WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 24 |

3.4. Построение эквивалентного линейного векторно-матричного представления НДДС на основе принципа агрегирования переменных булевых описаний Цель настоящего параграфа – решить задачу расширения модельного ряда гибридных ДДС построением эквивалентного линейного векторно-матричного представления НДДС. Решение этой задачи позволит конструировать ГДДС не как гибридную версию соответствующей НДДС в рамках тех же нелинейных представлений, а уже как гибридную версию этой ДДС в классе линейных моделей. В свою очередь это даст возможность использовать большой потенциал линейных векторно-матричных описаний для исследования ГДДС, который с позиции отношения «вход–состояние–выход» соответствующего модельного представления ДДС позволит, например, исследовать вопросы управляемости-наблюдаемости, структуры неподвижных состояний и замкнутых циклов.

Решение поставленной задачи в концептуальной постановке использует принцип агрегирования переменных булевых описаний НДДС. Рассмотрение предложенного подхода предварим формулировкой следующей гипотезы.

Гипотеза 3.2 (Г3.2). (О возможности построения эквивалентного линейного векторно-матричного представления НДДС). Возможность построения эквивалентного векторно-матричного представления НДДС обусловливается представимостью произвольной булевой функции над простым полем Галуа GF(2) композицией линейных операций, определяющих базис [17] (,, 1) Жегалкина, при этом следует заметить, что функция « » умножения двух переменных по модулю два совпадает с логической функцией «&» конъюнкции этих переменных.

В общесистемной постановке такой переход возможен в силу свойств модулярной арифметики над простым полем Галуа GF(2).

Справедливость положений гипотезы нетрудно обнаружить, если рассмотреть в общем виде представление полиномов Жегалкина, которые строятся на композиции линейных операций умножения (или операции конъюнкции «&») и суммирования по модулю два. Вопрос лишь в способе представления в таких полиномах булевых термов, представляющих собой конъюнкцию набора булевых переменных.

Задача приведения нелинейного (автоматного) представления ДДС (2.7) – (2.12) к линейному векторно-матричному виду состоит в получении описания функционирования исходной нелинейной ДДС в векторно-матричной форме (3.38) x(k + 1)= x(k)+ Bu(k);

y(k)= x(k)+ u(k), (3.39) где x(k) – вектор состояния, dim x = n' ; u( k) – вектор входной последовательности, dim u = r ; y(k) – вектор выходной последовательно сти, dim y = m; – матрица состояния, dim = n'n' ; B – матрица входов, dim B = n'r ; – матрица выходов, dim = m n' ; – матрица вход-выход УДА, при этом действия в описаниях (3.38), (3.39) осуществляются линейными операциями умножения матрицы на вектор и сложения по модулю p = 2.

Для очевидности предлагаемой методологии приведения автоматного представления ДДС (2.7) – (2.12) к линейному векторноматричному виду сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 3.2 (У3.2). Пара матриц (,B ) линейного векторноматричного описания (3.38), (3.39) ДДС размерности n задает булевы функции µi, i = 1,n возбуждения информационного входа соответствующих D–триггеров в форме (2.12).

Доказательство. Для доказательства утверждения выделим переменные состояния xi из выражения (3.38) векторно-матричного описания ДДС и сопоставим их с аналитическим представлением функции возбуждения информационного входа i триггера, которое для D– триггера имеет общий вид:

(k)= xi(k + 1), (3.40) d i где xi – переменная состояния D–триггера.

Выделим в общем виде переменную xi состояния ДДС в параметризированной дискретным временем форме n xi(k + 1)= an,i xi(k) bi u(k), (3.41) i= где an,i, bi – элементы матриц и B, соответствующие переменной xi векторно-матричного описания (3.38), (3.39). Здесь и далее по тексту (• )i – суммирование по модулю два элементов (• )i.

i Подставим в выражение для функции (3.40) возбуждения информационного входа i триггера значение переменной xi(k + 1) состояния из соотношения (3.41):

n (k)= xi(k + 1)= an,i xi(k) bi u(k). (3.42) d i i=Сопоставление выражения (3.42) с выражением (2.12) показывает справедливость положений, постулируемых утверждением.

Зафиксируем значения входных переменных, соответствующие условию переходов в ДДС. Очевидно, что для решения задачи необходимо свести аналитическое описание БФ возбуждения информационного входа i триггера, имеющее вид i<2n n j µ( x1,x2...xn )= &(x ), (3.43) j i=1 j=где (•i ) – дизъюнкция элементов (•i ), &(• ) – конъюнкция элеj j i j ментов (• ), а переменная x (здесь и далее по тексту) определяется j j следующим образом:

x, = j j j x =, (3.44) x, = j j j к линейному виду:

µ( x1,x2...xn )=0 i xi, (3.45) i где i – логическая константа, принимающая значение 0 или 1.

