WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 24 |

Наложим на неравенства (1.212), определяющие возможные по ~ длине T циклы на множестве ненулевых состояний x мощности ~ [~]= N = 2n - 1, неравенства, оценивающие возможные показатели µ, x которым могут принадлежать (n n)-матрица состояния ЛДДС и ее характеристический полином D() n µ 2n - 1. (1.213) В результате этого наложения, а также с использованием положений У1.39 и У1.40 можно предложить следующий алгоритм анализа структуры замкнутых циклов линейных ДДС (1.186), (1.187), которому придадим номер 1.10.

Алгоритм 1.10 (А1.10) 6. Построить векторно-матричное представление линейной двоичной динамической системы в форме (1.183), (1.184).

7. Перейти от представления ЛДДС (1.183), (1.184) к ее представлению в форме (1.186), (1.187), положив в (1.183), (1.184) u(k)= 0.

8. Вычислить характеристический полином D() матрицы A состояния ЛДДС в силу соотношения D()= det(I + A).

9. Определить показатель µ которому принадлежит характеристический полином D() и матрица A состояния ЛДДС с использованием таблиц полиномов, принадлежащих конкретному µ или возведением матрицы A в степень над полем Галуа GF(2) до момента выполнения равенства Aµ = I.

10. Проанализировать полученное значение µ : если µ = 2n - 1, то осуществить переход к п.11 алгоритма, в противном случае – к п.6 алгоритма.

11. Найти корни характеристического полинома D(), после чего его записать в форме D()= g()(n j + 1), (1.214) j=где g() – неприводимый модулярный многочлен, n1 = 1 < n2 < < n < n < < n (1.215) j j+ deg D()= n = deg g()+ (1.216) n j j=12. Вычислить величину r, определяющую сумму размерностей ядер матриц ( I + An j ) в силу соотношений 2n - 1 = nµ µ + r, (1.217) где nµ – число циклов длины T = µ.

13. Вычислить размерности rj ядер Ker(I + An j) матриц I + An j, определяющих число собственных векторов матриц An j, а, следовательно, длину Tj = rj соответствующих им замкнутых циклов.

14. Вычислить собственные векторы матриц An j.

f j 15. Определить состав и очередность изменения состояний в замкнутых циклах длиной Tj = rj, порожденных собственными векторами матриц An j, используя для этого представление f j циклов в форме (1.209).

16. Определить состав и очередность изменения состояний в замкнутых циклах длиной Tµ = µ, порожденных фактом принадлежности матрицы A состояния ЛДДС показателю µ, используя представление циклов в форме (1.209), в котором за исходное ~ состояние x(k) цикла взять любое состояние множества x, не принадлежащее циклам, сформированным в п.10.

17. Сформировать структуру замкнутых циклов и неподвижных состояний линейной ДДС (1.186), (1.187) (при u(k) 0 ) путем объединения циклов в п.п. 10 и 11, дополнив их нулевым неподвижным состоянием.

Пример 1.10 (Пр1.10) (Продолжение) 1. Выполним п.п.1–3 А1.10, в результате чего ЛДДС будет иметь матрицу A состояния и характеристический полином D()= det(I + A) 0 1 A = 0 0 1 ; D()= 3 + 2 + + 1; n = 1 1 4. Путем возведения матрицы A в степень получим 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 A2 = A A = 1 1 1 ; A4 = A2 A2 = 1 1 1 1 1 1 = 0 1 0, 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 что показатель µ, которому принадлежит матрица A, равен четырем ( µ = 4 ) 5. Анализ значения µ обнаруживает, что µ = 4 < 2n - 1 = 23 - 1 = 8 - 1 = 7 ;

в результате чего необходимо перейти к п.6 А1.10.

6. Выполнение п.6 алгоритма дает 1 = 2 = 3 = 1 и D() представим в форме D()= 3 + 2 + + 1 = (2 + 1)( + 1), где g() = 1;n1 = 1;n2 = 2.

7. Выполнение п.7 алгоритма дает 2n -1 = 7 = 14 + 3 так, что в структуре пространства матрицы A состояния ЛДДС имеется один замкнутый цикл длиной T = µ = 4.

8. Вычисление размерности rj ядер матриц 1 1 0 1 0 (I + An1)=( I + A)= 0 1 1 и (I + An2)=(I + A2)= 1 0 1 1 0 1 0 дает r1 = 1 и r2 = 2.

