WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

Утверждение. Функция является автоматной тогда и только тогда, когда она является ограниченно детерминированной.

Пример. Пусть A = B = Q = {0, 1} и система канонических уравнений выглядит следующим образом:

z(t)= q(t -1), q(t)= x(t), q(0)= 0.

Такой автомат, очевидно, осуществляет отображение a(1)a(2)…0a(1)a(2)… и называется единичной задержкой.

x (t) a (1) a (2) a (3) q (t) 0 a (1) a (2) a (3) z (t) 0 a(1) a(2) Определение 6. Диаграммой Мура для автомата называется ориентированный граф с множеством вершин Q, у которого каждой паре (a, q) сопоставляется дуга, идущая из вершины q в вершину, соответствующую G (a, q). Этой дуге приписывается пометка (a, F (a, q)).

Особым образом помечена вершина, соответствующая начальному состоянию. Диаграмма Мура однозначно задаёт автомат.

§36. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки.

Автоматность осуществляемых ими отображений.

Определение. Схемой из функциональных элементов и элемента задержки называется схема из функциональных элементов в функциональном базисе, к которому добавлен элемент, реализующий функцию единичной задержки. В схеме из функциональных элементов и элементов задержки допускаются ориентированные циклы, но любой ориентированный цикл должен проходить хотя бы через одну задержку.

Пусть A = B = {0, 1}, E2n — множество всех булевых векторов длины n.

Теорема 1. Схема из функциональных элементов и задержки осуществляет автоматное отображение.

Доказательство. 1) Пусть в схеме имеется r элементов задержки. Пусть i-я задержка Ri приписана вершине vi, в которую идёт дуга из вершины wi. Для всех i = 1, …, r удалим из СФЭЗ дуги (wi, vi). По определению СФЭЗ в полученном после этого графе не будет ориентированных циклов и он, тем самым будет представлять собой СФЭ. Входами этой СФЭ будут все входы исходной схемы, а также все вершины vi, i = 1, …, r (заметим, что все они различны и отличны от входов исходной схемы). Выходами полученной СФЭ объявим все выходы исходной схемы и вершины wi, i = 1, …, r. Пусть в исходной схеме выходам приписаны переменные z1, …, zm, входам — переменные x1, …, xn. Вершинам vi припишем переменные q'1, …, q'r, а вершинам wi — переменные q1, …, qr. В соответствии с определением функционирования СФЭ, для некоторых функций алгебры логики fi, gj справедливо:

zi = fi(x1,…, xn,q1,…,qr ),i = 1,…,m, (1) q = g (x1,…, xn,q1,…,qr ), j = 1,…,r.

j j Естественно считать, что равенства (1) выполняются в каждый момент времени t = 1, 2, 3,…, то есть zi(t)= fi(x1(t),…, xn(t),q1(t),…,qr(t)),i = 1,…m, (2) q g (t)= (x1(t),…, xn(t),q1(t),…,qr(t)), j = 1,…,r.

j j Так как, в соответствии с каноническими уравнениями элемента единичной задержки его выход в момент t совпадает с его входом в момент t – 1, то естественно считать, что в исходной схеме q'i (t) = qi (t – 1) при t = 1, 2, … для всех i = 1, …, r, где qi (0) = 0. Тогда равенства (2) принимают вид (где i = 1, …, m и j = 1, …, r):

zi(t)= fi(x1(t),…, xn(t),q1(t -1),…,qr(t -1)), q g (t)= (x1(t),…, xn(t),q1(t -1),…,qr(t -1)), (3) j j qj(0)= 0.

Полученные равенства определяют функционирование СФЭЗ и называются её каноническими уравнениями.

2) Пусть отображение, осуществляемое схемой, задаётся каноническими уравнениями (3). Введём переменные X = (x1, …, xn), Q = (q1, …, qr), Z = (z1, …, zm), принимающие n r m значения, соответственно в E2, E2, E2. Положим q0 = (0, …, 0). Тогда (3) можно переписать в виде Z(t)= F(X (t),Q(t -1)), Q G(X -1)), (t)= (t),Q(t Q(0)= q0, где функции F, G не зависят явно от t. Отсюда видно, что отображение, осуществляемое схеn m r мой, совпадает с отображением, задаваемым автоматом (E2, E2, E2,G, F,q0), то есть является автоматной функцией. Теорема доказана.

§37. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки.

Определение. Пусть автоматная функция отображает последовательности в конечном алфавите A в последовательности в конечном алфавите B. Пусть СФЭЗ осуществляет преn образование последовательностей с элементами из E2 в последовательности с элементами m из E2. Будем говорить, что моделирует, если существуют отображения (кодирования) n m K1 : A E2 и K2 : B E2, сопоставляющие разным элементам разные элементы и обладающие свойством: для любой последовательности P = a(1)a(2)…a(t) в алфавите A, если (P) = T = b(1)b(2)…b(t), то (K1 (P)) = K2 (T), где K1 (P) = K1 (a(1))K1 (a(2))…K1 (a(t)), K2 (T) = K2 (b(1))K2 (b(2))…K2 (b(t)).