Свести представление (3.43) булевых функций возбуждения к виду (3.45) позволяют положения теоремы Т2.1 в силу представления (2.95) (см. §2.5):

n n f 2 f f ( x)= f (0) xi xi x j x=xi x=0 xix i=1 i, j=j i j m n f xi xi xim xi 1 xi 2 xim x = 0 1 i1,i2, im =n f x x x, 1 2 n x = x x x 1 2 n откуда видно, что в результате преобразования выражения (3.43) будем иметь линеаризованную булеву функцию, аргументы которой представляют собой сочетания переменных состояния в форме их произведения. Однако последнее обстоятельство не позволяет напрямую получить линейное векторно-матричное описание из системы полученных булевых функций. Решить эту проблему позволяют положения следующего утверждения.

Утверждение 3.3 (У3.3). Произвольная НДДС представима линейной версией с векторно-матричным описанием в форме (3.38), (3.39) агрегированием конъюнкций булевых переменных булевого описания ~ НДДС в форме полиномов Жегалкина в переменные x состояния, расширяющие исходный вектор x, dim x = n, состояния НДДС в форме (3.46) xT =[xT ~T ], x при этом матрица размерности dim = n n состояния имеет вид 2 - ai j : ai j C p, = = = row col ; j = 1,n, j = 1,n, = {0, 1}, p P, =[ P ] (3.47) где C p – «композиционное» произведение параметров p множест=ва P {p1, p2,, p}: pi {0,1},i = 1,, образующее по классическому n! m сочетательному закону = множество P' «композициCn m!(n - m)! онных» параметров в форме произведения параметров из множества P мощности =[ P ]; – коэффициент, значение которого принадлежит множеству {0, 1}, а агрегирование переменных x осуществляется с использованием следующей рекуррентной процедуры (3.48) – (3.53):

xi(k + 1)= fi(xi(k + 1))= a0 ai j x (k) ai n- j xn- j(k) j 2n -n-n ~ ai n xn(k) C x(k) == i, j = 1,n; a0,ai j, : f ( p1, p2,, p )= C p ;

=, = {0,1}, = 1, (3.48) n, ~ x(k)= arg C x(k) 0 = 1, ; = {~ 0} (3.49) x = n n ~ x(k + 1)= x(k + 1)= f(x(k + 1)) (3.50) =1 =xi(k + 1)= fi(xi(k + 1))= a0 a1 j x (k) a1n- j xn- j(k) j a1n xn(k) ~(k), i, j = 1,n (3.51) x =~ x(k + 1)= f(~ + 1))= a0 a1 j x (k) a1n- j xn- j(k) x(k j n 2n -n- a1n xn(k) C x(k), i, j = 1,n (3.52) ==n, ~ x(k)= arg C x(k) 0 = 1, - ; = {~ 0} x =(3.53) Доказательство. Из выражения (3.48) видно, что на каждом шаге выполнения рекуррентной процедуры формируются агрегированные ~ переменные x, представленные сочетаниями булевых переменных xi состояния ДДС в форме соответствующих конъюнкций. Начальный шаг рекурсии характеризуется мощностью алфавита = [~ ]= 2n - n - 1 (3.54) x всех возможных сочетаний булевых переменных xi без повторений, кроме случая, когда элемент сочетания представлен одной переменной.

Из выражения (3.53) видно, что на очередном шаге выполнения рекуррентной процедуры алфавит агрегированных переменных пополнится новыми сочетаниями из числа - оставшихся. В этой связи предельный переход при 2n - n - 1 дает = lim - = lim [(2n - n - 1)- ]= 0. (3.55) 2n -n-1 2n -n-пустое множество (3.54) всех оставшихся возможных сочетаний булевых переменных xi без повторений. Таким образом, рекуррентная процедура (3.48) – (3.53) всегда будет завершаться за конечное число шагов, число которых не превысит значения, определяемого выражением (3.54), а полученные агрегированные переменные образуют вектор (3.46) состояния, что в итоге позволяет по результатам рекурсии получить матрицу состояния линейной версии ДДС в форме (3.47).

Примечание 3.4 (ПМ3.4). Получаемое с использованием рекуррентной процедуры (3.48) – (3.53) векторно-матричное представление (3.38), (3.39) линейной версии НДДС размерности n по сути представляет собой векторно-матричное представление ГДДС с вектором со~ стояния (3.46), при этом агрегированные переменные xi, i = 0,n - n состояния синтезированной линейной ДДС являются так называемыми линейными эквивалентами переменных состояния исходной НДДС.

Примечание 3.5 (ПМ3.5). Появление агрегированных переменных ~ xi, i = 0,n - n состояния эквивалентной гибридной линейной ДДС при выполнении рекуррентной процедуры (3.48) – (3.53) опирается на то, что аналитическое представление в форме полиномов Жегалкина БФ возбуждения информационных входов триггеров НДДС в общем случае включает в себя компоненты, представляющие конъюнкцию нескольких переменных x ее состояния, так, что для таких БФ можно записать 2µi mµi nµi R =,,,.

xix j i, j=1,n xi1xi2 xim i1,i2, im =1,n x1x2 xn x=i j x=x= (3.56) Запись (3.56) означает, что для указанного случая множество R не является пустым, что, в свою очередь, с использованием аппарата селлерсовского дифференцирования может быть использовано при проверке соответствующих булевых описаний ГДДС на корректность их составления.

