WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

a) Базис индукции: q = p – 1. Так как G — связный и q = p – 1, то согласно пункту теоремы 2 G — дерево, то есть, в G нет циклов. Тогда r = 1. Отсюда p – q + r = = p – (p – 1) + 1 = 2.

b) Пусть для q: p – 1 q < q0 теорема справедлива. Докажем, что для q = q0 она также справедлива. Пусть G — связный граф с p вершинами и q0 рёбрами и пусть в его планарной реализации r граней. Так как q0 > p – 1, то G — не дерево. Следовательно, в G есть цикл. Пусть ребро e входит в цикл. Тогда к нему с двух сторон примыкают разные грани. Удалим ребро e из G. Тогда две грани сольются в одну, а полученный граф G1 останется связным. При этом получится планарная реализация графа G1 с p вершинами и q0 – 1 рёбрами и r – 1 гранями. Так как q0 – 1 < q0, то, по предположению индукции, для G1 справедлива формула Эйлера, то есть p – (q0 – 1) + (r – 1) = 2, откуда p – q0 + r = 2. Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Формула Эйлера справедлива и для геометрической реализации связных графов на сфере.

Доказательство. Пусть связный граф G с p вершинами и q рёбрами реализован на сфере S так, что число граней равно r. Пусть точка A на сфере не лежит на линиях этой геометрической реализации. Пусть P — некоторая плоскость. Поставим сферу S на плоскость P так, чтобы точка A была самой удалённой от плоскости. Спроектируем S на P центральным проектированием с центром в точке A. Тогда на плоскости P мы получим геометрическую реализацию связного графа с p вершинами и q рёбрами, причём число граней будет равно r (грань на сфере, содержащая A, отображается на внешнюю грань на плоскости). По теореме получаем p – q + r = 2. Следствие доказано.

Следствие 2. Для любого выпуклого многогранника справедливо равенство p – q + r = 2, где p — число вершин, q — число рёбер, r — число граней.

Доказательство. Пусть выпуклый многогранник M имеет p вершин, q рёбер и r граней.

Пусть O — внутренняя точка многогранника. Разместим сферу S с центром в точке O настолько большого радиуса, чтобы M целиком содержался в S. Рассмотрим центральное проектирование с центром в точке O, и спроектируем вершины и рёбра M на S. Тогда на S мы получим геометрическую реализацию некоторого связного графа с p вершинами, q рёбрами и r гранями. Отсюда согласно следствию 1 p – q + r = 2. Следствие 2 доказано.

§20. Доказательство непланарности графов K5 и K3,3.

Теорема Понтрягина-Куратовского (доказательство в одну сторону).

Определение 1. Графом K5 называется граф с пятью вершинами, в котором каждая пара вершин соединена ребром.

KТеорема 6. Граф K5 не планарен.

Доказательство. Допустим, что для графа K5 существует планарная реализация. Так как граф K5 связен, то для этой планарной реализации справедлива формула Эйлера p – q + r = 2.

Поскольку в графе K5 имеем p = 5 и q = 10, то число всех граней должно равняться r = 2 – p + + q = 7. Пусть грани занумерованы 1, 2, …, r и пусть при обходе i-ой грани по периметру (по её краю) проходится qi рёбер. Так как при этом каждое ребро обходится дважды (оно являетr ся стороной для двух граней), то qi = 2q = 20. Но в каждой грани не менее трёх сторон.

i=r Поэтому qi 3 для всех i. Отсюда qi 3r = 21. Получаем 20 21 — противоречие. Зна i=чит, для графа K5 не существует планарной реализации.

Определение 2. Графом K3,3 называется граф с шестью вершинами a1, a2, a3, b1, b2, b3, в котором каждая вершина ai соединена ребром с каждой вершиной bj и других рёбер нет.

a1 a2 ab1 b2 bK3,Теорема 7. Граф K3,3 не планарен.

