WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Математической Кибернетики Дискретная математика (II семестр) лектор — профессор В. Б. Алексеев составитель — А. Д. Поспелов Москва 2002 Содержание Глава I. Функции алгебры логики §1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций 3 §2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной 5 дизъюнктивной нормальной форме §3. Полные системы. Примеры полных систем 6 §4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом 6 §5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T, T и L 8 0 1 §6. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость 9 §7. Класс монотонных функций, его замкнутость 10 §8. Лемма о несамодвойственной функции 10 §9. Лемма о немонотонной функции 11 §10. Лемма о нелинейной функции 11 §11. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики 12 §12. Теорема о максимальном числе функций в базисе алгебры логики 12 §13. Теорема о предполных классах 13 §14. k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в множестве 13 k-значных функций Глава II. Основы теории графов §15. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность 15 §16. Деревья. Свойства деревьев 16 §17. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа 17 §18. Геометрическая реализация графов. 18 Теорема о реализации графов в трёхмерном пространстве §19. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера 19 §20. Доказательство непланарности графов K и K. Теорема Понтрягина-Куратовского 20 5 3,3 §21. Теорема о раскраске планарных графов в пять цветов 21 Глава III. Основы теории управляющих систем §22. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами 23 §23. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель 25 §24. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка её сложности §25. Дешифратор. Асимптотика сложности дешифратора. Верхняя оценка сложности реализации произвольной функции алгебры логики §26. Мультиплексор. Верхняя оценка сложности мультиплексора. Метод Шеннона §27. Шифратор. Верхняя оценка сложности шифратора Глава IV. Основы теории кодирования §28. Алфавитное кодирование. Теорема Маркова о взаимной однозначности алфавитного кодирования §29. Неравенство Макмиллана §30. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов §31. Оптимальные коды, их свойства §32. Теорема редукции §33. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции M (n). r §34. Коды Хэмминга. Оценка функции M (n) Глава V. Основы теории конечных автоматов §35. Понятие ограниченно детерминированных (автоматных) функций, их представление диаграммой Мура. Единичная задержка §36. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность осуществляемых ими отображений §37. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов задержки §38. Теорема Мура. Теорема об отличимости состояний двух автоматов Глава I. Функции алгебры логики.

§1. Функции алгебры логики. Равенство функций.

Тождества для элементарных функций.

1°. Функции алгебры логики.

Определение 1. Пусть E2 = {0, 1} — основное множество (исходный алфавит значений n переменных), тогда E2 = {(1, …, n) | i iE2}. Тогда всюду определённой булевой функциn ей назовём отображение f (x1, …, xn): E2 E2. Такую функцию можно задать таблично, а можно как суперпозицию других, более простых функций. Например, для n = 1:

x 0 1 x x 0 0 1 0 1 0 1 1 При этом функция 0 называется константой нулём, функция 1 — константой единицей, функция x — тождественной, а функция x — отрицанием x. При этом для последней функции допускается также иное обозначение: x ¬x.

Для n = 2:

x y f1 f2 f3 f4 f5 f6 f0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 При заполнении таблицы столбцы переменных заполняются в лексикографическом порядке (по возрастанию двоичных чисел).

f1 — дизъюнкция, функция «или», логическое сложение: f1 = x y.

f2 — конъюнкция: f2 = x · y = x & y = xy.

f3 — сложение по модулю 2 (исключающее «или»): f3 = x y = x + y.

f4 — импликация: f4 = x y.

f5 — эквивалентность: f5 = x ~ y = x y.

f6 — штрих Шеффера: f6 = x | y = xy.

f7 — стрелка Пирса: f7 = x y = x y.

Лемма (о числе слов). В алфавите A = {a1, …, ar} из r букв можно построить ровно rm различных слов длины m.

Доказательство. Проведём индукцию по m. Для m = 1 утверждение очевидно. Пусть утверждение леммы верно для m – 1, то есть существует ровно rm – 1 различных слов длины m – 1. Для каждого такого слова длины m – 1 существует ровно r возможностей добавить одну букву в конец. Так как всего слов длины m – 1 — rm – 1, то различных слов длины m получится r · rm – 1 = rm. Лемма доказана.

Рассмотрим таблицу некоторой функции алгебры логики от n переменных.

x1 x2 … xn f 0 0 … 0 0 0 … 1 n 2n … … … … … 1 1 … 1 2 -n Для её задания необходимо и достаточно определить её значения на 2n наборах. Таким образом, получаем, что всего различных функций от n переменных столько, сколько существует n различных наборов из нулей и единиц длины 2n, т.е. 22.

Используя последний факт можно, например, получить оценку числа функций от 10 переменных. Всего таких функций будет 22 = 21024 > 21000 = (210) > (1000) = 10300. Таким образом, при росте числа переменных число функций возрастает очень быстро, и их табличное задание становится неудобным.

