WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 24 |

Определение 2.1 (О2.1). Частной производной Селлерса (ЧПС) 1-го порядка [1, 9, 17, 47, 65] булевой функции f ( x)= f (x1,x2,,xi, xn ) по булевой переменной xi называется булева f ( x), задаваемая выражением функция xi f ( x)= f (x1,x2,,xi, xn ) f (x1,x2,,xi, xn ). (2.67) xi Вычисление частной производной Селлерса от БФ f ( x)= f (x1,x2,,xi, xn ) по переменной xi может быть произведено несколькими способами.

Первый способ основан на определении ЧПС (2.67).

Второй способ использует метод карт Карно [47], в соответствии с которым строятся две карты Карно для булевых функций f (x1, x2,, xi, xn ) и f (x1, x2,, xi, xn ), которые суммируются по модулю два, что приводит к карте Карно для частной производной.

Этот способ позволяет получать минимальное представление ЧПС.

Третий способ использует разложение К. Шеннона [1], которое для (2.66) позволяет записать f ( x) = f (x1,x2,,xi-1,1,xi+1, xn) f (x1,x2,,xi-1,0,xi+1, xn). (2.68) xi Четвертый способ, в развитие третьего способа, использует представление БФ f (x1, x2,, xi, xn ) с помощью таблицы истинности, наборы переменных в которой представлены в форме, имеющей xi в качестве переменной младшего разряда набора. В этом случае смена значения с xi на xi, приводящая к смене значения БФ, свидетельствует о единичном значении ЧПС на этом наборе, а отсутствие смены значения БФ – о нулевом значении ЧПС. Следует заметить, что последний способ позволяет оценивать значимость переменной xi в БФ, определяемую весом ЧПС на всех наборах переменных.

Для вычисления частных производных Селлерса от БФ полезно использовать их свойства, которые могут быть установлены [1] непосредственно из определения.

Свойство 2.1 (СВ2.1). (Инвариантность ЧПС относительно инверсии) f f f f = = =. (2.69) xi xi xi xi Свойство 2.2 (СВ2.2). (Правило дифференцирования констант) 1 = = 0. (2.70) xi xi Свойство 2.3 (СВ2.3). («Тривиальные свойства» дифференцирования) xi xi xi xi = = = = 1. (2.71) xi xi xi xi Свойство 2.4 (СВ2.4). Если БФ f (x1,x2,,xi, xn ) представима в форме конъюнкции функций, одна из которых не зависит от xi:

f (x1,x2,,xi, xn )= = f1(x, j = 1,n, j i) f2( x1,x2,,xi, xn )= f1(x) f2(x), j то f ( x) { f1( x)f2( x)} = = f1( x) f2( x). (2.72) xi xi xi Свойство 2.5 (СВ2.5). Если БФ f ( x) представима в виде конъюнкции БФ 1( x) и 2( x):

f ( x) = 1( x) ( x), то f ( x) 1( x) ( x)1( x) ( x) 1( x) 2( x). (2.73) = xi xi 2 xi xi xi Свойство 2.6 (СВ2.6). Если БФ f ( x) представима в виде дизъюнкции БФ 1( x) и 2( x):

f ( x) = 1( x) ( x), (2.74) то f ( x) 1( x) ( x)1( x) ( x) 1( x) 2( x). (2.75) = xi xi 2 xi xi xi Свойство 2.7 (СВ2.7). Если БФ f ( x) представима в виде суммы по модулю два БФ 1( x) и 2( x):

f ( x) = 1( x) ( x), то f ( x) 1( x) 2( x).

= (2.76) xi xi xi Свойство 2.8 (СВ2.8). Если БФ f ( x) представима в форме конъюнкции ее переменных:

n f ( x) = x, (2.77) &1 j j = то n f ( x) = x (2.78) &1.

xi j = j j i Свойство 2.9 (СВ2.9). Если БФ f ( x) представима в форме дизъюнкции ее переменных:

n f ( x) = x, (2.79) j j =то n f ( x) = x (2.80) &1.

xi j = j j i Свойство 2.10 (СВ2.10). Если f ( x) является сложной БФ, задаваемой в форме f ( x) = f ( x, ( x) ), (2.81) то f ( x) = f (x1, x2,, xi, xn, (x1, x2,, xi, xn )) xi f (x1, x2,, xi, xn, (x1, x2,, xi, xn )). (2.82) Рассмотрим далее понятие частных смешанных производных Селлерса высокого порядка БФ и их свойства.