Доказательство. Допустим, что для графа K3,3 существует планарная реализация. Так как граф K3,3 связен, то для этой планарной реализации справедлива формула Эйлера p – q + + r = 2. Поскольку в графе K3,3 имеем p = 6 и q = 9, то число всех граней должно равняться r = 2 – p + q = 5. Так же, как в доказательстве предыдущей теоремы, получаем, что r qi = 2q = 18, где qi — число сторон в i-ой грани. Но в графе K3,3 нет циклов длины 3. По i=этому в каждой грани не менее 4 сторон. Следовательно, qi 4 для всех i. Отсюда r qi 4r = 20. Получаем 18 20 — противоречие. Значит, для графа K3,3 не существует i=планарной реализации.

Определение 3. Подразделением ребра (a, b) называется операция, состоящая в следующих действиях:

1) удаление (a, b), 2) добавление новой вершины c, 3) добавление рёбер (a, c) и (c, b).

Определение 4. Граф H называется подразделением графа G, если H можно получить из G путём конечного числа подразделений своих рёбер.

Определение 5. Два графа называются гомеоморфными, если существуют их подразделения, которые изоморфны.

Теорема 8 (Понтрягина-Куратовского). Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит ни одного подграфа, гомеоморфного графам K5 или K3,3.

Доказательство. Необходимость. Пусть G — планарный. Допустим, что он содержит подграф G1, гомеоморфный графу K5 или K3,3. Рассмотрим планарную реализацию графа G.

Удалив лишние вершины и рёбра, мы получим планарную реализацию подграфа G1. Но Gгеометрически — это граф K5 или K3,3 с точками на рёбрах. Если проигнорировать эти точки, то мы получим планарную реализацию графа K5 или K3,3. Но это невозможно в силу теорем и 2. Необходимость доказана.

Достаточность без доказательства.

§21. Теорема о раскраске планарных графов в пять цветов.

Лемма 1. Для любой геометрической реализации на плоскости связного планарного графа с q рёбрами выполняется равенство:

r = 2q, qi i=где суммирование ведётся по всем граням (включая внешнюю).

Доказательство. Равенство следует из того, что у каждого ребра две стороны и при суммировании qi каждое ребро учитывается дважды: либо оно входит в границы двух соседних граней, либо оно дважды учитывается в одной грани. Лемма доказана.

Теорема 9. Если в связном планарном графе G = (V, E) с p вершинами и q рёбрами, отk личном от дерева, нет циклов длины меньше k (k 3), то q (p - 2).

k -2q Доказательство. Так как по условию qi k, то из леммы получаем 2q kr и r. Из k 2q k формулы Эйлера r = 2 – p + q. Отсюда 2 - p + q. Далее (k – 2)q k(p – 2) и q (p - 2).

k k -Теорема доказана.

Следствие. В любом связном планарном графе G = (V, E) без петель и кратных рёбер с p 3 вершинами и q рёбрами справедливо неравенство: q 3( p – 2).

Определение 1. Подмножество V1 V вершин графа G = (V, E) называется независимым, если никакие две вершины из V1 не соединяются ребром.

Определение 2. Пусть есть некоторое множество C = {C1, C2, …, Cm} — множество цветов. Тогда раскраской графа G = (V, E) (вершинной) называется любое отображение : V C. Раскраска называется правильной, если для любого цвета вершины этого цвета образуют независимое множество.

Лемма 2. В планарном графе без петель и кратных рёбер существует вершина v:

deg v 5.

Доказательство. Пусть G — планарный граф с p вершинами и q рёбрами. Пусть в G нет вершин степени 0 и 1. Тогда q 3(p – 2) < 3p. Пусть dmin — минимальная степень вершин в G. Тогда получаем p 6 p > 2q = deg vi pdmin.

i=Отсюда dmin < 6, то есть dmin 5. Лемма доказана.

Теорема 10. Вершины любого планарного графа можно правильно раскрасить в не более чем 5 цветов.

Доказательство. Проведём индукцию по числу вершин p.

1) Базис индукции: p = 1 — очевидно.