Теорема 2. Для любой автоматной функции существует моделирующая её СФЭЗ в базисе из функциональных элементов дизъюнкции, конъюнкции, отрицания и элемента задержки.

Доказательство. Пусть автоматная функция дана автоматом D = (A, B, Q, G, F, q0). Выберем n, m, r так, что 2n |A|, 2m |B|, 2r |Q|. Рассмотрим произвольные отображения (кодиn m r рования) K1 : A E2, K2 : B E2, K3 : Q E2, при которых разные элементы отображаются в разные элементы. Дополнительно потребуем, чтобы K3 (q0) = (0, …, 0). Рассмотрим n r r n r m отображения G : E2 E2 E2 и F : E2 E2 E2 такие, что для любых a A и q Q выполняется G (K1(a), K3(q))= K3(G(a,q)), (1) F K3(q))= K2(F(a,q)).

(K1(a), ~ n r ~ ~ Равенства (1) определяют отображения G' и F' только для пар E2, E2 таких, что ~ является кодом некоторой буквы из A, а является кодом некоторой буквы из B. Для ос~ тальных пар отображения G' и F' доопределим произвольно. Пусть 0 = (0,…,0). Рассмотрим ~ n m r автомат H = (E2, E2, E2,G, F,0) с каноническими уравнениями Z(t)= F (X (t),Q(t -1)), Q G (t)= (X (t),Q(t -1)), (2) ~ Q(0)= 0.

Из (1) вытекает, что если автомат D преобразует последовательность P в алфавите A в последовательность T в алфавите B, то H преобразует код K1 (P) последовательности P в код K2 (T) последовательности T. Таким образом, достаточно показать, что автоматную функцию, задаваемую равенствами (2), можно реализовать схемой. Так как значением переменной X n являются наборы длины n из E2, то её можно рассматривать как набор переменных (x1, …, xn), принимающих значения из E2. Аналогично для переменных Q и Z. Тогда (2) можно переписать в эквивалентном виде для некоторых функций алгебры логики fi, gj:

zi(t)= fi(x1(t),…, xn(t),q1(t),…,qr(t)),i = 1,…,m, q g (t)= (x1(t),…, xn(t),q1(t),…,qr(t)), j = 1,…,r.

j j Тогда можно построить схему из функциональных элементов в базисе {,&, } с n + r входами и m + r выходами, реализующую семейство функций zi = fi(x1,…, xn,q1,…,qr ),i = 1,…,m, q = g (x1,…, xn,q1,…,qr ), j = 1,…,r.

j j Пусть в этой СФЭ входная переменная qj приписана вершине vj, а выходная переменная qj — вершине wj. Добавим дугу (wj, vj) и сопоставим вершине vj элемент задержки. Проделав это для всех пар qj,qj (j = 1,…,r), получим СФЭЗ, функционирование которой описывается каноническими уравнениями zi(t)= fi(x1(t),…, xn(t),q1(t -1),…,qr(t -1)),i = 1,…,m, q g (t)= (x1(t),…, xn(t),q1(t -1),…,qr(t -1)), j = 1,…,r, j j qj(0)= 0.

Эта схема является искомой. Теорема доказана.

§38. Теорема Мура. Теорема об отличимости состояний двух автоматов.

Будем рассматривать автоматы, в которых не выделено начальное состояние, то есть автомат задаётся пятёркой (A, B, Q, G, F).

Через A* будем обозначать множество всех конечных слов в алфавите A. Расширим функции F и G, определив F(a,qi) и G(a,qi) для любого состояния qi Q и любого слова a = (a(1),a(2),…,a(m)) A. Пусть автомат (A, B, Q, G, F) находится в состоянии qi Q и на вход подаётся слово a = (a(1),a(2),…,a(m)). Тогда на выходе будет последовательно выдаваться некоторое слово b = (b(1),b(2),…,b(m)) и после подачи всего слова a автомат окажется в некотором состоянии qk. Расширим функции F и G, положив F(a,qi)= b, G(a,qi)= qk.

Определение 1. Два состояния qi и qj автомата (A, B, Q, G, F) называются отличимыми, если существует входное слово a A такое, что F(a,qi) F(a,qj). При этом слово a называют экспериментом, отличающим qi и qj, а длину l(a) — длиной этого эксперимента.

Лемма. Пусть в автомате (A, B, Q, G, F) есть 2 состояния qu и qv, отличимые экспериментом длины p и не отличимые более коротким экспериментом. Тогда для любого k, где 1 k p, существуют 2 состояния, отличимые экспериментом длины k и не отличимые более коротким экспериментом.

