WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 24 |

Утверждение 1.22 (У1.22). Если матрицы T,L,G удовлетворяют матричным соотношениям T +T A = LC, G =T B, (1.98) то процесс по вектору невязки наблюдения (ВНН) ( k) описывается рекуррентным векторно-матричным уравнением (k + 1)= (k), (0)= T (0)+ z(0). (1.99) Доказательство утверждения строится на подстановке в (1.99) векторно-матричных соотношений (1.93) и (1.94), в результате чего получим (k + 1)= (k)+ (T A+ T + LC) (k)+ (T B + G) (k). (1.100) Если в (1.100) подставить (1.98), то приходим к (1.99).

Модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме процесса по ВНН (1.99) позволяет сформулировать требования к матричным компонентам наблюдаемой ДДС (1.93) и ДНУ (1.94), которые позволят обеспечить все возможные задачи наблюдения.

Так если ставится задача наблюдения вектора (k) текущего состояния ДДС (1.93), то следует воспользоваться явным (показательным) решением (1.99), записываемым в форме k (k)= (0); (0)= T(0)+ z(0). (1.101) Следует заметить, что при нормальном использовании ДНУ его состояние при запуске обнуляется так, что z(0)= 0. С учетом этого обстоятельства (1.101) принимает вид k (k)= T (0). (1.102) В свою очередь подстановка (1.102) в (1.96) дает k z(k)= T (k)+ (0). (1.103) Потребуем от матрицы состояния ДНУ обладания свойством нильпотентности с индексом, тогда при k устанавливается равенство z(k)= T (k), k. (1.104) Таким образом, вектор z(k) состояния ДНУ с точностью до матрицы преобразования подобия T задает текущее состояние вектора (k) наблюдаемой ДДС (1.93). Заметим, что подобие (1.104) можно преобразовать в тождество, если в матричное уравнение Сильвестра (1.98) положить T = I, где I – единичная матрица, и решить уравнение (1.100) относительно матрицы L.

Поставим теперь задачу наблюдения вектора (0) начального состояния наблюдаемой ДДС (1.93). Для этого потребуем, чтобы µ матрица принадлежала показателю µ так, что = I. В этом случае при k = µ соотношение (1.102) примет вид z( µ)= T ( µ)+ (0)= T ( µ)+ T (0). (1.105) Дополним ситуацию еще одним условием, для чего предположим, что наблюдаемая ДДС (1.93) представляет собой регистр сдвига, функционирующий при u(k) 0 и (0) 0. Если учесть, что показатель µ удовлетворяет неравенствам n µ 2n - 1, (1.106) то к моменту k = µ (1.105) примет вид z( µ)= T (0). (1.107) Таким образом (1.107) обнаруживает результат, который не достигается над бесконечными полями. Если наблюдаемая ДДС (1.93) представляет собой регистр сдвига размерности n с нулевой входной по следовательностью u(k) 0 и ненулевым начальным состоянием (0), а двоичное наблюдающее устройство (1.94) таково, что его матрица состояния принадлежит показателю µ, то в силу выполнения (1.107) состояние z(k) ДНУ при k = µ является синдромом состояния (0).

Выделим еще одну постановочную версию задачи наблюдения состояния ДДС (1.93), предположив, что входная последовательность u(k) формируется с помощью конечномерной автономной ДДС.

(k + 1)= R (k); (0)= 0 ; (k)= S (k). (1.108) Соотношения (1.108) задают источник входной последовательности (ИВП) u(k).

Объединим системные компоненты – наблюдаемая ДДС (1.93), ДНУ (1.94) и ИВП (1.108), – процесса наблюдения, охарактеризовав T T T его агрегированным вектором состояния =[zT,, ]. Тогда динамика системы с агрегированным вектором описывается автономной ДДС T T T (k + 1)= A (k), (0)=[zT (0), (0), (0)], (1.109) где матрица A имеет представление LC G S A = 0 A B S. (1.110) 0 0 R ( 0) (0) u ( k) ( k) ( k +1) = R ( k), (k + 1)= A (k)+ Bu(k), u( k) = S ( k), ( 0) = 0 (k)= C (k), (0)= z( k +1) = z( k)+ L( k)+ G u( k), z( 0) = zРисунок 1.17. Структурное представление модели (1.109) процесса двоичного динамического наблюдения Агрегированная модель (1.109) с матричным компонентом A (1.110) процесса двоичного динамического наблюдения представлена на рисунке 1.17.

Для системы (1.109) явное решение (k) в показательной форме принимает вид k (k)= A (0). (1.111) С целью покомпонентного вычисления (1.111) сформулируем утверждение.