2) Пусть для p < p0 утверждение справедливо и пусть G = (V, E) — планарный граф с |V| = p0. Согласно лемме 2 в G есть вершина v степени не более 5. Рассмотрим укладку на плоскости графа G без пересечения рёбер. Удалим из G вершину v и все инцидентные ей рёбра. Получим планарный граф G1 с числом вершин p0 – 1. По предположению индукции его вершины можно правильно раскрасить в 5 цветов C1, C2, C3, C4, C5. Пусть в G вершина v смежна с v1, v2, …, vk, где k 5. Возможны два случая:

a) Среди цветов вершин v1, v2, …, vk в G нет цвета Ci (1 i 5). Тогда вершине v припишем цвет Ci и получим правильную раскраску графа G в 5 цветов.

b) Степень вершины v равна 5 и среди вершин v1, v2, …, v5 в G1 есть все 5 цветов.

Без ограничения общности будем считать, что в укладке графа G рёбра (v, v1), (v, v2), (v, v3), (v, v4), (v, v5) выходят из v в порядке по часовой стрелке и что C (vi) = Ci, i = 1, …, 5. Пусть A — множество всех вершин в G1, до которых можно дойти из v1 по рёбрам графа G1, используя только вершины цветов C1 и C3. Возможны два варианта:

i) v3A. Тогда в A поменяем цвета C1 C3, C3 C1. Так как вершины из A не смежны с другими вершинами цветов C1 и C3, то останется правильная раскраска и среди v1, v2, v3, v4, v5 не будет цвета C1. Тогда вершине v припишем цвет C1.

ii) v3A. Это значит, что в A есть цепь из v1 в v3, все вершины которой имеют цвета C1 и C3. Эта цепь вместе с рёбрами (v3, v) и (v, v1) образует цикл в G, причём вершины v2 и v4 лежат по разные стороны от этого цикла. Это значит, что из v2 нельзя пройти в v4 в графе A только по вершинам цветов C2 и C4.

Пусть B — множество всех вершин в G, до которых можно дойти из v2 по рёбрам графа G, используя только вершины цветов C2 и C4. Тогда v4B и далее поступаем как в i).

В любом случае вершины графа G можно правильно раскрасить в не более чем 5 цветов, и теорема доказана.

Глава III. Основы теории управляющих систем.

§22. Схемы из функциональных элементов.

Реализация функций алгебры логики схемами.

Определение 1. Вершины орграфа, в которые не входит ни одной дуги, называются истоками.

Определение 2. Орграф называется ациклическим, если в нем нет ориентированных циклов.

Определение 3. В ациклическом орграфе глубиной вершины v называется максимальное число дуг в ориентированном пути из какого-нибудь истока в вершину v.

Если в ациклическом орграфе есть дуга (v1, v2), то глубина v2 больше глубины v1.

Определение 4. Орграф называется упорядоченным, если для каждой вершины vi, в которую входит ki дуг, задан порядок e1,e2,…,ek этих дуг.

i Определение 5. Систему Б = {g1, g2, …, gm}, где все gi — функции алгебры логики, будем называть базисом функциональных элементов.

Определение 6. Схемой из функциональных элементов в базисе Б называется ациклический упорядоченный орграф, в котором:

1) каждому истоку приписана некоторая переменная, причем разным истокам приписаны разные переменные (истоки при этом называются входами схемы, а приписанные им переменные — входными переменными);

2) каждой вершине, в которую входят k 1 дуг, приписана функция из базиса Б, зависящая от k переменных (вершина с приписанной функцией при этом называется функциональным элементом);

3) некоторые вершины выделены как выходы (истоки одновременно могут являться выходами).

Индукцией по глубине q вершины v определяется функция fv, реализуемая в данной вершине. Если q = 0, то есть v — исток, и v приписана переменная xi, то fv xi. Пусть реализуемые функции уже определены для всех вершин глубины меньшей, чем q0, и глубина v равна q0. Пусть в v входят дуги e1, e2, …, ek из вершин v1, v2, …, vk и в них реализуются функции f1, f2, …, fk. Пусть вершине v приписана функция g (x1, …, xk). Тогда в v реализуется функция fv = g (f1, f2, …, fk).

Определение 7. Будем говорить, что схема реализует систему функций, реализуемых в ее выходах.

Определение 8. Сложностью схемы из функциональных элементов называется число функциональных элементов в схеме.

В дальнейшем по умолчанию будем подразумевать под базисом функциональных элементов систему Б0 ={,&, }. Так как все эти функции симметричны относительно своих переменных, то дуги, входящие в каждую вершину, можно не упорядочивать.

