WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

(1;2), (3;2), (3;4). Заметим, что эти фронты в определенном смысле упорядочены, а именно, фронт (1;2) расположен «левее» фронта (3;2), а последний – «левее» фронта (3;4). Другими словами, для любых двух фронтов работы одного из них либо совпадают, либо предшествуют работам другого. Таким образом, сетям с упорядоченными событиями соответствуют сети с упорядоченными фронтами.

1.2. Оптимизация по стоимости Задачи оптимизации комплексов работ по стоимости относятся к классу задач, для которых существуют достаточно эффективные алгоритмы. Сначала рассмотрим простой случай, когда сетевой график представляет собой последовательную цепочку работ. Примем, что зависимость стоимости от продолжительности является линейной для каждой работы:

Si(i) = ai – kii, di i Di, i = 1,n, где di – минимально возможная продолжительность работы, Di – максимальная. Примем продолжительности всех работ равными максимальным i = Di. При этом продолжительность проекта n T =.

D i i=Если мы хотим сократить продолжительность проекта с минимальным увеличением стоимости, то очевидно, что в первую очередь необходимо сокращать продолжительность работы, имеющей минимальную величину коэффициента ki. Действительно, величина ki определяет увеличение стоимости проекта при уменьшении продолжительности i-й работы на единицу. Продолжая таким образом, получим зависимость стоимости проекта от его продолжительности. Рассмотрим на примере обобщение этого алгоритма на случай произвольного сетевого графика.

Пример 1.2. Пусть сетевой график («вершина – событие») имеет вид рис. 1.7.

(5; 4) (6; 3) (4; 1) 0 (8; 5) (3; 6) Рис. 1.7.

Величины ai, ki, di и Di для всех работ приведены в таблице.

Таблица 1.1.

ai ki di Di (0, 1) 20 (0, 2) 45 (1, 2) (1, 3) 23 (2, 3) 20 1 шаг. Полагаем i = Di для всех работ и определяем критический путь в сети. На рис. 1.7. в скобках у дуг указаны значения Di (первые числа) и ki (вторые числа) соответствующих работ. Критический путь выделен толстыми дугами. Для критического пути T0 = 13, стоимость проекта S0 = 15. Очевидно, что сокращать следует работу (1, 2). При сокращении работы (1, 2) на две единицы, критическими становятся работы (0, 2) и (1, 3), рис. 1.8, длина критического пути T1 = 11, стоимость проекта S1 = 17.

(5; 4) (6; 3) (2; 1) 0 (8; 5) (3; 6) Рис. 1.8.

2 шаг. Чтобы сократить продолжительность проекта теперь следует сократить продолжительность всех критических путей. Для этого необходимо определить множество работ, таких что каждый критический путь содержит хотя бы одну работу из этого множества и сумма коэффициентов ki является минимальной. Это задача эквивалентна задаче определения разреза в сети, имеющего минимальную пропускную способность, которая является двойственной к задаче о потоке максимальной величины (коэффициенты ki определяют пропускные способности дуг, [1]). В нашем примере непосредственным перебором можно убедиться, что уменьшение продолжительностей работ (0, 1) и (0, 2) дает минимальное увеличение стоимости проекта (8 единиц на каждую единицу уменьшения продолжительности. Уменьшаем продолжительности работ (0, 1) и (0, 2) на 3 единицы. Больше нельзя, т.к. минимальная продолжительность работы (0, 2) равна 5.Длина критического пути становится равной T2 = 8, стоимость проекта S2 = 41.

3 шаг. Теперь минимальное увеличение стоимости обеспечивается при уменьшении продолжительностей работ (0, 1) и (2, 3).

Уменьшаем продолжительности работ (0, 1) и (2, 3) на единицу (при этом продолжительность работы (0, 1) становится минимальной).

Длина критического пути T3 = 7, стоимость проекта S3 = 50.

4 шаг. Заметим, что в сети имеются всего 2 критических пути (рис. 1.9).