Утверждение 1.23 (У1.23). Показательная матричная функция Ak матрицы A вида (1.110) представима в форме k k T + T k T (Rk + k ) к = 0 k Rk + k, (1.112) 0 0 Rk где матрица удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра (1.98), а матрица – матричному уравнению Сильвестра R + A = B S. (1.113) Доказательство утверждения осуществляется на замене матричных членов LC и B S в представлении (1.108) матрицы A, являющихся правыми частями уравнений Сильвестра (1.98) и (1.113), на их левые части, а так же подстановке второго матричного соотношения (1.98) в (1.108) так, что становится справедливым матричное равенство G S =TB S. (1.114) После проведенной модернизации представления (1.108) матрицы A осуществляется конструирование базы индукции степеней матрицы A, что приводит к (1.112).

Если теперь в агрегированном векторе выделить векторный компонент z, представляющий собой вектор состояния ДНУ, то в силу (1.111) и (1.112) для него можно записать k k z(k)= z(0)+ ( T + T Ak ) (0)+ T ( Rk + Ak ) (0). (1.115) Выражение (1.115) обнаруживает все богатство решений задач двоичного динамического наблюдения, рассмотренных выше на основе частных композиций начальных состояний и свойств матричных компонентов.

Пример 1.5 (Пр1.5) Пусть требуется синтезировать ДНУ для наблюдения вектора состояния ДДС, A,B,C,H -описание которой имеют вид 0 1 0 A = 0 0 1, B = 0, C =[1 1 0], H =[0].

1 1 0 С целью решения поставленной задачи в соответствии с (1.103) и (1.104) выберем в качестве модели ДНУ регистр сдвига третьего порядка, матрица ВМ описания которого будет иметь следующий вид 0 1 = 0 0 1.

0 0 Решим поставленную задачу в форме z(k)= (k), k, для чего в силу (1.104) выберем матрицу T в форме T = I. Решение уравнения Сильвестра (1.98) относительно матрицы L и вычисление матрицы G дает T T L =[0 0 1], G =[0 0 1].

В силу (1.104) и того, что матрица имеет индекс нильпотентности, равный трем, то, очевидно, что начиная с момента k 3 вектор состояния z ДНУ должен будет совпасть с вектором состояния исходной ДДС. Покажем это, полагая, что входная последовательность u(k) ДДС на первых семи тактах имеет вид u(k): 1001010, а начальное соT стояние (0) ДДС определяется вектором (0)= [0 11].

Таблица 1.k 0 1 2 3 4 5 6 u(k) 0 1 0 0 1 0 1 T (k) 011 110 100 001 011 111 111 zT ( k) 000 000 000 001 011 111 111 (k) u ( k) z3(k) z2(k) z1(k) Рисунок 1.18. Структурное представление процесса двоичного динамического наблюдения k k k () () () k + k + k + () () () Из таблицы 1.1 видно, что начиная с третьего такта, то есть с выполнением условия k = 3, вектор состояния z синтезированного ДНУ повторяет в форме z(k)= (k) состояние (0) наблюдаемой ДДС.С использованием полученных результатов структурно-функциональная схема процесса двоичного динамического наблюдения вектора состояния заданной ДДС примет вид, как показано на рисунке 1.18.

Из таблицы 1.1 видно, что начиная с третьего такта, то есть с выполнением условия k = 3, вектор состояния z синтезированного ДНУ повторяет в форме z(k)= (k) состояние (0) наблюдаемой ДДС.С использованием полученных результатов структурно-функциональная схема процесса двоичного динамического наблюдения вектора состояния заданной ДДС примет вид, как показано на рисунке 1.18.

1.5.2 Концепция подобия в задаче декодирования систематических помехозащищенных кодов Задачу декодирования систематических помехозащищенных кодов, подвергшихся воздействию на функциональном и модельном уровнях, зададим следующим образом. Кодирующее устройство (КУ) на выходе которого формируется (n, k)-помехозащищенный код y, выводимый в канал связи в виде двоичной кодовой последовательности y(k), старшим разрядом вперед, представляется n -разрядным регистром сдвига, начальное состояние которого (0) представляет собой передаваемую помехозащищенную кодовую посылку. Векторно-матричное модельное представление КУ имеет вид x(k + 1)= F x(k); x(0); y(k)= P x(k), (1.116) где F – матрица размерности (n n) является нильпотентной с индексом нильпотентности равным n так, что = n. Формирователь импульсной помехи, которая в канале связи (КС) искажает передаваемую кодовую посылку y, также представим n -разрядным регистром сдвига, который будем именовать регистром канала связи (РКС). РКС характеризуется нулевой входной последовательностью и вектором начального состояния (0), который представляет собой n -разрядный вектор помехи, выводимый в КС в виде последовательности (k) старшим разрядом вперед. Векторно-матричное описание РКС имеет вид (k + 1)= A (k); (0); (k)= C (k). (1.117) Матрица A совпадает с матрицей F и так же является нильпотентной с индексом нильпотентности = n.