Определение 2.2 (О2.2). Двукратной смешанной производной Селлерса булевой функции f ( x)= f (x1, x2,, xi,, x,, xn) от n булевых j переменных называется БФ, задаваемая [9, 17] выражением 2 f ( x) 2 f ( x) f ( x) f ( x). (2.83) = = = x xi x xi xi x x xi j j j j Определение 2.3 (О2.3). m-кратной смешанной производной Селлерса по m переменным xi1, xi2,, xim булевой функции f ( x)= f (x1,,xi1,,xi2,,xim,,xn) называется БФ, задаваемая [9, 17] выражением m f ( x) ( f x) = = xi1xi2 xim xi1 xi2 xim ( f x). (2.84) = xim xi(m-1) xi Введем в рассмотрение еще одну m-кратную производную по вектору из m элементов.

Свойство 2.11 (СВ2.11). (Равенство нулю частной селлерсовской производной порядка k > 1 произвольной БФ) k f ( x) = 0. (2.85) xik k > Доказательство. Свойство является следствием определения О2.1, примененного к булевой функции типа ЧПС первого порядка от исходной БФ по той же переменной.

m f ( x) Определение 2.4 (О2.4). Производная m-го порядка (xi1xi2 xim ) от булевой функции f ( x)= f (x1,x2,,xn) по кортежу переменных (xi1xi2 xim) определяет условия, при которых функция f ( x) изменяет свое значение при одновременном изменении значений переменных кортежа.

Для вычисления введенной с помощью О2.4 производной воспользуемся теоремой Д. Бохманна, доказательство которой можно найти в [9].

Теорема Д. Бохманна. (Теорема Т.2.1).

m f ( x) Производная по кортежу (xi1xi2 xim) от скалярной (xi1xi2 xim ) булевой функции f ( x)= f (x1,x2,,xn) представима суммой по модулю два всех ее переменных порядка k от 1 до n:

m m f ( x) f 2 f = x (xi1xi2 xim) xiµxj µ=1 i, j iµ iµ j 3 f m f. (2.86) xiµxj xl xi1xi2 xim i, j,l iµ j l Сформулированную задачу решим в нескольких постановках. В первой постановке контроль корректности булевых описаний с помощью аппарата частных производных Селлерса 1-го порядка осуществим инвариантным относительно его конкретного использования способом с помощью веса ЧПС на всех наборах переменных. В этой постановке задача решается использованием следующих определений и утверждений.

Определение 2.5 (О2.5). Весом P f ( x) частной производной xi f ( x) Селлерса 1-го порядка от булевой функции f ( x) по переменxi ной xi называется сумма значений БФ f ( x) на всех 2n наборах xi {x} булевых переменных x = row{xi,i = 1,n}:

n P f ( x) = f ( x). (2.87) xi =xi { x} Введенное определение позволяет на основе свойств частной производной Селлерса (ЧПС) 1-го порядка сформулировать следующее утверждение.

Утверждение 2.6 (У2.6). Если вес ЧПС f ( x) на всех 2n набоxi рах x = row{xi,i = 1,n} равен нулю так, что P f ( x) = 0, (2.88) xi то в дизъюнктивной форме представления булевой функции f ( x) происходит полное «склеивание» по переменной xi.

Доказательство утверждения строится на том, что f ( x) P f ( x) = 0 означает, что = 0 на всех наборах переменных, xi xi в том числе и на тех µ наборах, где f ( x) принимает единичное значение так, что для этих наборов становится в силу (2.67) справедлива запись:

f (x1,x2,,xi, xn )= 1; f (x1,x2,,xi, xn )= 1. (2.89) Тогда (2.89) позволяет для дизъюнктивной нормальной формы БФ f ( x) записать µ µ n n j j f ( x) = x ( xi xi ) = x, (2.90) & j & j l =1 j =1 l = 1 j = j i j i j j где x = x при = 0 и x = x при = 1.

j j j j f ( x) на всех 2n наборах Утверждение 2.7 (У2.7). Если вес ЧПС xi переменных x = row{xi,i = 1,n} равен 2n так, что P f ( x) = 2n, (2.91) xi то при конструировании множества пар наборов булевых переменных полной мощности равной 2n-1, на которых эта БФ меняет свое значение, не найдется такой пары, на которой эта БФ сохраняет свое значение.