(5; 4) (2; ) (2; 1) 0 (5; ) (2; 6) Рис. 1.9.

Сокращаем продолжительности работ (1, 3) и (2, 3) на 1. Продолжительность проекта становится равной T4 = 6, стоимость проекта S4 = 60.

ГЛАВА 2. Двойная сетевая модель распределения ресурсов В практических задачах обычно предполагается, что u() кусочно-постоянная непрерывная справа функция (рис. 2.1,а). В этом случае, интегрирование в (1.1.2) заменяется суммированием (рис.

2.1,б).

u() f[u()] u2 wu4 wu1 wu3 w1 2 3 1 2 a) б) Рис. 2.Пусть k такое, что k k+wii < W wii i=1 i=, где w = f[u(i )]; i = i - i-1. Тогда, момент окончания операi ции определяется по формуле k W - wii i=t = + k (2.1) w k+Выбор единицы ресурсов произволен (мы можем принять за единицу ресурсов одного человека или 10 человек, или два станка и т.д.). Важным является понятие ресурсов одного вида. Так называются ресурсы, которые неразличимы в условиях данной задачи по их влиянию на скорость выполнения операции (при соответствующем выборе единицы измерении). При этом физическая природа ресурсов может быть различной, хотя чаще всего ресурсы различной физической природы принадлежат к разным видам. Мы будем рассматривать задачи, в которых каждая операция может выполняться только ресурсами одного вида. Таким образом, множество операций комплекса разбивается на классы. Операции одного класса могут выполняться только ресурсами соответствующего вида.

Рассмотрим подробнее процесс выполнения комплекса операций [2]. После выполнения одной операции ресурсы перемещаются на другие операции своего класса (образуют поток по множеству операций). Может случиться, что перемещение ресурсов с одной операции на другую недопустимо по тем или иным причинам (отсутствие транспортных средств, высокая стоимость или невозможность перемещения данного вида ресурсов и т.д.). Определим граф перемещений ресурсов. Он состоит из k компонент (по числу классов операций). Вершины графа соответствуют операциям, от вершины i идет дуга к вершине j, если возможно перемещение ресурсов от i-й операции па j-ю операцию. Кроме того, каждой дуге (i, j) ставят в соответствие время ij перемещение ресурсов от i-й операции на jю. На рис. 2.2 показан граф перемещений ресурсов (будем писать в дальнейшем граф ПР) для сети рис. 2.3. Он состоит из двух компонент, так как в комплекс входят работы двух классов. Отметим, что сеть рис. 2.3 является сопряженной, т. е. операциям комплекса соответствуют вершины сети, а дуги отражают зависимости между операциями. Такое изображение более удобно, так как в графе ПР А(2) (2) А(2) (2) х2, z(2) (2) АА1 А(3) (4) (1) (3) х1, 6 z(2) (6) (3) А2 АРис. 2.А3[6] А1[3] А4 А6[17] А4[13] А7[17] А2[5] А5[8] Рис. 2.вершины также соответствуют операциям. К первому классу относятся операции А1, А2, А6, А7, ко второму — А3, А4, А5. Числа в скобках равны потоку ресурсов по соответствующей дуге.

В квадратах x1, x2 каждой компоненты графа ПР пишется количество ресурсов N1, N2, предназначенных для выполнения операций соответствующего класса (Nl =N2 = 6 на рис. 2.2). Фиктивные вершины x1, х2 могут соответствовать некоторым пунктам, в которых находятся ресурсы. В свою очередь, z1, z2 могут соответствовать пунктам, в которые нужно собрать ресурсы после выполнения комплекса. Определив некоторый поток ресурсов по графу ПР, можно найти момент окончания каждой операции и, следовательно, время выполнения всего комплекса.

Фронтом операций в момент i называется множество F(i) операций, которые выполняются или могут выполняться в этот момент.

