=25, D2=16, F2=С35=15+12=27, D3=18, F3=Так, что оценка снизу этого варианта равна 9.

С53=5+9=14, D5=10, F5=Выполняем третьей операцию 4 шаг. Вычисляем С12=7+5=12,D1=11, F1=при этом, С53, С24 и С35 увеличиваются на длину кольца, то есть на шесть, что дает соответствующее увеличение оценки снизу до 10.

С42=4+5=9, D4=13, F4=-Выбираем вариант, в котором второй выполняется операция 4, а первой операция 1. Окончательно получаем решение =(1; 4; 5;

2; 3) со значением целевой функции F = max(4 -11; 9 - 13;14 -10;19 -16; 21 - 18)= Дерево ветвлений приведено на рис. 2.12. Полученное решение является оптимальным, так как нижние оценки остальных подмножеств не менее 4.

[8] [7] [3] [4] [9] 2 3 4 [6] [3] [7] [9] 1 2 4 [9] [5] [4] 1 4 [4] [10] 1 Рис. 2.Рассмотрим теперь случай двустороннего движения.

1 шаг. Вычисляем (L=6) L1(5)=5, С15=5+12=17,D1=11,F1=L2(5)=6, С25=6+12=18,D2=16,F2=L3(5)=7, С35=7+12=19,D3=18,F3=L4(5)=6, С45=6+12=18,D4=13,F4=L5(5)=5, С55=5+12=17,D5=10,F5=Выполним последней операцию 2 шаг. Вычисляем L1(4)=5, С14=5+11=16,D1=11,F1=L2(4)=6, С24=6+11=17,D2=16,F2=L4(4)=6, С44=6+11=17,D4=13,F4=L5(4)=5, С54=5+11=16,D5=10,F5=Четвертой выполним операцию 3 шаг. Вычисляем L1(3)=5, С13=5+9=14,D1=11,F1=L4(3)=4, С43=4+9=13,D4=13,F4=L5(3)=5, С53=5+9=14,D5=10,F5=при этом, увеличив значения L2(4)=8 и L3(5)=9, что приводит к увеличению оценок С24 и С35. Выполняем третьей операцию 4 шаг. Вычисляем L1(2)=3, С12=3+7=10,D1=11, F1=-при этом, увеличивается на 2 единицы оценки L4(3), L2(4) и L3(5), что дает оценку снизу F1=3.

L5(2)=3, С52=3+7=10,D5=10,F5=Окончательно получаем вариант =(1; 5; 4; 2; 3) со значением критерия F = max(4 -11; 10 -10; 13 -13; 17 -16; 19 -18) = Это решения является оптимальным.

2.4. Оптимизация календарного графика для радиальной транспортной схемы Выше мы рассмотрели алгоритм построения оптимальных планов перемещения бригады для линейной и кольцевой транспортных схем. Рассмотрим еще один частный случай, когда транспортная схема является радиальной (см. рис. 2.13.) 1 3 Рис. 2.13.

Заметим, что время i перемещения из начального пункта в пункт i, где выполняется работа i, в объщем случае не равно времени i возвращения в начальный пункт. Дело в том, что i может включать время на подготовительные работы, подбор инструмента и т.д., а i может включать время на подготовку техники и инструмента к отъезду. Таким образом, время перехода бригады от операции i к операции j равно = i + (2.6) ij j Такой граф называется псевдопотенциальным [1]. Любой его гамильтонов контур имеет одну и ту же длину L = (i + i) i Таким образом, продолжительность выполнения всех операций одной бригадой равна T = (i + i + i ) (2.7) i с учетом времени возвращения бригады в начальный пункт. Рассмотрим задачу определения очередности выполнения операций минимизирующей = max(ti - Di ) (2.6) i где ti – момент завершения i-ой операции; Di – желательный срок завершения i-ой операции. Пусть =(i1, i2, … in) очередность выполнения операций. Тогда k-1 k tik = (ij + ij + ij)+ ik + ik = (ij + ij + ij)- ik (2.7) j=1 j=Из (2.6) и (2.7) получаем k (ij + ij + ij) ik + Dik +, k =1,n (2.8) j=Покажем, что оптимальным является выполнение операций в очередности возрастания величин (i+Di).

Пусть в решении имеет место iq + Diq > iq+1 + Diq+Поменяем очередность выполнения операций iq и iq+1, то есть сначала выполняем операцию iq+1, а затем iq.

Покажем, что в новом решении неравенства (2.8) будут выполняться при той же величине.

Имеем q-1 q+(i + i + i )+(i + i + i ) (i + i + i ) i + Di + j j j q+1 q+1 q+1 j j j q+1 q+j=1 j=q+(ij + ij + ij) iq+1 + Diq+1 + < iq + Diq + j=Таким образом, всегда существует оптимальное решение, в котором операции выполняются в очередности возрастания (неубывания) pi = i + Di.

Пример 2.2. Данные об операциях приведены в табл. 2.5.

Таблица 2.ii i Di pi i Оптимальная очередь выполнения операций =(2; 1; 3; 4; 5; 6). Величина задержки сверх желательных сроков = max(6 - 4;14 -10; 26 - 23; 39 - 34; 53 - 50; 61 - 57)= = max(2; 4; 3; 5; 3; 4)= Пусть теперь число бригад равно m>1. Рассмотрим задачу минимизации времени выполнения всех операций. Обозначим через Qk множество операций, выполняемых k-ой бригадой. Время выполнения Tk согласно (2.7) составит Tk = (i + i + i ) = Ci (2.7) iQk iQ где Сi=i+i+i. Время выполнения всех операций равно T = max Tk (2.9) k Задача заключается в разбиении всех операций на m, групп, так чтобы величина критерия (2.9) была минимальной. Это известная «задача о камнях», которая относиться к сложным, комбинаторным задачам.

Рассмотрим методы ее решения для крайних случаев, когда число бригад «велико» и когда число бригад «мало»..

Пусть число бригад равно 2. В этом случае эффективным является метод динамического программирования. Рассмотрим его на примере.

Пример 2.3.

ii Заметим, что Ci = 32. Следовательно, необходимо опреде i лить множество работ, Q, выполняемых первой бригадой, такое чтобы величина была возможно ближе к 16. Построим систеC i iQ му координат, на одной оси которой отметим номера операций, а на другой время работы первой бригады (рис. 2.14).

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.