Пример. Полусумматор. Пусть v и v1 — выходы на рисунке, fv = xy &(x y)= x y ;

fv = xy. Сложность (число элементов) полусумматора равна 4.

x y xy & v1 v xy _ xy v & Полусумматор В дальнейшем при построении схем ячейку полусумматора будем обозначать просто x y & Ячейка полусумматора Пусть есть 2 n-разрядных числа, и требуется найти их сумму (в дальнейших обозначениях xi, yi — разряды чисел, а qi — единицы переноса).

q0 q1 q2 … qn-x1 x2 … xn-1 xn + y1 y2 … yn-1 yn z0 z1 z2 … zn-1 zn При i = 1, 2, …, n – 1 задача решается системой функций zi = xi yi qi, q = m(xi, yi,qi)= xi yi yiqi qixi.

i-Таким образом, ячейку сумматора можно построить следующим образом:

x y q · · v v Ячейка сумматора где fv = (x y) q, fv = xy (x y) · q = xy (x y) · q = m (x, y, q). Ячейку сумматора будем обозначать 1 и в дальнейшем в схемах подставлять вместо ячейки сумматора символ 1 с тремя входами (x, y, z) и двумя выходами (z, q).

x y q z q Ячейка сумматора Заметим, что сложность схемы, реализующей ячейку сумматора равна L (1) = 9. Очевидно, zn = xn yn, qn – 1 = xnyn, z0 = q0.

§23. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.

~ ~ Для набора = (1,2,…,n) будем обозначать = (12 …n).

Определение 1. Сумматором Sn порядка n называется схема с 2n входами x1, x2, …, xn, ~ ~ ~ ~ y1, y2, …, yn и n + 1 выходом z0, z1, z2, …, zn такая, что z = Sn(~, y) = x + y.

x Теорема 1. Существует схемный сумматор порядка n в базисе {, &, } с числом элементов 9n – 5.

Доказательство. Построим искомый схемный сумматор. Для этого возьмём одну ячейку полусумматора, содержащую четыре элемента и n – 1 ячейку сумматора, каждая из которых содержит девять элементов. Построим из этих частей сумматор.

xn yn xn – 1 yn – 1 xn – 2 yn – 2 x1 y 1 1 … zn zn – 1 zn – 2 z1 zСумматор Sn Вычислим сложность построенной схемы: L (Sn) = 9L (1) + L () = 9(n – 1) + 4 = 9n – 5. Теорема доказана.

Определение 2. Вычитателем Wn порядка n называется схема с 2n входами x1, x2, …, xn, ~ ~ y1, y2, …, yn и n выходами z1, z2, …, zn такая, что при x y ~ ~ ~ ~ z = W(~, y) = x - y.

x Теорема 2. Существует схемный вычитатель порядка n в базисе {, &, } с числом элементов 11n – 5.

Доказательство. Заметим предварительно, что ~ ~ = (12 …n)= 2n -1-.

Действительно, (12 …n) + (12 …n).

(1 1 … 1 ) = 2n -Тогда вычитатель реализуется схемой x1 … xn y1 … yn – – Sn – – … z0 z1 zn Вычитатель Wn ~ ~ ~ ~ ~ Wn(~, y)= x - y = 2n -1-((2n -1- x )+ y ) x и его можно построить, используя 2n отрицаний и 1 сумматор порядка n. При этом L (Wn) = ~ ~ ~ ~ = 2n + L (Sn) = 2n + (9n – 5) = 11n – 5. Так как x y, то (2n -1- x )+ y 2n -1, и выход вычитателя определен. Теорема доказана.

§24. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка её сложности.

Определение 1. Умножителем Mn порядка n называется схема с 2n входами x1, x2, …, ~ ~ ~ ~ xn, y1, y2, …, yn и 2n выходами z1, …, z2n такая, что z = Mn(~, y) = x y. При этом x ~ 0 x 2n -1 < 2n x y 0 ~ 2n -1 < 2n ~ ~ < 22n.

y Определение 2. Через M (n) обозначим наименьшую сложность умножителя порядка n в базисе {, &, }.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.