WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 24 |

Определение 1.5 (О1.5). ЛДДС, осуществляющая преобразование входного кода, заданного с помощью модулярного многочлена u( x) (1.9), в выходной код, заданного с помощью модулярного многочлена y( x) (1.10), может быть описана передаточной функцией вида (1.8), в которой D-образы Y (d) и U (d) вычисляются в силу (1.15).

Отдельного рассмотрения требует вопрос конструирования передаточной функции ДДС в случае, если ставится задача синтеза устройства умножения или деления модулярных многочленов. В данной постановке передаточная функция (d) ДДС, осуществляющей умножение ММ a( x) и b( x), будет определяться в силу правила (d)= arg{(a(d) b(d))& deg(d)= (1.17) = min{deg a(d),deg b(d)}} В случае, когда ставится задача конструирования ДДС, осуществляющей деление модулярного многочлена a( x) и ММ b( x) в форме a( x) b( x), то передаточная функция (d) ДДС будет иметь вид (d)=. (1.18) b(d) Представленные положения своей целью имеют получение структурного представления ЛДДС для последующей ее технической реализации или структурно-функционального анализа. Получить структурное представление ЛДДС с использованием понятия передаточной функции (матрицы) позволяют положения следующего утверждения.

Утверждение 1.4 (У1.4). Структура модельного представления ЛДДС, описываемой передаточной функцией вида (1.8) с единичным свободным членом знаменателя, может быть построена с использованием правила некасающихся контуров метода Мейсона, в соответствии с которым она выразится в форме касающихся (вложенных друг в друга) контуров, передаточные функции которых заданы мультипликативной структурой из постоянного коэффициента i и соответствующей степени i переменной d знаменателя передаточной функции так, что их число не превышает m, а число прямых ветвей от входа к выходу этой реализации определяется числом ненулевых элементов числителя передаточной функции с передаточными функi циями ветвей id, число которых не превышает m + 1.

Доказательство утверждения можно найти в литературе по теории графов, например, в [25].

Рисунок 1.1. Представление ЛДДС в каноническом управляемом базисе Рисунок 1.2. Представление ЛДДС в каноническом наблюдаемом базисе Таким образом, положения У1.4 дают два канонически сложившихся модельных представления [25] ЛДДС, описываемых передаточной функцией вида (1.8), приведенных на рисунках 1.1 и 1.2.

Элементы d модельных представлений, показанных на рисунке 1.и 1.2, имеют смысл, который раскрывают положения следующего утверждения.

Утверждение 1.5 (У1.5). Элемент памяти, передаточная функция ЭП ( d) которого имеет представление ЭП (d)= d, (1.19) является D–триггером.

Доказательство утверждения строится на понятии D–триггера и свойстве D-преобразования для сдвинутой ДКП (см. Приложение). Из теории элементов дискретной автоматики известно, что D–триггер представляет собой элемент памяти (ЭП), реализующий задержку выходной y(k) ДКП на один такт относительно входной u(k) ДКП так, что u(k)= y(k + 1). Если теперь воспользоваться свойством Dпреобразования для сдвинутой ДКП, то получим:

- d Y(d)= U(d), откуда для ЭП ( d) будем иметь:

Y (d) Y (d) (d)= = = d.

-U (d) d Y (d) Положения раздела позволяют сформировать следующий алгоритм конструирования передаточной функции и построения структурного представления соответствующей ЛДДС.

Алгоритм 1.1 (А1.1) 0. Классифицировать задачу кодопреобразования: в форме ЛДДС, преобразующей входную последовательность в выходную, или в форме ЛДДС, осуществляющей умножение/деление ММ. Если рассматриваемая задача соответствует первому случаю, то продолжить выполнение алгоритма с п.1, если второму – с п.6 алгоритма.

1. Задать преобразуемый (входной) двоичный код в форме двоичной кодовой последовательности u(k) или модулярного многочлена u( x).

2. Задать выходной двоичный код в форме ДКП y(k) или ММ y( x).

3. Вычислить U (d) D-образ u(k) или u( x).

4. Вычислить Y (d) D-образ y(k) или y( x).

5. Сконструировать передаточную функцию (d) синтезируемой ЛДДС в форме (1.8) и перейти к выполнению п.7 алгоритма.

6. В случае конструирования ЛДДС, осуществляющую умножение ММ, вычислить ее передаточную функцию (d) в силу (1.17).

В случае конструирования ЛДДС, осуществляющую деление ММ, то вычислить ее передаточную функцию (d) в силу (1.18).

7. С помощью правила Мейсона некасающихся контуров построить структурные представления передаточной функции (d) в канонических структурных формах [25].

8. Сравнить реализации по векторному показателю сложности (ВПС) с компонентами, учитывающими число элементов памяти с передаточной функцией ЭП (d)= d, число элементов двухвходового суммирования по mod 2, число точек ветвления распространения сигналов, число ветвей.

9. Принять к реализации одну из структур (с меньшей нормой ВПС). Осуществить схемотехническую реализацию принятой версии ЛДДС.