Доказательство утверждения содержит в себе определение ЧПС f ( x), которое фиксирует изменение значения БФ f ( x) при изменеxi нии переменной xi на ее инверсию xi, что соответствует своей паре наборов булевых переменных.

f ( x) на всех 2n Утверждение 2.8 (У2.8). Вес P f ( x) ЧПС xi xi наборах переменных в простом поле Галуа GF(2) всегда представляет собой величину кратную двум.

Доказательство утверждения строится на том факте, что для каж дого набора переменных вес P f ( x) может принимать значение xi нуль или единица, а любая смена значения функции f ( x) всегда подразумевает два набора переменных, на которых БФ f ( x) переключается по схеме 0 1 и 1 0, а, следовательно, исключительно на кото рых P f ( x) = 1.

xi Следствие 2.1 (С2.1) из У2.7 и У2.8.

Вес P f ( x), i = 1,n, позволяет проранжировать переменные xi xi, i = 1,n по степени их значимости в булевой функции f ( x), при этом, чем больше значение веса P f ( x), i = 1,n, тем значимее xi переменная xi.

Вторая постановка задачи предполагает «встроенность» булевых функций в структуру аналитического описания комбинационной схемы (КСХ) УДА. Здесь основными БФ являются булевы функции возбуждения входов используемых триггеров и булевы функции формирования выхода процесса кодопреобразования в УДА. Причем задачу в этой постановке решим с использованием канонических автоматных представлений и ГСА-описаний функционирования УДА.

Выполнить контроль корректности составления ГСА-описания функционирования НДДС на фазе перехода от «вербальной» версии ГСА к ее формальной версии позволяют положения У2.6 и У2.7. Здесь оказываются полезными положения следующего утверждения.

Утверждение 2.9 (У2.9). Пусть fms( x) – БФ перехода от операторной вершины Ym к операторной вершине Ys, тогда fms( x) оказывается составленной корректно, если ни по одной из переменных xi на наборах, на которых эта функция принимает единичное значение, fms( x), i = 1,n не принимает нулевое производная этой функции xi значение, то есть fms( x) 0, i = 1,n. (2.92) xi Доказательство утверждения не приводится в силу того, что данное утверждение можно рассматривать как следствие из У2.7 применительно к формальной версии ГСА-описаний НДДС.

Как уже упоминалось выше, в общем случае произвольная НДДС включает в свой состав БФ, реализующие правило µ (2.12) формирования сигнала возбуждения информационных входов триггеров, а также БФ, реализующие правило (2.8), (2.9) формирования выхода.

Таким образом, применив к (2.8), (2.9), (2.12) аппарат частных производных Селлерса 1-го порядка, получим оценки структурных свойств НДДС в форме детектируемости и достижимости, описываемых каноническими конечными автоматами.

Утверждение 2.10 (У2.10). Состояние Sl НДДС с кодом состояния к{Sl}= row{x, j = 1,n} является недетектируемым по переменной j xi относительно -го компонента выхода НДДС если ЧПС от -го компонента функции выхода (2.16) по этой переменной удовлетворяет условию ( x) = 0. (2.93) xi x=к Sl { } Доказательство утверждения использует содержательное определение ЧПС 1-го порядка.

Очевидно, становится справедливым положение следующего утверждения.

Утверждение 2.11 (У2.11). Переменная xi кодов состояния НДДС оказывается полностью недетектируемой относительно -го ком ( x) понента выхода НДДС, если по выходу Sl вес ЧПС P = 0 на xi всех 2n наборах переменных x = row{x, j = 1,n}.

j Доказательство утверждения опирается на положения У2.7 и содержательную часть У2.10 о детектируемости состояний конечного автомата.