Доказательство. Пусть состояния qu, qv отличимы экспериментом a длины p и не отличимы экспериментом меньшей длины. Пусть F(a,qu )= b, F(a,qv)= c. Тогда b c, причём b и c различаются только последней буквой. Разобьём все слова a, b, c на 2 подслова a = a1a2, b = b1b2, c = c1c2, где l(a2)= l(b2)= l(c2)= k. Пусть G(a1,qu )= q, G(a1,qv)= q. Тогда F(a2,q )= b2, F(a2,q )= c2. Так как b2 и c различаются последней буквой, то q' и q'' отличимы экспериментом длины l(a2)= k. Допустим, что q' и q'' отличимы экспериментом a длины l(a3)< k. Тогда F(a3,q )= b3, F(a3,q )= c3 и b3 c3. Но тогда F(a1a3,qu )= b1b3, F(a1a3,qv)= c1c3 и b1b3 c1c3. Следовательно, qu и qv отличимы экспериментом a1a3 длины l(a1a3)= l(a1)+ l(a3)< (p - k)+ k = p. Это противоречит условию. Значит (от противного), q' и q'' не отличимы экспериментом длины меньшей, чем k. Лемма доказана.

Теорема 3 (Теорема Мура). Если в автомате (A, B, Q, G, F) состояния qi и qj отличимы и |Q| = r, то существует эксперимент a, отличающий qi и qj, длины l(a) r -1.

Доказательство. Пусть состояния qi и qj отличимы экспериментом длины p и не отличимы более коротким экспериментом. Рассмотрим в данном автомате следующее отношение Rm на множестве состояний Q (m = 0, 1, …, p): состояния qi и qj не отличимы экспериментом длины m (считаем, что любые 2 состояния не отличимы экспериментом длины 0). Если для любого слова a A длины m F(a,qi)= F(a,qj) и F(a,qj)= F(a,qk ), то F(a,qi )= F(a,qk ), поэтому Rm — это отношение эквивалентности для каждого m = 0, 1, …, p. Относительно Rm ( m Q разбивается на классы эквивалентности Q1(m),Q2m),…,Qs((m)), так что любые два состояния из одного класса не отличимы экспериментом длины m, а любые два состояния из разных классов отличимы экспериментом длины m. При этом s(0) = 1 и Q = Q1(0). Посмотрим, как меняются эти классы при переходе от m к m + 1. Если 2 состояния отличимы экспериментом длины m, то они отличимы и экспериментом длины m + 1, поэтому состояния из разных классов остаются в разных классах. По лемме для любого m = 0, 1, …, p – 1 существуют 2 состояния, отличимые экспериментом длины m + 1 и не отличимые экспериментом длины m. Следовательно, хотя бы один из классов эквивалентности относительно Rm распадается не менее чем на 2 класса эквивалентности относительно Rm+1. Отсюда 1 = s (0) < s (1) < s (2) < … < s (p – 1) < s (p) r.

Так как все s (i) — натуральные числа, то p r – 1. Теорема доказана.

Следующий пример автомата показывает, что оценку r – 1 в теореме Мура в общем случае улучшить нельзя. Здесь, независимо от входного символа a F(a, qi) = 0, для i = 2, 3, …, r и F(a, q1) = 1.

0,1 0 0 0 q1 q2 q3 … qr–1 qr 1 0 0 0 … 1 1 1 1 Для того, чтобы отличить состояния qr–1 и qr надо перевести хотя бы одно из них в q(входным словом длины r – 2) и затем подать ещё один входной символ. Следовательно, минимальная длина эксперимента, отличающего qr–1 и qr, равна r – 1.

Определение 2. Пусть 2 автомата (A, B, Q1, G1, F1) и (A, B, Q2, G2, F2) имеют одинаковые входной и выходной алфавиты. Пусть qi Q1 и qj Q2. Будем говорить, что эксперимент a A отличает состояния qi и qj, если F1(a,qi) F2(a,qj).

Теорема 4. Пусть даны 2 автомата (A, B, Q1, G1, F1) и (A, B, Q2, G2, F2). Пусть |Q1| = r, |Q2| = m и qi Q1, qj Q2. Тогда, если qi и qj отличимы, то существует отличающий их эксперимент a длины l(a) r + m -1.

Доказательство. Можно считать, что Q1 Q2 =. Рассмотрим автомат (A, B, Q, G, F), в котором Q = Q1 Q2 и диаграмма которого получается объединением диаграмм исходных автоматов. Тогда |Q| = r + m и по теореме Мура qi, qj отличимы экспериментом a длины l(a) r + m -1. Теорема доказана.

Следующий пример автомата показывает, что оценка r + m – 1 в общем случае не улучшаема. Здесь предполагается m r и опять выходной символ зависит только от текущего состояния и не зависит от входного символа.

0,1 … 0 0 q 0 q q q q 1 2 r–1 r r+… 0 qm–1 0 qm 1 0 0 0 0 0 1 1 … 1 Легко видеть, что если не использовать состояние qm второго автомата, то нельзя отли чить состояния q1 и q1. Поэтому для того, чтобы отличить q1 и q1 сначала надо перевести второй автомат словом a из q1 в qm. При этом l(a1) m -1 и первый автомат под действием a перейдёт из q1 в qr. Чтобы далее получить различные выходные последовательности, надо перевести первый автомат из qr в q1 и подать ещё один символ. Всего для того, чтобы отли чить q1 от q1 потребуется входное слово длины (m – 1) + (r – 1) + 1 = m + r – 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.