Пример 1.1 (Пр1.1) В качестве примера рассматривается линейная ДДС, преобразующая входную единичную последовательность u(k)= 1(k) в периодическую периода T = 7, обеспечивающую размещение в регистре хранения информационных разрядов кода Хэмминга (7,4).

0. Выполним п.0 алгоритма 1.1, в соответствии с которым продолжим выполнение алгоритма с п.1.

1. Зададим преобразуемый (входной) двоичный код в форме двоичной кодовой последовательности u(k):

u(k)= 1( k) =1111111 2. В соответствии с расположением информационных разрядов в кодах Хэмминга (7,4) зададим выходной двоичный код в форме ДКП y(k):

y( k) = 1110100 1110100 1110100.

3. Используя прямое D-преобразование (П1.1), вычислим U (d) D-образ преобразуемой (входной) кодовой последовательности u(k) в результате чего получим:

U (d) =D{u(k)}=.

1 + d 4. Аналогично п.3 вычислим Y (d) D-образ выходной ДКП y(k):

2 1 + d + d + d Y (d) =D{y(k)}=.

1 + d5. Сконструируем передаточную функцию синтезируемой ЛДДС в форме (1.8) и перейдем к выполнению п.7 алгоритма.

2 4 3 4 Y(d) (1 + d + d + d )(1 + d) 1 + d + d + d (d)= = =.

U(d) 1 + d7 1 + d7. С помощью правила Мейсона некасающихся контуров построим структурные представления передаточной функции (d) в канонических структурных формах (рисунок 1.3, рисунок 1.4).

Рисунок 1.Рисунок 1.8. В соответствии с п.7 алгоритма при выбранной элементной базе технической реализации ДДС выполним сравнение полученных в п.7 модельных представлений ЛДДС по векторному показателю сложности, которое обнаруживает их идентичность.

Пример 1.2 (Пр1.2) Рассматривается задача конструирования линейной ДДС, осуществляющей деление произвольной входной ДКП (задаваемой в виде ММ u( x)) на неприводимый многочлен ( x)= x3 + x + 1 с учетом передачи ДКП старшим разрядом вперед.

0. Выполним п.0 алгоритма 1.1, в соответствии с которым продолжим выполнение алгоритма с п.6.

6. Сконструируем передаточную функцию синтезируемой ЛДДС в форме (1.17) с учетом передачи ДКП старшим разрядом вперед:

~ f (x-1)= x3(1 + x-2 + x-3);

~ 2 (d)=D{( x)}= (x-1) = 1+ d + d ;

x-1=d 1 (d)= (d)= 2 3.

1 + d + d 7. С помощью правила Мейсона некасающихся контуров построим структурные представления полученной передаточной функции (d) в канонических структурных формах (см.

рисунок 1.5, рисунок 1.6):

Рисунок 1.Рисунок 1.1.3. Векторно-матричное модельное представление линейных двоичных динамических систем, параметризованное дискретным временем Общесистемные тенденции к расширению банка модельных представлений динамических систем над бесконечными и конечными полями [3, 9, 15, 29] привели разработчиков теории систем к достаточно универсальной модельной среде (МС), которая опирается на триаду «вход–состояние–выход» (ВСВ). Применительно к двоичным динамическим системам модель ВСВ последних имеет вид ДДС : { u, x, y, k,, } (1.20) где u – r -мерный вектор входной последовательности; x – n -мерный вектор состояния ДДС; y – m -мерный вектор выходной последовательности; k – счетное множество моментов кодопреобразования, осуществляемого ДДС; – правило перехода ДДС из исходного состояния x(k) в состояние перехода x(k + 1) под действием вектора входной последовательности u(k); – правило выхода, описывающее процесс формирования элементов выходной последовательности y(k) на переходе из состояния x(k) под действием u(k) или как функции только состояния x(k).

Введем в рассмотрение следующее определение.

Определение 1.6 (О1.6). Каноническим представлением «вход– состояние–выход» произвольной двоичной динамической системы (1.20) называется ее представление в виде двух векторных выражений x(k + 1)= [ x(k), u(k)], (1.21) (1.22) y(k)= [x(k), u(k)].

Векторное модельное описание ВСВ (1.21), (1.22) произвольной ДДС имеет структурное представление, приведенное на рисунке 1.7.

x(k +1) x( k) y(k) ( x, u) ( x, u) Рисунок 1.7. Структурное представление произвольной ДДС На рисунке 1.7 ЭЗ – элемент задержки на один такт кодопреобразования образует блок памяти (БП); блоки ( x,u), ( x,u) образуют комбинационную схему (КСХ) произвольной ДДС.

Определение 1.7 (О1.7). Если правило перехода ( x,u) и правило выхода ( x,u) ДДС (1.21), (1.22) допускают представление в виде композиции линейных операций умножения матрицы на вектор и суммирования в рамках правил модулярной арифметики по модулю p = так, что (1.21) и (1.22) принимают вид x(k + 1)= A x(k)+ Bu(k), x(0); (1.23) y(k)= C x(k)+ H u(k), (1.24) то такая ДДС называется линейной. В (1.21), (1.22) A – (n n)– матрица состояния, B – (n r)–матрица входа, C – (n m)– матрица выхода, H – (m r)–матрица вход-выход ДДС, x(0) – начальное состояние ДДС.