2°. Равенство функций. В обычной алгебре справедливо равенство x + y – y = x, несмотря на то, что в левой части записана функция от двух переменных, а в правой — от одной. Таким образом, функции от разного числа переменных могут быть одинаковыми, что даёт повод ввести понятие существенных и фиктивных переменных.

Определение 2. Переменная xi называется существенной переменной функции алгебры логики f (x1, …, xn), если существуют такие 1, …, i – 1, i + 1, …, nE2, что f (1, …,i – 1, 0, i + 1,…, n) f (1, …, i – 1, 1, i + 1, …, n).

Такие наборы, отличающиеся лишь одной переменной xi, называются соседними по xi. В противном случае переменная xi называется фиктивной.

Если xi — фиктивная переменная функции f, то функция f однозначно определяется некоторой функцией g (x1, …, xi – 1, xi + 1, …, xn). Таблицу любой функции можно расширить введением любого числа фиктивных переменных.

Определение 3. Две функции алгебры логики называются равными, если одну из них можно получить из другой путём добавления и изъятия любого числа фиктивных переменных.

3°. Формулы.

Определение 4. Пусть имеется некоторое множество функций A = {f1 (…), f2 (…), …, fn (…), …}.

Введем понятие формулы над A:

1) Любая функция из A называется формулой над A.

2) Если f (x1, …, xn) A и для любого i Hi — либо переменная, либо формула над A, то выражение вида f (H1, H2, …, Hn) является также формулой над A.

3) Только те объекты называются формулами над A, которые можно построить с помощью пунктов 1 и 2 данного определения.

Замечание. Среди H1, H2, …, Hn вполне могут быть одинаковые.

4°. Основные эквивалентности.

1. Коммутативность: 2. Ассоциативность:

x y = y x ; (x y) z = x (y z) = x y z ;

xy = yx ; (xy) z=x (yz)=xyz ;

x y = y x ; (x y) z = x (y z) = x y z.

x ~ y = y ~ x.

3. Дистрибутивность:

4. x = x, (x y) z = (xz) (yz) ;

правила де Моргана:

(x y) z = (xz) (yz) ;

x y = x y, (xy) z = (x z)·(y z).

x y = x y.

5. Законы поглощения.

6. x y = x y x x = x x y = x y x · x = x x x = 1 x y = x y x x = x y = (x y) (x y) x 1 = x ~ y = x y = (xy) (x y) x · 1 = x x 0 = x x · 0 = 0.

Приоритет конъюнкции выше, чем приоритеты дизъюнкции и суммы по модулю 2. Благодаря этому, часто удаётся опустить ряд ненужных скобок. Имеют место следующие очевидные утверждения:

x1 · x2 · … · xn = 1 i xi = 1, x1 x2 … xn = 1 i: xi = 1.

x, = Определение 5. x в степени сигма называется функция x = x, = 0 ; x = 1 x =.

§2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным.

Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме.

Теорема 1 (о разложении функции алгебры логики по переменным). Для любой функции алгебры логики f (x1, …, xn) и для любого k (1 k n) справедливо следующее равенство:

1 2 k f (x1,…, xn)= x1 x2 … xk f (1,2,…,, xk+1,…, xn).

k k (1,,…, )E2 k ~ Доказательство. Для любого набора = (1,2,…,n ) вычислим значение правой части на этом наборе. Как только хотя бы один из сомножителей будет равен нулю, вся конъюнкция обратится в нуль. Таким образом, из ненулевых конъюнкций останется лишь одна — та, в которой i = i и 1 1 2 k 2 k 1 2 …k f (1,,…,,k +1,…,n )= 0 … 0 1 2 k f (1,…,n ), 2 k k (1,,…, )E2 k а в силу того, что xx = 1, указанное выражение равно f (1, 2, …, n). Теорема доказана.

Следствие 1. Разложение произвольной функции алгебры логики по одной переменной имеет вид f (x1, x2,…, xn )= x1 f (0, x2,…, xn ) x1 f (1, x2,…, xn ).

Следствие 2 (теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме). Для любой функции алгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественного нуля, справедливо следующее представление:

1 2 n f (x1,…, xn)=,…,n )=1 x1 x2 xn.

(1,…,n ): f ( Доказательство. Пусть функция f (x1, x2,…, xn) отлична от тождественного нуля. Напишем разложение этой функции по k = n переменным:

2 n f (x1,…, xn )= x1 x2 …xn f (1,,…, ), 2 n n (1,,…, )E2 n что можно переписать в эквивалентном виде 1 2 1 2 n n x1 x2 …xn f (1,…,n),…,n )=0 x1 x2 …xn f (1,…,n).

(1,…,n ): f (,…,n )=1 (1,…,n ): f ( 1 Учитывая, что в первой дизъюнкции все значения функции равны единице, а вторая обнуляется из-за того, что все значения функции в ней равны нулю, получаем утверждение следствия. Следствие доказано.

