WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 24 |

Утверждение 1.19 (У1.19). Если степень µ бинома xµ + 1 представима в форме µ = 2, где – целое положительное число, то бином xµ + 1 над простым полем Галуа GF(2) при p = 2 может быть записан в форме xµ + 1 = x2 + 1 = (xv + 1). (1.69) Доказательство утверждения сводится к непосредственному вычислению правой части (1.69) с учетом специфики модулярной арифметики по mod p = mod 2.

Как следствие из У1.19 становится справедливым положение следующего утверждения.

Утверждение 1.20 (У1.20). Если степень µ бинома xµ + 1 представима в форме µ = 2, где – целое положительное число, то этот бином над простым полем Галуа GF(2) при p = 2 может быть записан в виде -1 - xµ + 1 = x2 + 1 =(x2 + 1)(x2 + 1) (x2 + 1). (1.70) Доказательство утверждения строится на использовании У1.19, позволяющее записать 2 -1 -2 xµ + 1 =(x2 + 1)= x + 1 x + 1 =(x2 + 1)(x2 + 1). (1.71) Пример 1.4 (Пр1.4) В качестве примера рассматривается линейная ДДС, преобразующая входную импульсивную последовательность u(k)= (k) в периодическую последовательность y(k): 11110000 11110000 периода T = 8.

Следуя А1.4 получим передаточную функцию проектируемой ЛДДС в силу определения 2 Y (d) 1 + d + d + d M (d) (d)= = = U (d) 1 + d D(d) Задачу редуцирования размерности (d) решим с использованием делимости модулярных многочленов, то есть полинома наибольшего 2 3 8 общего делителя M (d)= 1 + d + d + d и D(d)= 1 + d = (1 + d ).

С этой целью проверим: не принадлежит ли M (d) показателю µ = 4.

Следуя У1.17, сформируем матрицу P сопровождающую моду2 лярный многочлен M (d)= 1 + d + d + d так, что 0 1 P = 0 0 1.

1 1 с целью решения задачи µ µ = arg{P = I }, которая в своем решении дает µ = 4.

µ Представим полином d + 1 = d + 1 в форме d + 1 = (d + 1)M (d) и осуществим редуцирование передаточной функции (d) с помощью цепочки равенств M (d) M (d) M (d) (d)= = = =.

4 D(d) 1 + d + d + d 4 4 (1 + d )(1 + d ) (1 + d)M (d)(1 + d ) Сконструируем структурное представление редуцированной версии проектируемой ЛДДС, которое приведено на рисунке 1.13.

Рисунок 1.1.4.2 Редуцирование линейных двоичных динамических систем на основе анализа структуры пространств управляемости и наблюдаемости ЛДДС Рассмотрим векторно-матричное ВСВ представление ЛДДС x(k + 1)= A x(k)+ Bu(k), x(0); y(k)= C x(k)+ H u(k). (1.72) В предыдущем разделе исследованы вопросы управляемости и наблюдаемости ЛДДС, записанной в форме (1.23), (1.24) или (1.72) за n тактов ее функционирования, где n = dim x. В случае неполной управляемости и наблюдаемости структура пространства ЛДДС (1.72) разбивается на четыре части, так что вектор состояния линейной ДДС представим в форме T T T x = [xT xT xнун xнунн], (1.73) ун унн где xун – управляемая и наблюдаемая часть вектора состояния x ;

xунн – управляемая, но ненаблюдаемая часть x ; xнун – неуправляемая, но наблюдаемая часть x ; xнунн – неуправляемая и ненаблюдаемая часть вектора x. ЛДДС (1.72) с вектором состояния (1.73) структурно представим схемой (рисунок 1.14).