Краткости ради представление (1.23), (1.24) ЛДДС будем называть ее ( A,B,C,H)–матричным представлением.

Линейное векторно-матричное представление (1.23), (1.24) двоичной динамической системы имеет структурный графический аналог, приведенный на рисунке 1.8. На рисунке 1.8 ЭЗ – элемент задержки, который образует БП ЛДДС, а блоки с матричными коэффициентами передачи B,A,C,H и сумматоры по модулю p = 2 образуют комбинационную схему линейной ДДС.

x(0) x(k +1) x( k) y(k) u ( k ) BC ЭЗ A H Рисунок 1.8. Структурное представление векторно-матричной модели (1.23), (1.24) ЛДДС Векторно-матричное представление (ВМП) (1.23), (1.24) линейной ДДС называется рекуррентным, наряду с которым существует и суммарное ВМП ЛДДС. Суммарное векторно-матричное представление линейной ДДС введем с помощью утверждения.

Утверждение 1.6 (У1.6). Суммарное векторно-матричное представление ЛДДС (1.23), (1.24) задается соотношениями k- x(k)= Ak x(0)+ Ak-1-iBu(i), (1.25) i=k -k-1-i y(k)= C Ak x(0)+ (1.26) CA Bu(i)+ u(k) i=Доказательство утверждения строится с использованием рекуррентного соотношения (1.23), которое для первых трех тактов позволяет записать x(1)= A x(0)+ Bu(0) ;

x(2)= A x(1)+ Bu(1)= A2x(0)+ ABu(0)+ Bu(1);

x(3)= A x(2)+ Bu(2)= A3x(0)+ A2Bu(0)+ ABu(1)+ Bu(2);

Полученная база индукции для любого момента k делает справедливым представление k- x(k)= Ak x(0)+ Ak-1-iBu(i), (1.27) i=Второе соотношение суммарной ВМП ЛДДС в форме (1.26) получается подстановкой (1.27) в (1.24).

Соотношение (1.27) допускает модификацию, обнаруживающую динамическое преимущество моделей ВСВ над моделями «входвыход», коими являются передаточные функции двоичных динамических систем. Модифицированное представление суммарной ДДС зададим с помощью утверждения.

Утверждение 1.7 (У1.7). Суммарная модель (1.27) процессов по вектору состояния линейной ДДС допускает представление x(k)= Ak x(0)= Wy (k)U (k), (1.28) где T U (k)= [uT (k - 1),uT (k - 2),,uT (1),uT (0)] (1.29) (1.30) Wy ( k) = [B AB Ak-1B], при этом U (k) именуется «вектором стратегии» перевода ЛДДС из начального состояния x(0) в желаемое состояние x(k) за k -тактов, а матрица Wy ( k) (1.30) именуется матрицей управляемости линейной двоичной динамической системы за k -тактов.

Доказательство утверждения строится на представления выражения (1.27) в форме x(k)+ Ak x(0)= Bu(k - 1)+ AB u(k - 2)+ A3Bu(k - 3)+ + Ak-2Bu(1)+ Ak-1Bu(0) (1.31) Выражение (1.31) путем введения агрегированных матрицы и вектора в правой части позволяет записать x(k)+ Ak x(0)= T = [B AB Ak -1B][uT ( k - 1),uT (k - 2),,uT (1),uT (0)] (1.32) Введение обозначений (1.29), (1.30) приводит (1.32) к виду (1.28).

Представление (1.28) позволяет сформулировать критерий управляемости линейной ДДС с индексом управляемости, равным k.

Утверждение 1.8 (У1.8). Для того чтобы линейная ДДС (1.23), (1.24) была полностью управляемой с индексом управляемости [29] равным k, то есть за k тактов линейная двоичная система могла быть переведена из любого начального состояния x(0) в любое конечное состояние необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие rank Wy (k) = n = dim x. (1.33) Доказательство утверждения строится на том, что выполнение равенства (1.33) является необходимым условием обратимости матрицы Wy( k), то есть существование Wy-1(k). Но если это так, то это условие становится достаточным для вычисления «вектора стратегии» управления U (k) на основе (1.28), записываемого в форме U (k)= Wy-1 (k)(x(k)+ Ak x(0)) (1.34) для любых x(k) и x(0).

Условие полной управляемости с индексом k < n = dim x является достаточно жестким, более мягкой формой является условие полной управляемости с индексом n = dim x, которое принимает вид. (1.35) rank Wy (n) = rank[B AB An-1B]= n = dim x Соотношение (1.35) является условием полной управляемости, то есть управляемости за n тактов, при этом используется обозначение Wy ( n) = Wy, где матрица (1.36) Wy =[B AB An-1B] именуется матрицей управляемости ЛДДС (1.23), (1.24).

По аналогии с (1.32) может быть сконструировано векторноматричное соотношение, позволяющее по результатам измерений на первых k тактах выходной последовательности y(k) и входной последовательности u(k) восстановить начальное состояние x(0) линейной ДДС.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.