Теорема 2 (о совершенной конъюнктивной нормальной форме). Для любой функции алгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественной единицы, справедливо представление 2 n f (x1,…, xn )= & (x1 x2 … xn ).

(1,,…, ) 2 n f (1,,…, )=2 n §3. Полные системы. Примеры полных систем (с доказательством полноты).

Определение. Множество функций алгебры логики A называется полной системой (в P2), если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой над A.

Теорема 3. Система A = {, &, ¬} является полной.

Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то f выражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишь дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Если же f 0, то f = x x. Теорема доказана.

Лемма 2. Если система A — полная, и любая функция системы A может быть выражена формулой над некоторой другой системой B, то B — также полная система.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию алгебры логики f (x1, …, xn) и две системы функций: A = {g1, g2, …} и B = {h1, h2, …}. В силу того, что система A полна, функция f может быть выражена в виде формулы над ней: f (x1,…, xn )= [g1, g2,…], где gi = i[h1,h2,…], то есть функция f представляется в виде f (x1,…, xn )= [1,2,…], иначе говоря, может быть представлена формулой над B. Перебирая таким образом все функции алгебры логики, получим, что система B также полна. Лемма доказана.

Теорема 4. Следующие системы являются полными в P2:

1) {x y, x};

2) {x y, x};

3) {x | y};

4) {x · y, x y, 1}.

Доказательство. 1) Известно (теорема 3), что система A = {x y, x y, x} полна. Покажем, что полна система B = {x y, x}. Действительно, из закона де Моргана x y = x y получаем, что x y = x y, то есть конъюнкция выражается через дизъюнкцию и отрицание, и все функции системы A выражаются формулами над системой B. Согласно лемме 2 система B полна.

2) Аналогично пункту 1: x y = x y x y = x y и из леммы 2 следует истинность утверждения пункта 2.

3) x | x = x, x y = x | y = (x | y)| (x | y) и согласно лемме 2 система полна.

4) x = x 1 и согласно лемме 2 система полна.

Теорема доказана.

§4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом.

Определение 1. Монотонной конъюнкцией от переменных x1,…, xn называется любое выражение вида xi xi xi xi, где s 1, 1 ij n j = 1, 2, …, s, все переменные различны 1 2 3 s (ij ik, если j k); либо просто 1.

Определение 2. Полиномом Жегалкина над x1, …, xn называется выражение вида K1 K2 K3 … Kl, где l 1 и все Kj суть различные монотонные конъюнкции над x1, …, xn; либо константа 0.

Теорема 5 (теорема Жегалкина). Любую функцию алгебры логики f (x1, …, xn) можно единственным образом выразить полиномом Жегалкина над x1, …, xn.

Доказательство. 1) Докажем существование полинома. Система {x · y, x y, 1} полна, следовательно, любую функцию алгебры логики f (x1, …, xn) можно реализовать формулой над {x · y, x y, 1}.

a) Пользуясь дистрибутивностью, раскрываем все скобки в этой реализации и получаем, что f (x1, …, xn) = K1 K2 … Kl, где любая Ki — конъюнкция переменных и единиц.

b) Преобразуем все полученные конъюнкции в элементарные, пользуясь при этом коммутативностью и соотношениями x · x = x, 1 · 1 = 1 и A · 1 = A. Очевидно, все конъюнкции станут монотонными.

c) Преобразуем полученную сумму в полином Жегалкина, пользуясь при этом соотношениями A A = A и A 0 = A. В результате получим либо Ki Ki Ki … Ki, 1 2 3 m либо константу 0.

Существование доказано.

2) Докажем единственность представления. Подсчитаем число различных всевозможных монотонных конъюнкций от n переменных. Для этого составим таблицу вида x1 x2 x3 xx1x2x4 1 1 0, x2x3 0 1 1 1 0 0 0 где каждой переменной соответствует единица, если она присутствует в монотонной конъюнкции и ноль в противном случае. При этом константе единице поставим в соответствие нулевой набор. Очевидно, что построенное отображение биективно. Следовательно, всего различных монотонных конъюнкций от n переменных — 2n. Построим аналогичное биективное отображение между всевозможными суммами монотонных конъюнкций и векторами длины 2n — числа конъюнкций. Для этого составим таблицу вида xy x y xy +1 1 0 0 1, 0 0 0 0 где под соответствующей монотонной конъюнкцией стоит единица, если она входит в данную сумму, и ноль, если не входит. При этом константе ноль ставится в соответствие нулевой набор. Очевидно, такое отображение биективно. Всего таких различных сумм будет n столько, сколько существует различных булевых векторов длины 2n, то есть — 22. Мы получили, что число различных полиномов Жегалкина совпадает с числом функций алгебры логики. Поскольку отображение из множества полиномов во множество функций сюръективно, то оно и биективно, так как множества полиномов Жегалкина над n переменными и функций алгебры логики от n переменных равномощны. Единственность доказана.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.