WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

t В [ ] отмечено, что величины Sij определяются на основе отчетов предприятий, экспертных оценок, деклараций промышленной безопасности и опыта других регионов. Конкретная методика расt чета величины Sij в [ ] не предложена. Нам представляется, что при описанном двухэтапном подходе к решению задачи выбора оптимальной стратегии повышения регионального уровня ПБ определеt ние величин Sij будет вызывать существенные трудности. Более того, определенные на втором этапе нормативные требования к СУПБ предприятий региона в каждом периоде вряд ли будут соответствовать оптимальной стратегии каждого предприятия. Кроме того, выбор в качестве критерия оптимизации величины суммарных затрат предприятий на развитие и поддержание СУПБ не в полной мере соответствует экономической ситуации. Дело в том, что в условиях острого дефицита средств даже небольшое их отвлечение на создание и развитие СУПБ может привести к серьезным экономическим последствиям для предприятий, вплоть до банкротства..

Поэтому более оправданным представляется взятие в качестве критерия величины упущенной выгоды, то есть того финансового результата (например, маржинальной прибыли), который предприятие могло бы получить, используя средства, необходимые для обеспечения требуемого нормативного уровня СУПБ. В этом слуt чае величину Sij естественно трактовать, как величину финансового результата, который предприятия региона могли бы получить за счет использования средств, потраченных на рост регионального уровня ПБ от величины i в периоде (t-1) до величины j в периоде t.

С учетом сказанного выше, дадим формальную постановку задачи определения оптимальной стратегии повышения регионального уровня пожарной безопасности.

t Обозначим x = 1, если k-ое предприятие должно обеспеkj t чить в периоде t нормативный уровень СУПБ, равный j и xkj = 0 в противном случае. Так как в периоде t каждому предприятию устанавливается одно и только одно значение нормативного уровня, то (2.1.1) xt =1, k =1,n, t =1,T.

kj j=Мы будем рассматривать ситуацию, когда нормативные уровни СУПБ предприятия не уменьшаются от периода к периоду.

В принципе, конечно, возможен вариант, когда предприятию планируется снижение нормативного уровня с тем, чтобы освободившиеся при этом средства предприятие могло направить на улучшение своего финансового состояния. Однако, такие варианты стратегий мы рассматривать не будем. Условие неуменьшения нормативных требований к СУПБ предприятий можно записать следующим образом:

t t-(2.1.2) xkj j x j, t = 2, T, k =1, n.

kj j j t Совокупность значений xk ={x, j =1,5, t =1, T}, удовлеkj творяющих (2.1.1), (2.1.2) назовем допустимой стратегией повышения уровня СУПБ k-го предприятия. Совокупность допустимых стратегий всех предприятий x ={x, k =1, n} назовем допустимой k стратегией повышения регионального уровня ПБ.

Пусть поставлена задача обеспечить рост регионального уровня ПБ от начального значения R0 = 0 до требуемого уровня RT с минимальной величиной упущенной выгоды (минимальными потерями суммарного финансового результата предприятий региона).

Условие достижения требуемого регионального уровня ПБ можно записать в виде (2.1.3) xT j = R, kj T k j а требование минимизации упущенной выгоды сводится к минимизации следующей функции t- t t (2.1.4) S(x)= xki1 x skij, kj k t i,j t где skij - величина уменьшения финансового результата k-го предприятия в результате развития и поддержания СУПБ в периоде t на уровне j при условии, что в периоде (t-1) уровень СУПБ был равен i. Задача определения оптимальной стратегии повышения регионального уровня ПБ заключается в минимизации (2.1.4) при ограничениях (2.1.1) – (2.1.3). Очевидно, что эта задача нелинейного целочисленного программирования.

2.2. Метод решения В основе предлагаемого метода решения лежит идея декомпозиции задачи. Предположим, что нам известны нормативные требования к СУПБ всех предприятий в периоде T. Обозначим их через ykT, k =1, n. Очевидно, что должно выполняться условие (2.1.3), то есть n (2.2.1) ykT = R.