Процесс искажения кодовой последовательности y(k), при передаче по КС представим суммированием в простом двоичном поле GF(2), в результате чего формируется искаженная кодовая комбинация f = y +, в виде кодовой последовательности f (k)= y(k)+ (k). (1.118) Процесс декодирования реализуем в форме построения ДНУ, формирующего к моменту k = n состояние z(n), которое с точностью до матрицы преобразования подобия представляло бы собой вектор (0) начального состояния РКС. Векторно-матричное описание ДНУ – декодирующего устройства (ДКУ) принимает вид z(k + 1)= z(k)+ L f (k); z(0), (1.119) а структурное представление процесса декодирования – так, как показано на рисунке 1.19.

Рисунок 1.19. Структурное представление двоичного динамического наблюдения начального состояния регистра канала связи Поставленная задача опирается на следующее утверждение.

Утверждение 1.24 (У1.24). Вектор z(k) состояния ДКУ, построенного по структуре двоичного наблюдающего устройства для наблюдения векторов x(0) и (0), задается соотношением k k k k z(k)= z(0)+ (T Ak + T ) (0)+ (Tx F + Tx)x(0), (1.120) где матричные компоненты T и Tx вычисляются как решение матричных уравнений Сильвестра T A + T = LC, Tx F + Tx = L P. (1.121) Доказательство утверждения ведется по той же схеме, что и доказательство У1.23. В рассмотрение вводится агрегированный вектор T T z = [zT,,xT ]. (1.122) Вектор (1.122) подчиняется рекуррентному векторно-матричному уравнению T T z (k + 1)= z (k); z (0)=[zT (0), (0),xT (0)], (1.123) явное решение которого в показательной форме имеет вид k z (k)= z (0). (1.124) k В (1.123) и (1.124) матрицы и имеют вид k k k k T Ak + T Tx F + Tx LC L P k = 0 A 0 ; = 0 Ak 0 (1.125) k 0 0 F 0 0 F k Подстановка из (1.125) в (1.124) и выделение из z (k) компонента z(k) приводит к (1.120).

В стандартной постановке задачи декодирования [51] сформированный ДКУ синдром ошибки представляет собой образ вектора начального состояния (0) РКС, формируемого с помощью матрицы преобразования подобия T. В этой связи выясним при каких условиях и свойствах матричных компонентов соотношения (1.120) последнее вырождается в соотношение вида (1.107), записываемое в форме z(k)= T (0). (1.126) Решение поставленной задачи получим с использованием положений следующего утверждения.

Утверждение 1.25 (У1.25). Если ДНУ начального состояния (0) функционирует так, что всегда z(0)= 0, то есть перед запуском его состояние обнуляется, матрица принадлежит показателю µ = n, матрицы A и F обладают индексом нильпотентности = n, матрица преобразования подобия Tx обладает свойством Tx GT = O. (1.127) где G – образующая матрица систематического кода [51], то выполняется соотношение векторно-матричного подобия z(n)= T (0). (1.128) Доказательство утверждения строится на определениях свойств нильпотентности матрицы и принадлежности матрицы показателю, а так же на использовании условия z(0)= 0, что приводит (1.120) к виду z(n)= T (0)+ Tx x(0). (1.129) Напомним, что вектор x(0) формируется из информационной части xи(0) систематического помехозащищенного кода с помощью образующей матрицы G кода в силу соотношения x(0)= GT xи(0). (1.130) Если (1.130) подставить в (1.129) и учесть (1.127), то получим (1.128).

Следует заметить, что в силу (1.127) матрица Tx как решение матричного уравнения Сильвестра (1.121) является проверочной матрицей [51] систематического кода.

Пример 1.6 (Пр1.6) В качестве примера рассмотрим аналитику решения в виде (1.130) задачи конструирования декодирующего устройства в форме ДНУ циклического кода с образующим многочленом g( x)= x3 + x + 1.

Сконструируем ДКУ в форме ДНУ и кодирующее устройство в виде модельных представлений «вход-состояние-выход» с матричными компонентами I A = F =, T T O7 OC = P =[1 O6 ] соответственно.

Решение относительно матрицы T матричного уравнения (1.97) дает 1 1 1 0 1 0 T = 0 1 1 1 0 1 0.

1 1 0 1 0 0 Следует заметить тождественность результата для вычисленной матрицы T каноническому [51] представлению проверочной матрицы ~ H циклического кода, который в рассматриваемом примере соответствует образующему многочлену g( x)= x3 + x + 1, которая имеет вид T 1 1 1 0 1 0 T ~ ~ H =[GT I] = 0 1 1 1 0 1 0.

1 1 0 1 0 0 Заметим также, что процесс декодирования состоит в вычислении вектора ошибки (применительно к данному примеру – вектору состояния регистра канала связи см. рисунок 1.19) посредством умножения матрицы TT на вектор начального состояния (0) РКС. Нетрудно ви~ деть, что в силу равенств матриц T и HT, процесс декодирования циклических кодов полностью совпадает с классическим его представлением. Структурная схема процесса декодирования циклического кода с образующим многочленом g( x)= x3 + x + 1 представлена на рисунке 1.20.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.