Sун Sунн Sнун Sнунн Рисунок 1.14. Структурная схема ЛДДС (1.72) с вектором состояния (1.73) Структурное представление, приведенное на рисунке 1.14, системы, характеризующееся четырьмя перечисленными компонентами вектора состояния, справедливо для систем над бесконечными и конечными полями предложено Р. Калманом [29] и носит название «каноническое представление Р. Калмана». Из приведенного представления видно, что передаточная функция (d), как модель «вход-выход» описывает только полностью управляемую и полностью наблюдаемую часть ЛДДС. При вычислении передаточной функции ЛДДС (1.72) в силу соотношения -1 - (d)= C(d I + A) B + H (1.74) должно происходить сокращение сомножителей числителя и знаменателя ММ, которые задействованы для описания неуправляемых и ненаблюдаемых частей ЛДДС. Таким образом размерность передаточной функции ЛДДС в целом, которая совпадает с передаточной функцией ее полностью управляемой и полностью наблюдаемой части, в ее минимизированной после сокращения сомножителей форме определится размерностью пересечения пространства управляемости пары матриц ( A,B) и пространства наблюдаемости пары матриц ( A,C). Для вычисления размерности этого пересечения может быть использован следующий алгоритм.

Алгоритм 1.3 (А1.3) 4. Построить матрицу Wy управляемости пары матриц ( A,B) модели ЛДДС (1.71) в форме (1.75) Wy =[B A B A2 B An-1 B].

5. Составить матрицу WH наблюдаемости пары матриц ( A,C) модели ЛДДС (1.72) T T T WH =[CT (CA)T (CA2) (CAn-1) ]. (1.76) 6. Вычислить размерности пространств управляемости и L{Wy} T наблюдаемости с помощью соотношений L{Wн } T nу = dimL{Wy}= rank Wy ; nН = dim L{Wн }= rank Wн (1.77) 7. Вычислить размерность объединения L{Wy} L {WH T} nуН пространств управляемости и наблюдаемости ЛДДС в силу выражения nуН = rank[Wy WH T].

8. Вычислить размерность nуН пересечения пространств управляемости и наблюдаемости L{Wy} L {WH T} nуН = dim{L{Wy} L{WH T}}= nу + nН - nуН (1.78) Практика построения редуцированных модельных представлений линейных ДДС показывает, что наилучший результат решения задачи редуцирования имеет место при комбинировании двух рассмотренных подходов. Это комбинирование позволило сконструировать следующий алгоритм синтеза линейных ДДС редуцированной размерности.

Алгоритм 1.4 (А1.4) 1. Выполнить А1.1, получив передаточную функцию ЛДДС в форM (d).

ме (d)= D(d) 2. Выполнить А1.2, получив матричные компоненты (A,B,C,H ) представления ВСВ (1.72).

3. Выполнить А1.3, получив оценку nуН размерности пересечения пространств управляемости и наблюдаемости.

4. Проанализировать полученное значение nуН, при этом если nуН = n, то перейти к выполнению п.9 алгоритма, иначе – к выполнению п.5.

5. Оценить порядок np = nуН редуцированной модели ЛДДС и ~ степень ее редуцируемости np = n - nуН.

~ 6. На множестве ММ степени np найти такой, который входит в разложение полинома числителя M (d) и знаменателя D(d) передаточной функции (d) синтезируемой ЛДДС, с целью конструирования ( d) передаточной функции ЛДДС размерности p np.

7. Построить структурное представление передаточной функции ( d) в одном из канонических базисов и разметить его переp менными xi(k) и xi(k + 1).

8. Построить векторно-матричное ВСВ-представление редуцированной ЛДДС xp (k + 1)= Ap xp (k)+ Bp u(k), xp (0);

y(k)= C xp (k)+ H u(k) (1.79) p 9. Построить техническую реализацию редуцированной ЛДДС в схемотехнической версии в соответствии со структурным представлением ( d) или в программной версии в соответствии с p (1.79).

Пример 1.4 (продолжение) В продолжение примера 1.4 решим задачу редуцирования с использованием оценки nуН размерности пересечения пространств управляемости и наблюдаемости исходной (A,B,C,H ) модели синтезируемой ЛДДС.

Имеем передаточную функцию устройства 2 Y (d) 1 + d + d + d M (d).

(d)= = = U (d) 1 + d D(d) Выполняем А1.4 с пункта 2.