T k=Заметим теперь, что если ykT заданы, то задача разбивается на n независимых задач для каждого предприятия: минимизировать t-1 t t (2.2.2) Sk (x )= x x skij, k ki kj t i,j при ограничениях (2.2.3) xt =1, t =1,T, kj j=3 (2.2.4) xt j xt-1 j, t = 2,T, kj kj j=0 j=(2.2.5) xT j = ykT.

kj j Обозначим через Qk(ykT) значение Sk(xk) в оптимальном решении задачи (2.2.2) – (2.2.5) для k-го предприятия. Если зависимости Qk(ykT) получены для всех ykT = 0, 1, 2, 3, и для всех предприятий, то решение исходной задачи сводится к следующей задаче: минимизировать n (2.2.6) Q(yT )= (ykT ), Q k k=при ограничениях ykT – целые числа, такие что 0 ykT 3, причем n (2.2.7) ykT = R.

T k=Задачи (2.2.2) – (2.2.5) для каждого предприятия полностью аналогичны задаче, решаемой на первом этапе выбора оптимальной стратегии повышения регионального уровня ПБ. Отличие в том, что в роли региона выступает отдельное предприятие. Поэтому величиt ны skij, характеризующие упущенную выгоду k-го предприятия, возникающую по причине отвлечения средств на развитие СУПБ с уровня i до уровня j, могут быть определены для любых i, j и любых t. В силу формальной эквивалентности задач, для их решения можно применить метод, описанный в [ ]. Суть метода заключается в построении сети допустимых стратегий и определении кратчайшего пути в этой сети. Способ построения сети описан в параграфе 2.1. Рассмотрим применение метода на примере. Для упрощения вычислений примем, что число уровней СУПБ равно трем, то есть ykT = 0, 1, 2, k = 1, n.

Пример 2.1. На рис. 2.2, 2.3 и 2.4 приведены сети допустимых стратегий для трех предприятий. Вертикальные слои вершин соответствуют трем периодам времени, а горизонтальные – трем нормативным уровням СУПБ, соответственно снизу вверх 0, 1 и 2. Числа в вершинах первого вертикального слоя равны упущенной выгоде при создании и поддержании СУПБ в периоде T = 1, соответственно на уровне 0, 1 или 2.

T=1 T=2 T=(8) (7) 21 18 18 y1=(6) (6) (4) (3) 12 13 14 y1=(18) (17) (9) (10) 3 5 6 y1=(2) (1) Рис. 2.2.

T=1 T=2 T=(6) (5) 15 15 16 y2=(8) (7) (4) (3) 7 9 10 y2=(14) (13) (5) (6) 3 5 6 y2=(2) (1) Рис. 2.3.

t Числа в скобках равны упущенной выгоде skij. Так, например, число 6 у дуги, соединяющей вторую (снизу) вершину первого вертикального слоя (на рис. 2.2) с третьей (снизу) вершиной второго вертикального слоя равно упущенной выгоде от отвлечения средств на развитие СУПБ от уровня 1 в конце периода 1 до уровня 2 к концу периода 2. Числа в остальных вершинах равны минимальной T=1 T=2 T=(4) (3) 18 18 12 y3=(12) (7) (2) (2) 14 14 7 y3=(17) (10) (5) (13) 1 2 3 y3=(1) (1) Рис. 2.4.

упущенной выгоде от отвлечения средств на развитие СУПБ до соответствующего уровня к концу соответствующего периода. Для их определения применяется известный алгоритм определения кратчайшего пути.

Зависимости Qk(ykT) приведены на рис. 2.5, 2.6, 2.7 соответственно.

Q1(y1T) y1T 1 Рис. 2.5.

Q2(y2T) y2T 1 Рис. 2.6.

Q3(y3T) y3T 1 Рис. 2.7.

Пусть требуемое значение регионального уровня ПБ равно 5.

В данном случае задачу легко решить простым перебором. Очевидно, что если y1T = 1, то y2T = y3T = 2 и величина упущенной выгоды составит 14 + 16 + 12 = 42.

Если y1T = 2, то оптимальный вариант взять y2T = 1, y3T = 2, что дает упущенную выгоду равную 18 + 10 + 12 = 40.

