WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 24 |

Читателю предлагается убедиться, что проверочная матрица H вида 1 0 ~ G ~ 1 1 H =, где G =, 1 1 I 0 1 получена решением уравнения Сильвестра (1.170) относительно матT рицы = H с матричными компонентами 0 1 0 I T = 1 0 1 ; L = 0 ; A = ].

T O7 O6 ; P =[1 O 1 0 0 Матрица H обнаруживает полную блоковую систематику ПЗК ~ (7,4), поэтому образующая матрица кода принимает вид G =[I4 G].

1.7. Анализ структуры неподвижных состояний и замкнутых циклов линейных двоичных динамических систем В данном параграфе рассматриваются проблемы, связанные со спецификой структуры пространства состояния линейных двоичных динамических систем, характеризующихся наличием неподвижных состояний и замкнутых циклов при отсутствии (u(k)= 0 ) и наличии (u(k) 0 ) экзогенной задающей последовательности на входе ЛДДС.

Решаемая задача связана с особенностью структуры алгебраического спектра собственных значений {A}= {i : D()= det(I + A)= 0} матрицы A состояния линейной ДДС, особенностями структуры геометрического спектра собственных векторов {i : Ai = i ;i = 1,n} той же матрицы, с фактом, когда этот спектр имеет своими элементами вектор начального x(0) (в общем случае исходного x(k)) состояния системы и столбцы матрицы B входа ЛДДС. Для случая, когда u(k) 0 решаемая задача связана с проблемой управляемости пары матриц ( A,B). И, наконец, решение задачи в значительной степени зависит от показателя µ, которому принадлежит матрица A.

Рассматриваемая проблема решается с использованием моделей «вход–состояние» линейных ДДС, задаваемых в рекуррентной x(k + 1)= A x(k)+ Bu(k), x(0); (1.183) и суммарной k- x(k)= Ak x(0)+ Ak-1-iBu(i) (1.184) i=формах.

Анализ структуры пространства состояния ЛДДС, задаваемой моделями (1.183), (1.184) проведем для случая, когда (n r) матрица B входа представляет собой n -мерный вектор-столбец так, что r = 1.

1.7.1 Неподвижные состояния линейной двоичной динамической системы Рассмотрение проблемы начнем с определения неподвижного состояния.

Определение 1.12 (О1.12). Состояние x(k) ЛДДС (1.182), (1.183) называется неподвижным, если оно удовлетворяет условию x(k + 1)= x(k), k. (1.185) Анализ структуры неподвижных состояний начнем со случая, когда экзогенная последовательность u(k) на входе ЛДДС отсутствует.

Для этого случая u(k)= 0, поэтому модели (1.183), (1.184) принимают вид x(k + 1)= A x(k), x(0); (1.186) x(k)= Ak x(0). (1.187) Утверждение 1.34 (У1.34). ЛДДС (1.186), (1.187) при любой (n n)-реализации матрицы A состояния всегда имеет в качестве неподвижного состояния нулевое x(k) 0. (1.188) Доказательство утверждения использует рекуррентную модель (1.186), подстановка в которую (1.188) дает цепочку равенств x(k + 1)= A x(k)= A O = O = x(k).

Утверждение 1.35 (У1.35). ЛДДС (1.186), (1.187) при реализации матрицы A состояния в форме единичной (n n)-матрицы так, что A = I, имеет неподвижными все 2n состояния двоичной системы.

Доказательство утверждения, как и выше, использует рекуррентную модель (1.186) ЛДДС, в которой следует положить A = I так, что (1.186) принимает вид x(k + 1)= A x(k)= I x(k)= x(k); x(k).

Выделим теперь класс матриц состояния ЛДДС (1.186), (1.187), при которых двоичная система обладает неподвижным состоянием x(k) 0, отличным от нуля.

Утверждение 1.36 (У1.36). Если состояние x(k) является собственным вектором матрицы A, соответствующим ее собственному значению равному единице ( = 1), то состояние x(k)= (1.189) является неподвижным.