Основная группа алгоритмов для решения задач распределения ресурсов основана на последовательном получении решения путем распределения ресурсов по операциям фронта. Для этого определяется некоторое правило (пли несколько правил), позволяющее в любой момент времени принимать решение о распределении ресурсов по операциям фронта. В дальнейшем будем называть момент перераспределения ресурсов конфликтной ситуацией. Процесс разрешения конфликтных ситуаций удобно изображать графически в виде дерева. Вместо таких правил можно определять некоторую функцию (функция предпочтения) и выбирать распределение ресурсов, при котором эта функция принимает минимальное (максимальное) значение. Приведем два простых правила, которые часто применяются в алгоритмах такого типа.

Правило I. В первую очередь выполняются операции с.

меньшим полным резервом времени (резерв времени определяется при условии достаточного количества ресурсов).

Правило II. В первую очередь выполняются операции с меньшей длительностью.

Если для получения решения используются эвристические правила (взятые из интуитивных соображений или на основании опыта), то целесообразно испробовать различные правила (или системы правил), выбирая затем наилучшее решение.

Отметим, что большинство правил эквивалентно заданию некоторой функции предпочтения. Например, распределение ресурсов, полученное по правилу I, минимизирует функцию ui(t)i(t), где R(t) — множество номеров операций фронта, iR(t) i(t) – полный резерв i-й операции в момент t, ui(t) – количество ресурсов расходуемых в i-й операции. Распределение, полученное по правилу II, минимизирует функцию ui(t)i, где i — время iR(t) выполнения операции и т.д.

В некоторых случаях удобно в качестве функции предпочтения взять нижнюю границу времени выполнения комплекса при выбранном распределении ресурсов по операциям фронта. При этом если мы уже получили какое-либо решение, а значение функции предпочтения на остальных вершинах дерева решений больше или равно времени выполнения комплекса для полученного решения, то, очевидно, полученное решение оптимально.

2.1. Определение моментов окончания операций при заданном потоке ресурсов по графу ПР Рассмотрим на примере определение моментов окончания операций при заданном потоке ресурсов. Примем, что время перемещения ресурсов с операции на операцию равно нулю. Кроме того, примем, что не разрешается снимать ресурсы с операции, пока она не закончена (отказ от этих предположений несущественно меняет методику расчета). Пусть скорость выполнения операции прямо пропорциональна количеству ресурсов, т. е. примем wi = ui, i=l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (рис. 2.2, 2.3). Объемы операции следующие:

Номер операции 1 2 3 4 5 6 Wi 12 12 6 16 6 12 Определение моментов окончания операций производится последовательным просчетом сети. Пусть Ai, Ai, Ai – опера1 2 ции, непосредственно предшествующие операции Ai; t1, t1, t1 – i1 i2 iмоменты окончания этих операций. Тогда ti = max t1, t1, t1 – i1 i1 i возможный момент начала i-й oпeрации. Далее, пусть Ai, Ai, 4 Ai – операции, с которых перемещаются ресурсы на операцию Ai ; t1, t1, t1 – моменты окончания этих операций (соответстi4 i5 iвенно моменты прихода ресурсов на i-ю операцию, если времена перемещения равны нулю). Для определения момента окончания i-й операции применяем формулу (2.1), отсчитывая интервалы i, с момента ti.

На рис. 2.2 показан некоторый поток ресурсов по графу ПР.

Будем обозначать Qi множество операций, непосредственно предшествующих операции Ai Рi—, множество операций, с которых перемещаются ресурсы на операцию Ai.

1) Операция A1. Q1 =,. P1=, u1(t) = 4, Wt1 = = 3.

u2) Операция A2. Q2 =, P2 = {A1}.

Применяя формулу (2 1), получаем W2 - 2(t1 - t )= 3 + - 1 t1 = t1 + = 2 3 3) Операция A3. Q3= {A1}, P3 =, t3 = t1 = 3, Wu3(t) = 2, t1 = t3 + = 4) Операция A4. Q4 = {A1, A2}, P4 =, t0 = max(t1, t1 )= t1 = 5, 4 1 2 Wu4(t) = 2, t1 = t + =13, 4 5) Операция A5. Q5 = {A2}, P5 =, t5 = t1 = 5, Wu5(t) = 2, t1 = t5 + = 8.