2. Строим структурное представление передаточной функции устройства и размечаем ее. В результате указанных действий получаем структурную схему, представленную на рисунке 1.15.

Рисунок 1.По отмеченной схеме рисунок 1.15 конструируем матрицы A,B,C,H :

T O71 I11, O41, T A = B = C =[O71 I11], II77 O H = [1].

3. Выполняем А1.3 с использованием пакета Matlab 6.5. В результате находим np = nуН = 5.

4. Выполняем п.п.4,5 и находим, что величина уменьшения раз~ мерности np оказывается равной трем, то есть np = 3.

2 5. Находим общий делитель M (d)= 1 + d + d + d, что приводит к редуцированной передаточной функции ЛДДС вида -4 (d)= (1 + d + d + d ) p 6. Строим структурную схему полученной передаточной функции и осуществляем ее разметку (рисунок 1.13).

7. Строим по размеченной структурной схеме (рисунок 1.13) векторно-матричное ВСВ-представление (1.79) редуцированной ЛДДС, матрицы которой принимают вид II T 51 OO T Ap = O21, Bp =,Cp =[O41 I11], H = [ I11].

I55 I I 1.5. Концепция подобия в теории линейных двоичных динамических систем Концепция подобия в теории динамических систем над бесконечными полями получила в последнее время заметное распространение при решении широкого круга задач управления [5, 35, 40, 48, 53].

В рамках векторно-матричного формализма метода пространства состояний в непараметризованной временем форме концепция подобия сводится к выполнению соотношения = M. (1.80) В параметризованном временем виде соотношение (1.80) достигается в асимптотике так, что ( )= M ( )- ( ), (1.81) при этом lim ( )= 0 (0),(0). (1.82) В (1.80) – (1.82) – вектор состояния некоторого эталонного динамического процесса, – вектор состояния конструируемой динамической среды, dim = m, dim =, M – (m ) – матрица в общем случае особого [12] преобразования подобия; – принимает смысл непрерывного времени t ( = t ) в непрерывных по времени процессах и смысл дискретного времени k ( = k), выраженного в числе интервалов дискретности длительности t так, что t = k t, в дискретных по времени процессах, – вектор невязки выполнения векторно-матричного подобия, задаваемого в форме ( )= M ( ); (0),(0), (1.83) Если на асимптотически сходящемся процессе (1.82) можно указать такое, что при соотношение (1.83) выполняется «почти точно», то следует называть временем установления векторно-матричного подобия (1.83). В технической среде достижение векторно-матричного подобия (1.83), обеспечиваемого путем выполнения условия (1.82), реализуется в виде связей по вектору состояния и части компонентов вектора состояния так, что математическая модель по вектору невязки представляет собой автономную систему, которая для непрерывного времени имеет вид & (t)= A (t); (0)= M ( )-(0), (1.84) и (k + 1)= A (k); (0)= M ( )-(0), (1.85) для дискретного времени. Указанные связи должны быть выбраны так, чтобы процессы в (1.84) и (1.85) A t (t)=e (0); (k)= A k (0), (1.86) сходились за назначенное время. Для процессов с непрерывным временем матрица A должна быть гурвицевой, для процессов с дискретным временем матрица A должна иметь собственные значения в единичном круге [5, 48].

К схеме (1.81), (1.84), (1.85) сводится задача регулирования [31] в форме модального управления [48, 53], задача слежения за конечномерным экзогенным воздействием [5, 48, 31, 52], задача динамического наблюдения [5, 35, 48]. К этой же схеме сводятся задачи адаптивного управления [40]. Для случая единичной матрицы преобразования подобия ( M = I ), когда отношение подобия превращается в отношение тождественного равенства, разработаны методы решения обратных задач динамики [34].