Утверждение 2.12 (У2.12). Состояние Sl УДАТ с кодом состояния к{Sl}= row{x, j = 1,n} является недостижимым по входной переменj ной uv,v = 1,r, если ЧПС от функции возбуждения (2.12) для этого состояния удовлетворяет условию ~ ~ µ ( x,u); j = 1,n = 0. (2.94) µ( x,u) j = col uv x=к Sl uv { } Доказательство. Справедливость положений утверждения обнаруживают свойства ЧПС 1-го порядка и аналитическое представление функции возбуждения триггеров.

Примечание 2.4 (ПМ2.4). Нетрудно видеть, что У2.12 содержит в себе потенциал развития мысли в направлении введения понятия полной недостижимости состояния Sl, когда условие (2.94) выполняется для всех v = 1,r входных переменных u.

Примечание 2.5 (ПМ2.5). Положения У2.11 являются эффективным средством контроля булевого описаний НДДС на предмет достижимости неопределенных описанием НДДС состояний. Такая ситуация имеет место в НДДС, если при ее заданном функционировании используются не все кодовые комбинации вектора x ее состояния размерности dim x = n при мощности 2n полного их множества.

Воспользуемся теперь смешанными производными Селлерса для разложения булевой функции в заданной точке пространства над двоичным полем Галуа GF(2). Конструктивный результат решения этой задачи содержится в теореме Горбатова В. А. [17, теорема 2.3].

Теорема В. А. Горбатова (Теорема Т2.1) Любая булева функция f ( x)= f (x1, x2,, xn) представима своим значением в точке x = (00 0) и значениями всех 2 n f f f ее производных,,, в этой точке в виде xi xi 1 xi 2 x1 x2 xn n n f 2 f f ( x) = f (0) xi xi x j xi xix i=1 i, j=j x=0 x=i j m n f xi 1 xi 2 xim xi 1 xi 2 xim i1,i2, im =x = n f x x x. (2.95) 1 2 n x x x 1 2 n x = где i1,i2, im (1,n) и попарно не равны друг другу, – сложение по модулю два.

В заключение необходимо сделать примечание к разложению (2.95) произвольной булевой функции f ( x). Очевидно, что число членов разложения в (2.95) определяет степень близости f ( x) к ее линейной версии, а произведение числа членов разложения на размерность блока памяти определяет функционал размещения данной задачи кодопреобразования в диаде «комбинационная схема – блок памяти».

Полученные результаты исследований позволяют предложить следующий алгоритм контроля булевого описаний нелинейных ДДС дискретной автоматики.

Алгоритм 2.10 (А2.10) контроля булевого описаний НДДС дискретной автоматики в фазе их аналитического конструирования 1. Выполнить в зависимости от формального описания НДДС: в случае ГСА-описаний при контроле корректности ее составленной в силу У2.9 – п.п. 1–5 А2.2,а затем – п.п. 2–6 А2.1; в случае использования канонического автоматного синтеза – п.п. 1–А2.1.

2. Проверить с использованием положений У2.6, У2.7 и У2.8 факт избыточности переменных булевого описаний БФ, задающих функции µ (2.12) возбуждения информационных входов триггеров, и в случае обнаружения такового выполнить соответствующее приведение этих переменных.

3. Проверить с использованием положений У2.6, У2.7 и У2.8 факт избыточности переменных булевого описаний БФ, задающих функцию y (2.11) выхода НДДС, и в случае обнаружения такового выполнить соответствующее приведение этих переменных.

4. Выполнить с использованием положений У2.10 и У2.12 контроль постановочного описания в форме диаграмм переходов и выхода (ДПВ) или ГСА нелинейной ДДС с полученным его аналитическим представлением, определяемым соответствующими БФ.

5. Выполнить п.6 А2.1.

Примечание 2.6 (ПМ2.6). Следует заметить, что предложенный алгоритм контроля булевого описаний НДДС достаточно просто реализуем в программной среде, что позволит разработчикам существенно сэкономить время при разработке НДДС.

Для иллюстрации приведенных положений рассмотрим два примера, в первом из которых рассмотрим использования аппарата селлерсовского дифференцирования применительно к произвольным БФ.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.