Выбирая минимальное из этих двух чисел, получаем оптимальное решение: y1T = 2, y2T = 1, y3T = 2, которому соответствуют стратегии развития СУПБ предприятий, выделенные на рис. 2.2, 2.3, 2.4 толстыми дугами. Так, уровень y1T = 2 для первого предприятия достигается к концу третьего периода при следующей стратегии: в первом периоде поддерживается существующий (0-ой) уровень СУПБ, к концу второго периода обеспечивается уровень СУПБ равный 1, а к концу третьего – уровень 2.

Рассмотрим задачу обеспечения регионального уровня ПБ за меньшее число периодов. Данные для ее решения можно получить непосредственно из рис. 2.2, 2.3 и 2.4. Так, зависимостям Qk(yk2) соответствуют числа второго вертикального слоя. Сведем эти данные в таблицу.

Таблица 2.1.

yk2 k 15 13 2 59 3 2 14 Простым перебором определяется оптимальное решение для этого случая: y12 = 2, y22 = 1, y32 = 2 с величиной упущенной выгоды Q(y2) = 45. В более сложных случаях для решения задачи (2.2.6), (2.2.7) требуются специальные методы, описание которых дается ниже для различного вида зависимостей Qk(ykT).

2.3. Выпуклый случай Поскольку Q(y) заданы в дискретных точках y = 0, 1, 2, 3, то обычное определение выпуклости к ним не применимо. Однако, если соседние значения Q(y) соединить отрезками прямой, то полу~ чим непрерывную кусочно-линейную функцию Q(y). Будем счи~ тать Q(y) выпуклой, если Q(y) - выпуклая функция (см. рис. 2.6, 2.7). Для случая выпуклых зависимостей задача (2.2.6), (2.2.7) решается достаточно просто. Метод решения рассмотрим на примере.

Пример 2.2. Значение функций Qk(ykT) = Qkj, j = 0,3, для шести предприятий приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

k 1 2 3 4 5 y 0 3 2 1 2 2 1 5 3 3 3 5 2 7 6 7 8 8 3 10 9 12 13 14 Составляем таблицу 2.3 первых разностей kj = Qkj – Qk,j-1, j =1,3, k =1,6.

Таблица 2.3.

k 1 2 3 4 5 j 1 2 1 2 1 3 2 2 3 4 5 3 3 3 3 5 5 6 Первые разности, как следует из таблицы 2.3., принимают значения от 1 до 6. Составляем таблицу 2.4, в которой для каждого значения от 1 до 6 и каждого предприятия высчитываем максимальный уровень j, для которого kj. Так, например, при = для первого и второго предприятий максимальный уровень j, как следует из таблицы 2.3, равен 3, для третьего – 2, для четвертого – 1, для пятого – 2 и, наконец, для шестого – 3. Максимальные уровни будем обозначать j(k, ). В последнем столбце таблицы 2.вписываем сумму уровней всех предприятий, соответствующих данному значению, то есть R()= j(k, ).

k=Таблица 2.4.

k 1 2 3 4 5 6 R( ) 1 0 1 0 1 0 0 2 2 1 1 1 0 1 3 3 3 1 1 2 2 4 3 3 2 1 2 3 5 3 3 3 3 2 3 6 3 3 3 3 3 3 Итоговая таблица 2.4. дает возможность определить для каждого RT нормативные уровни ykT для каждого предприятия, минимизирующие суммарную величину упущенной выгоды. Для этого при заданном RT определяем величину такую, что R() RT < R(+1).

Определяем величины ykTиз условий (2.3.1) ykT = R T k (2.3.2) j(k, ) ykT j(k, +1).

Полученные значения {ykT} минимизируют суммарную величину упущенной выгоды. Доказательство этого факта легко следует из условий выпуклости функций, и мы не будем его приводить. Действительно, увеличивая RT, мы каждый раз увеличиваем нормативные уровни у тех предприятий, для которых это увеличение дает минимальное приращение упущенной выгоды. Так, при RT каждое увеличение RT на 1 увеличивает упущенную выгоду так же на = 1. При 2 RT 6 увеличение RT на 1 увеличивает упущенную выгоду уже на = 2, при 6 RT 12 – на 3, и т.д.

График зависимости величины минимальной упущенной выгоды от регионального уровня ПБ приведен на рис. 2.8. Заметим, что Q(RT) также является выпуклой функцией RT.

Q(RT) RT 2 6 10 12 14 18 Рис. 2.8.