6) Операция A6. Q6 = {A3, A4}, P6 = {A1}, t0 = max(t1, t1 )=13, 6 3 0, t < Wu6(t) = 3, t 3, t1 = t + 3 =17, 6 7) Операция A7. Q7= {A4, A5}, P7 = {A2, A6}, t0 = max(t1, t1)=13, 7 4 W7 -Имеем t1 =t0 +1 + =17, 7 Моменты окончания операции указаны в скобках на рис. 2.3.

Время выполнения комплекса T = max t1 =17.

i i Теперь появляется возможность улучшить решение, изменив поток ресурсов (ресурсы с операций, имеющих большие резервы, перебрасываются на критические или близкие к ним операции).

Уменьшим, например, потоки ресурсов через вершины А3, А5 графа ПР на единицу и увеличим поток через вершину А4 на две единицы (рис. 2.4). При этом время выполнения комплекса уменьшилось до Т= 14 (рис. 2.5).

А(1) (1) А(4) (4) х2, z(1) (1) АА1 А(3) (4) (1) (3) х1, 6 z(2) (6) (3) А2 АРис. 2.А3[9] А1[3] А4 А6[13] А4[9] А2[5] А7[14,] А5[11] Рис. 2.Действительно, последовательно определяем W1 t1 = = = u1 W2 - 2 tt1 = t1 + = 2 W3 t1 = t1 + = 3 + = 3 u3 W4 t1 = max(t1; t1 )+ = 5 + = 4 1 u4 W5 t1 = t1 + = 5 + = 5 u5 W6 t1 = max(t1 ; t1)+ = 9 + = 6 3 u6 W7 - 3 t1 = t1 + =7 Иногда решение задачи должно удовлетворять дополнительному условию: количество ресурсов на операции не меняется в процессе ее выполнения. Такое условие позволяет упростить процедуру.

Действительно, в этом случае время выполнения операции определяется но формуле W =, w(u) где u – поток ресурсов, входящий в соответствующую вершину.

Теперь достаточно дополнить сетевой график недостающими дугами, по которым проходит ненулевой поток, и применить обычные алгоритмы определения критического пути. Для нашего примера (рис. 2.2) имеем (табл. 2.1):

Таблица 2.Номер операции 1 2 3 4 5 6 ui 4 3 2 2 2 3 i 3 4 3 8 3 4 Добавляя в сетевой график рис. 2.3 дуги (A1, A2) и (А6, А7), получаем сеть (рис. 2.6), просчитывая которую обычным способом, определяем Т=21. Увеличение времени выполнения комплекса по сравнению с предыдущим случаем (Т=17) вызвано запрещением изменять количество ресурсов в процессе выполнения операции.

Определим критический путь в случае потока ресурсов, изображенного на рис. 2.4.

Продолжительности операций указаны в табл. 2.2.

А3[6] А1[3] А6[19] А4[15] А2[7] А5[10] А7[21] Рис. 2.Таблица 2.iui i Сетевой график с поздними моментами окончания операций приведен на рис. 2.7.

Можно предложить также другой способ определения времени выполнения комплекса в случае запрещения изменять количество ресурсов на операции в процессе ее выполнения.

А3[9] А1[3] А6[15] А4[11] А2[7] А5[13] А7[17] Рис. 2.Рассмотрим зависимость w(t) (рис. 2.8), начиная с момента возможного начала операции (в момент мы могли бы начать операцию, если бы имелось достаточное количество ресурсов). Если начать операцию в момент tj, то она будет выполняться со скороWi стью wj и момент окончания ti = t +. Естественно определить j w j момент начала операции так, чтобы момент окончания был минимальным, т. е. момент окончания определяется по формуле Wi Wi ti = min t + = t +.

j j j w w j j Для примера рис. 2.8 имеем в случае Wi = ti = min (36, 15, 13, 14 1/7, 191/2,)= 13.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.