Доказательство утверждения использует рекуррентную модель ЛДДС (1.186) и определение собственного вектора матрицы A =. (1.190) Для собственного значения =1 соотношение (1.190) принимает вид A =. (1.191) Если x(k) выбран в форме (1.189), тогда используя (1.186) получим цепочку равенств x(k + 1)= A x(k)= A = = x(k). (1.192) Выделим класс матриц состояния ЛДДС, которые не порождают ненулевые неподвижные состояния x(k) 0. Очевидно, что в этот класс входят все (n n)-матрицы A, обладающие индексом нильпотентности, удовлетворяющим неравенствам 1 n. (1.193) Это вызвано тем, что нильпотентная (n n)-матрица A с индексом нильпотентности (1.193) имеет все n собственных значений, равных нулю ( = 0 ), что делает невозможным переход от (1.190) к (1.191).

В этот класс также входит (n n)-матрица A, принадлежащая максимальному показателю µ = 2n - 1, что имеет место, когда характеристический полином матрицы A D()= det(I + A) представляет собой неприводимый полином степени n (deg D()= n). В этом случае матрица A не имеет собственных значений в простом двоичном поле Галуа GF(2)= {0,1}, как следствие матрица A не имеет собственных векторов, в силу чего не выполняется соотношение (1.191). Таким образом неподвижным ненулевым состоянием обладает ЛДДС, (n n)матрица A состояния которая принадлежит показателю µ, удовлетворяющему неравенствам n µ < 2n - 1. (1.194) Рассмотрим теперь структуру неподвижных состояний для случая отличной от нуля экзогенной последовательности на входе ЛДДС так, что выполняются соотношения u(k) 0 ; u(k)= 1, k. (1.195) Утверждение 1.37 (У1.37). Нулевое состояние x(k) 0 не принадлежит множеству неподвижных состояний ЛДДС при ненулевой экзогенной последовательности, удовлетворяющей условиям (1.195).

Доказательство утверждения строится на подстановке x(k) 0 и (1.195) в модель (1.183) ЛДДС, что приводит к соотношению x( k + 1) = B u( k). (1.196) В случае если dim B = (n 1) и B O соотношение x(k + 1)= O = x(k) при u(k)= 1 не выполняется.

Утверждение 1.38 (У1.38). Ненулевое неподвижное состояние ЛДДС (1.183) вычисляется в силу соотношения - x(k)= ( I + A) B. (1.197) Доказательство утверждения строится на непосредственном вычислении неподвижного состояния, опирающегося на его определение (1.185), и соотношение (1.183) с учетом (1.195), из которых получаем x(k)= A x(k)+ B, что записывается в форме ( I + A)x(k)= B, (1.198) приводящей к выражению (1.197), если матрица ( I + A) обратима.

Выделим случай, когда матрица ( I + A) не является обратимой.

С этой целью воспользуемся свойством спектра собственных значений матричной функции от матрицы. В соответствии с этим свойством ~ спектр { I + A}= {i ;i = 1,n} состоит из элементов ~ i = 1 + i, i = 1,n, (1.199) где i – элемент алгебраического спектра {A}={i : det(I + A)= 0; i = 1,n} собственных значений матрицы A. В силу соотношения (1.199) матрица ( I + A) является обратимой, а следовательно линейная ДДС (1.183), (1.184) имеет при u(k)= 1 неподвижное состояние, определяемое в силу (1.198), если матрица A является нильпотентной с любым индексом нильпотентности или если матрица A имеет своим характеристическим полиномом любой неприводимый полином степени n, принадлежащий показателю µ, удовлетворяющему условию (1.194).

Необратимой матрица ( I + A) является для ЛДДС, матрица A состояния которой имеет в своем алгебраическом спектре собственных зна~ чений {A}={i : det(I + A)= 0; i = 1,n} элемент = 1 так, что в j j ~ силу (1.200) обращается в ноль ( = 0 ). В этом случае линейная ДДС j (1.183), (1.184) не имеет неподвижных состояний отличных от нулевого. Следует, однако, заметить, что сказанное выше справедливо, если иметь в виду произвольную реализацию матрицы B. Если же матрица входа такова, что она принадлежит пространству столбцов матрицы B, то есть выполняется условие B Jm( I + A), то вектор x(k) ищется из условия n x(k)= arg B = I + A) xi (k).