2.4. Вогнутый случай Рассмотрим случай вогнутых зависимостей Qk(ykТ), предполагая, что Qk0 = 0 (это всегда можно сделать, вычитая Qk0 из всех значений Qkj). Известно, что задача (2.2.6), (2.2.7) в случае вогнутых зависимостей Qk(ykТ) является многоэкстремальной. Тем не менее, учитывая специфику задачи, связанную с тем, что ykТ принимает целочисленные значения от 0 до 3, можно предложить эффективный алгоритм ее решения. Предварительно докажем ряд утверждений.

Утверждение 2.1. Существует оптимальное решение задачи (2.2.6), (2.2.7), в котором имеется не более одного предприятия со значением 0 < yT < 3.

Доказательство. Поведем доказательство методом от противного. Пусть имеются два предприятия k и q, такие что 0 < ykT <3, 0 < yqT <3.

Пусть ykT = i, yqT = j. Обозначим ai = Qk,i – Qk, i-1, bi = Qk,i+1 – Qk,i, aj = Qk,j – Qk, j-1, bj = Qk,j+1 – Qk,j.

Положим ykT = i – 1, yqT = j +1. Из условия оптимальности исходного решения следует, что должны выполняться условия (2.4.1)-ai + bj 0.

Положим теперь ykT = i + 1, yqT = j -1. Аналогично предыдущему случаю из условия оптимальности исходного решения получаем (2.4.2)-aj + bi 0.

Из условия вогнутости функций Qk(ykT) и Qq(yqT) имеем (2.4.3)bi ai, bj aj.

Объединяя условия (2.4.1) – (2.4.3), получаем (2.4.4)bj ai bi aj bj, что возможно только в одном случае, когда bj = ai = bi = aj. Однако, в этом случае решение ykT = i-1, yqT = j+1, а также решение ykT = i+1, yqT = j-1 являются оптимальными. Берем любое из этих решений, например, первое, и повторяем процедуру. Через конечное число шагов (не более двух) мы придем к решению, в котором либо ykT = 0, либо yqT = 3. Таким образом, число предприятий, для которых 0 < ykT < уменьшилось на единицу. Повторяя эту операцию с другой парой предприятий, имеющих промежуточное значение ykT, мы за конечное число таких повторений получим оптимальное решение, содержащее не более одного предприятия со значением 0 < ykT < 3.

Пусть предприятия пронумерованы в порядке возрастания Qk,3, то есть Q13 Q23... Qn3.

Утверждение 2.2. Если RT = 3m, где m – целое положительное число, то оптимальное решение задачи (2.2.6), (2.2.7) имеет вид ykT = 3, k =1, m, ykT = 0, k > m.

Доказательство. Построим для функций Qk(ykT) оценочные функции:

Qk~ (2.4.5) Qk (ykT )= ykT.

Эти функции дают оценку снизу для функций Qk(ykT) и совпадают с ними в двух точках: ykT = 0 и ykT = 3. Рассмотрим задачу минимизации суммы оценочных функций при ограничениях n ykT = R, 0 ykT 3, k =1, n.

T k=Это задача линейного программирования, решение которой очевидно. Нужно взять первые m предприятий с минимальными значениями Qk3. Заметим, однако, что это решение является допустимым решением для исходной задачи, поэтому оно также является оптимальным.

Таким образом, если n = 3m + s, где 0 < s < 3, то существует оптимальное решение, в котором одно, и только одно предприятие имеет значение ykT = s. Для определения этого предприятия построим 2 решения. В первом решении первые m предприятий получают максимальные нормативные уровни ykT = 3, k =1, m. Среди остальных (n – m) предприятий выбирается предприятие p с минимальной величиной Qps = min Qi,s. Для этого предприятия ypT = s, для остальных m

k,k=Во втором решении определяется предприятие, такое что величина Q,3 - Q,s = max (Qk,3 - Qk,s).

1km Все предприятия 1 k m+1, за исключением предприятия получают нормативные уровни ykT = 3, для предприятия нормативный уровень y T = s, для остальных предприятий ykT = 0. Величина упущенной выгоды для второго решения составляет m+Q2 = Q + Q.

k,3,s k=1,k Разность величин Q1 – Q2 равна (2.4.7) = Q,3 + Qp,s - Q,s – Qm+1,3.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.