Примечание 3.6 (ПМ3.6). Следует заметить, что при конструировании эквивалентной гибридной ДДС нелинейной ДДС, построенной как ЦКУ или ЦДУ (см. §2.2), множество (3.56) будет пустым, то есть R =, что приведет при выполнении рекуррентной процедуры (3.48) – (3.53) и к пустому множеству {~} агрегированных переменx ных булевого описания эквивалентной гибридной ДДС. Очевидность приведенных положений проистекает из того, что булевы функции возбуждения информационных входов триггеров ЛДДС имеют вид полиномов Жегалкина, в которых отсутствуют термы, представляющие собой конъюнкцию переменных ее состояния.

Примечание 3.7 (ПМ3.7). В силу нелинейности среды кодопреобразования исходной НДДС, ее линейная версия в форме (3.38), (3.39) не всегда характеризуется свойствами полной управляемости и наблюдаемости.

Выдвинутые положения параграфа позволяют сформировать Алгоритм 3.5 (А3.5) конструирования эквивалентного линейного векторно-матричного представления НДДС на основе принципа агрегирования переменных булевых описаний 9. В соответствии с задачей кодопреобразования средствами НДДС получить путем выполнения п.п.1–6 алгоритма 2.1 или алгоритма 2.2 ее описание в форме системы булевых функций µ (2.12) возбуждения информационных входов триггеров и выхода, которые представить в базисе Жегалкина.

10. Выполнить рекуррентную процедуру (3.48) – (3.53) с целью формирования составного вектора x (3.46) состояния эквивалентной ЛДДС.

11. Построить покоординатное представление переменных вектора x( k + 1) состояния перехода эквивалентной ЛДДС.

12. Опираясь на результаты п.3 алгоритма сформировать матричные, B,, компоненты описания эквивалентной линейной ДДС.

Пример 3.5 (Пр3.5) Проиллюстрируем процесс построения линейной ДДС эквивалентной в смысле отношения «вход–выход» в некоторой задаче кодопреобразования, реализуемой заданной нелинейной ДДС, при помощи алгоритма 3.5.

Тогда следуя алгоритму 3.5:

1. Получим булево описание процесса кодопреобразования средствами НДДС в виде системы булевых функций µ (2.12) возбуждения информационных входов D-триггеров и выхода, имеющих представление µ1 = u x1x2 x1x2 u x1x2 ; µ2 = u x1 x1x2 u x1x2 ; y = x1x2, которые в базисе Жегалкина записываются в форме µ1 = x1 x2 u x2 ; µ2 = u x1 u x1 x1x2 ux1x2, y = x1x2.

2. Выполним рекуррентную процедуру (3.48) – (3.53), в результате ~ чего образуем агрегированную переменную x3 :

~ x3 = x1x2, которая совместно с переменными x1,x2 задает составной вектор x = [x1 x2 ~ T состояния конструируемой эквивалентной линейx3] ной ДДС.

3. Составим выражения для переменных x1(k + 1), x2(k + 1), ~ x3(k + 1) состояния перехода эквивалентной ЛДДС в покоординатной форме:

x1( k + 1)= x1 x2 u x2( k);

~ ~ x2( k + 1) = u x1( k) u x1( k) x3( k) u x3( k);

~ ~ ~ x3(k + 1)= x1(k) x3(k) u x3(k).

4. Опираясь на результаты п.3 алгоритма формируем матричные, B,, компоненты описания эквивалентной линейной ДДС, которые получают представления:

в виде четверки матриц { (u),B,, }, где 1 1 u (u) = 1 u 0 1 u, B( x) = 1, = [0 0 1], = [0 ];

1 0 1 u а так же в виде четверки матриц {,B( x),, }, где x2( k) 1 1 ~ = 1 0 1, B( x) = + x2( k)+ x3( k), = [0 0 1], = [0 ].

~ 1 0 x3( k) Проанализируем полученные результаты решения примера. Нелинейная природа исходной НДДС при построении эквивалентной линейной ДДС проявилась в параметризации матричных компонентов линейного представления правил перехода ( x, u) и выхода ( x, u) несмотря на расширение размерности вектора состояния эквивалентной ЛДДС. Тем не менее, отмеченная параметризация не лишает разработчика возможности анализировать с использованием линейного аналога НДДС ее структурные свойства: управляемость, наблюдаемость, а так же структуру неподвижных состояний и замкнутых циклов с привлечением возможностей матричного формализма. Заметим, что пара матриц (,B( x)) несмотря на то что матрица обладает рангом равным двум – меньшим размерности пространства эквивалентной ЛДДС, пара матриц является управляемой. Так, в случае нулевого наT чального состояния x(0)= [000 ] матрица управляемости этой пары матриц в указанной точке пространства состояния принимает вид T T T у =[B(0); B(0); 2B(0)]= row{[010 ],[100 ],[111] } и обладает рангом равным трем, то есть размерности пространства состояния эквивалентной ЛДДС. Таким образом, эквивалентная ЛДДС с помощью входного сигнала равного единице выводится из нулевого начального состояния. Аналогичным образом может быть исследована любая точка пространства эквивалентной ЛДДС на всех наборах переменных ее вектора состояния.

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.