( i i=1.7.2 Замкнутые циклы линейных ДДС Вынесенную в название параграфа проблему как для случая исследования неподвижных состояний будем решать с использованием модельных представлений ЛДДС в форме (1.186), (1.187) при отсутствии на входе двоичной динамической системы экзогенной последовательности ( u(k)= 0 ) и в форме (1.183), (1.184) при наличии на входе системы экзогенной последовательности ( u(k) 0 ).

Предварим исследование важным для решения проблемы утверждением.

Утверждение 1.39 (У1.39). Пусть (n n)-матричная функция f ( A) от (n n)-матрицы A задана над простым полем Галуа GF( p) при p = 2 в степенной форме f ( A)= Aq (1.200) где q – целое положительное число. Пусть матрица A обладает алгебраическим спектром {A}= {i : det(I + A)= 0; i GF(2)} собственных значений и геометрическим спектром {i : A = ; j = 1,rA } j j собственных векторов. Пусть матричная функция f ( A) от матрицы A обладает алгебраическим спектром { f ( A)}={ = f (i ): det[ I + f ( A)]= 0 ; i = 1,n} f i f собственных значений и геометрическим спектром. Тогда геометрический спектр { ; = 1,r } соб{ : f ( A) = } f f ственных векторов f ( A) включает в себя геометрический спектр { ; j = 1,nA } собственных векторов матрицы A, при этом они моj гут не совпадать так, что выполняется соотношение { ; = 1,rf } { ; j = 1,r} (1.201) f j rf r. (1.202) Доказательство. Очевидно сформулированное утверждение справедливо для матрицы A, не являющейся нильпотентной матрицей любого значения индекса нильпотентности, которая обладает алгебраическим спектром собственных значений, составленным из нулей так, что {A}={i = 0; i = 1,n}, а также для матрицы A, имеющей своим характеристическим полиномом D()= det(I + A) неприводимый полином степени n, который не имеет корней в простом поле Галуа GF(2) так, что {A}= {i GF(2)}. Таким образом утверждение имеет дело со случаем, когда характеристический полином матрицы A разложим в произведение двучленов n D()= det(I + A)= ( + ) (1.203) j j=и который характеризуется кратными единичными собственными значениями = 1 ( j = 1,n ). Известно [13], что число rA различных собстj венных векторов матрицы A, имеющей кратные корни, меньше j n = dim x и определяется из соотношения rA = dim{Ker(I + A)}= n - dim{Jm( I + A)}= n - rank( I + A) (1.204) j В свою очередь число rf собственных векторов матричной функf ции f ( A) от матрицы A определяется из соотношения rf = dim{Ker( I + f ( A))}= f (1.205) = n - dim{Jm( I + f ( A))}= n - rank( I + f ( A)) f Причем так как по свойству спектра собственных значений матричной функции f ( A) от матрицы A оказывается справедливым соотношение = f ( ) : j, = 1,n, (1.206) f j то с учетом степенного характера f ( A)= Aq спектр кратных единичных значений матрицы A { = 1: j = 1,n} сохраняется и для матричj ной функции f ( A) { = 2 = 1: = 1,n}. Если к этому добавить, что f матричная функция f ( A) в общем случае не сохраняет базис представления исходной матрицы A, то размерности ядер (нульпространств) матриц ( I + A)= ( I + A) и (I + f ( A))= ( I + f ( A)) j могут быть различными так, что выполняется неравенство rf rA. (1.207) Пример 1.10 (Пр1.10) Для иллюстрации положений утверждения рассмотрим матрицу 0 1 A = 0 0 1 1 и матричную функцию от матрицы 0 1 0 0 1 0 0 0 f ( A)= A2 = A A = 0 0 1 0 0 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 det(I + A)= det 0 1 = 3 + 2 + + 1 = ( + 1)3.

1 1 + {A}= {1 = 2 = 3 = 1}.