Следует ожидать, что перенос концепции подобия на динамические системы над конечными полями, частным случаем которых являются двоичные динамические системы, заметно обогатит алгоритмическое обеспечение синтеза как линейных, так и нелинейных ДДС (конечных автоматов). Следует заметить при этом, что обеспечение условия вида (1.82) опирается на особые свойства матриц над конечным полем Галуа GF( p) при p = 2 [37]. Часть этих свойств представлены в разделе 1.3.1. Этими свойствами являются: свойство обнуления произвольной квадратной m m-матрицей с элементами из конечного поля Галуа GF( p) при p = 2 своего характеристического полинома (Теорема Гамильтона-Кэли над конечным полем Галуа GF( p) при p = 2 ) в форме (1.62); свойство принадлежности квадратной m m-матрицы с элементами из конечного поля Галуа GF(2) показателю µ в форме (1.63).

Для целей дальнейших исследований введем в рассмотрение еще одно свойство матриц над конечным полем Галуа GF(2).

Свойство 1.1 (СВ1.1). (Нильпотентность индекса матрицы A).

Квадратная (m m)-матрица A с элементами из GF(2) обладает свойством нильпотентности индекса, если выполняется условие A = O. (1.87) Утверждение 1.21 (У1.21). Для того чтобы (m m)-матрица A с элементами из конечного поля Галуа GF(2) обладала свойством СВ1.1 достаточно, чтобы матрица A обладала нулевым корнем кратности, при этом ее каноническое представление имело вид O( -1)(m- +1) I( -1)( -1) A =. (1.88) O(m- +1)m Доказательство утверждения строится на свойстве матричной функции от матрицы сохранять отношение подобия. Действительно, если существует (m m)- неособая матрица М преобразования подобия такая, что выполняется матричное соотношение - A = MA M, (1.89) тогда по указанному свойству выполняется и соотношение - f ( A)= M f ( A )M. (1.90) Если в качестве f ( A) выбрана функция от матрицы f ( A)= A, то соотношение (1.90) примет вид - A = MA M, (1.91) но A при = в силу представления (1.88) обнуляется:

A = O, (1.92) что приводит к выполнению (1.87) в силу (1.91).

1.5.1 Концепция подобия в задаче динамического наблюдения состояния произвольной линейной ДДС Пусть линейная ДДС, состояние которой подлежит наблюдению, имеет векторно-матричное описание (k + 1)= A (k)+ Bu(k), (0)= 0, (k)= C (k), (1.93) где, u, – соответственно n –мерный вектор состояния, r –мерный вектор входной последовательности и –мерный вектор выходной последовательности, матрицы A,B,C согласованы по размерности с векторами, u и. Элементы векторов и матриц принадлежат двоичному простому полю Галуа GF(2).

Двоичное динамическое наблюдающее устройство (ДНУ), использующее всю доступную для непосредственного измерения информацию об ДДС (1.93) в виде входной последовательности u(k) и выходной – y(k), строится в форме z(k + 1)= z(k)+ L(k)+ G u(k), z(0)= z0, (1.94) где z – m -вектор состояния ДНУ, матрица определяет динамику процесса наблюдения в форме (1.82), а пара матриц ( L,G) обладает свойствами L = arg {contr(,L)}, G = arg {contr(,G)}, (1.95) где contr{ (),(•)} – предикат наличия полной управляемости пары матриц { (),(•)}.

Задачу наблюдения вектора состояния системы (1.93) в среде ДНУ (1.94) сформулируем в форме (1.81), записываемой в виде z(k)= T (k)+ (k), k, (1.96) где T – матрица преобразования подобия (в общем случае – особого).

Уравнение (1.96) позволяет построить модель процесса наблюдения по вектору невязки наблюдения, которое принимает вид (k + 1)= T (k + 1)+ z(k + 1). (1.97) Структурная модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме (1.97) в соответствии с моделями (1.93) и (1.94) представлена на рисунке 1.16.

(0) u ( k) ( k) ( k + 1)= A ( k)+ B u ( k), ( k)= C ( k), ( 0)= z( k + 1)= z( k)+ L( k) + G u( k), z( 0) = zРисунок 1.16. Модель процесса двоичного динамического наблюдения состояния произвольной ЛДДС Сформулируем теперь утверждение.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.