0 f det( I + f ( A))= det 1 1 + 1 = 3 + 2 + + 1 = ( + 1) f f f f f f 1 f {f ( A)= A2}={ = = = 1}.

f 1 f 2 f Вычислим 0 1 rA = dim Ker(I + A)= Ker 0 0 1 = n - dim{Jm(I + A)}= 1 1 1 1 = n - rank( I + A)= 3 - rank 0 1 1 = 3 - 2 = 1.

1 1 Размерность rA ядра Ker(I + A), определяющая число собственных векторов, составляет rA = 1. Таким образом, матрица A имеет j единственный собственный вектор 1 0 1 0 1 = 1 такой, что A = : 0 0 1 1 = 1 выполняется.

1 1 1 1 1 Оценим теперь размерность rf ядра Ker( I + f ( A)), определяющую f число собственных векторов f 1 0 dim Ker( I + f ( A))= Ker 1 0 1 = f 1 0 = n - dim{Jm( I + f ( A))}= n - rank( I + f ( A))= f 1 0 = 3 - rank1 0 1 = 3 -1 = 1 0 Таким образом f ( A)= A2 имеет следующие собственные вектора:

= по свойству матричной функции от матрицы сохраf нять геометрический спектр собственных векторов в форме f ( A) = A2 = A{ = A = =. Действительно A f 0 0 1 1 f ( A) = 1 1 1 1 = 1 = ;

f 1 0 0 1 и, вычисленные из соотношения f ( A) = так, f 2 f 3 f f что 1 0 0 1 1 = 0 : f ( A) = 1 1 1 0 = 0 = ;

f 2 f 2 f 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 = 1 : f ( A) = 1 1 1 1 = 1 =.

f 3 f 3 f 0 1 0 0 0 Заметим, что собственные векторы,, матричной функf 1 f 2 f ции f ( A)= A2 оказались линейно зависимыми. Действительно 1 0 = + = 0 + 1 = 1 ;

f 1 f 2 f 1 0 1 1 = + = 1 + 0 = 1 и т.д.

f 3 f 1 f 1 1 Этого результата и следовало ожидать, так как линейная оболочка, натянутая на эти векторы, имеет размерность rf = 2 < n = 3.

Введем понятие замкнутый цикл в структуре пространства матрицы состояния линейной ДДС с помощью следующего определения.

~ Определение 1.13 (О1.13). Пусть множество x мощности ~ [~]= N = 2n - 1 состояний линейной ДДС (1.186), (1.187), не вклюx чающее в себя нулевое неподвижное состояние, тогда подмножество ~ множества x, содержащее T состояний, на котором выполняется соотношение x(k)= x(k + T ), (1.208) называется замкнутым циклом длинной T, составленным из векторов состояния {x(k);x(k + 1)= Ax(k);x(k + 2)= Ax(k + 1)= A2x(k),,x(k + T - 1)= AT -1x(k)}. (1.209) Рассмотрим факторы, определяющие длину T замкнутых циклов на множестве состояний ЛДДС при отсутствии экзогенной последовательности (u(k)= 0 ) на ее входе. С этой целью соотношение (1.208) запишем в форме (1.187) x(k)= AT x(k). (1.210) Сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1.40 (У1.40). При x(k) 0 соотношение (1.210) выполняется в случаях, когда:

– матрица A принадлежит показателю T ;

– x(k) является собственным вектором матрицы AT.

Доказательство справедливости первой части утверждения строится на определении показателя µ, которому принадлежит матрица A, в соответствии с которым выполняется матричное равенство Aµ = I, (1.211) подстановка µ = T делает справедливым (1.210). Доказательство справедливости второй части утверждения строится на определении собственного вектора с учетом специфики простого поля Галуа GF( p) при p = 2.

Нетрудно видеть, что длина T замкнутых циклов удовлетворяет неравенствам 1 T n - 1. (1.212) Очевидно, что в структуре пространства (n n)-матрицы A состояния ЛДДС (1.186), (1.187) имеется цикл длины T = 1, когда x(k) является собственным вектором матрицы A. Иначе говоря, ненулевое неподвижное состояние образует цикл длительностью T = 1. Максимальная длительность T = 2n - 1 имеет место, когда (n n)-матрица A и ее ха рактеристический полином D()= det(I + A) принадлежат показателю µ = 2n - 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.