9. Вычисление собственных векторов матриц An j приводит к результату { }= arg{An1 = }= arg{A = }= f 1 f 1 f 0 1 0 = arg 0 0 1 = = 1 1 1 10. Определение состава циклов, порожденных собственными векторами матриц An j дает два цикла, представляющих собой набор векторов 1 1 { }= 1, { }= 0, f 2 f 1 1 11. Определение состава и очередность смены состояния ЛДДС в замкнутом цикле длины Tµ = µ = 4, порожденным фактом принадлежности матрицы A показателю µ = 4, если за x(k) приT нять x(k) = [0 0 1], не принадлежащий, и восполь{ } { } f 1 f зоваться (1.208), дает замкнутый цикл 0 0 1 1 0, 1, 1, 0, 1 1 0 0 12. Полная структура замкнутых циклов и неподвижных состояний при u(k) 0 принимает вид (рисунок 1.23).

Рисунок 1.23. Структура замкнутых циклов и неподвижных состояний ЛДДС Рассмотрим теперь структуру замкнутых циклов линейной ДДС при u(k)= 1. Описание ЛДДС для этого случая задается представлениями (1.183), (1.184), в которых следует положить u(k)= 1 так, что получим:

в рекуррентной форме x(k + 1)= Ax(k)+ B ; x(0) (1.218) и в суммарной форме x(k + 1)= Ak x(0)+ Ak-1B + Ak-2B + + AB + B; x(0). (1.219) Следует заметить, что введенное с помощью О1.13 определение замкнутого цикла длинной T сохраняется, однако структура этих циклов не только зависит от показателя µ, которому принадлежит матрица A, структуры собственных векторов степенных матричных { } f функций f ( A)= Aq от (n n)-матрицы A состояния ЛДДС, но и от матрицы B. Последняя может принадлежать пространству столбцов матрицы A, то есть ее образу B Jm A, (1.220) тогда пара матриц ( A,B) оказывается не полностью управляемой, простейший случай такой ситуации является случай, когда матрица B является собственным вектором матрицы A.

В этой связи сформулируем утверждение.

Утверждение 1.41 (У1.41). Если матрица B векторноматричного описания ЛДДС является собственным вектором матрицы A, то ЛДДС с такой парой матриц ( A,B) не является полностью управляемой, при этом размерность подпространства управляемости равна единице.

Доказательство. Тот факт, что матрица B суть собственный вектор матрицы A состояния ЛДДС над простым полем Галуа GF(2), позволяет записать A B = B. (1.221) Составим матрицу управляемости пары ( A,B) (1.222) Wу( A,B)=[B A B A2 B An-1 B].

Для элементов Wу( A,B) можно записать AB = B ; A2 B = AB = B,,An-1 B = A(An-2 B)= = B.

Подстановка полученных матричных равенств в (1.222) дает для матрицы управляемости.

rankWу( A,B)= rank[B B B B]= rank B = 1 < n Следует заметить, что рекуррентная форма (1.218) представления ЛДДС при u(k)= 1 содержит конструктивный алгоритм формирования структуры замкнутых циклов путем простого суммирования состояния перехода с матрицей B, так что в цикле происходит аддитивный сдвиг на векторный компонент B. Однако это впечатление обманчиво.

Структура замкнутых циклов может измениться так, что в них могут полностью исчезнуть неподвижные состояния. Напомним, что выше было доказано, что при u(k)= 1 нулевое состояние перестает быть неподвижным, а ненулевое неподвижное состояние существует, когда матрица ( I + A) обратима или когда матрица B принадлежит ее образу. Но возможны ситуации, когда ни одно из этих условий не выполняется. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 1.11 (Пр1.11) Рассмотрим ЛДДС с матрицей A состояния из Пр1.9 в сочетании с двумя версиями матрицы входа B :

1 B1 = 1, B2 = 0.

1 Для поиска ненулевого неподвижного состояния x(k): x(k + 1)= x(k) в силу (1.198) сконструируем матрицу 0 1 0 1 0 0 1 1 ( A + I)= 0 0 1 + 0 1 0 = 0 1 1.

1 1 1 0 0 1 1 1 Ранг матрицы ( A + I) меньше n = 3, действительно 1 1 rank( A + I)= rank 0 1 1 = 2.

1 1 Матрица ( A + I) является необратимой, а потому использование соотношения (1.197) для поиска ненулевого неподвижного состояния оказывается некорректным. Однако проверим принадлежат ли матрицы B1 и B2 в силу (1.198) ( A + I) x(k)= B образу ( A + I). Для первой версии матрицы B = B1 имеет место соотношение 1 1 0 0 1 1 x(k)= 1, 1 1 0 откуда следует B1 Jm ( A + I), при этом неподвижных состояний два T T x(k)= [0 1 0] и x(k)= [1 0 1].

Для второй версии имеем 1 1 0 0 1 1 x(k)= 0, 1 1 0 откуда следует B2 Jm ( A + I), а следовательно ЛДДС с парой матриц ( A,B2 ) при u(k)= 1 не имеет ненулевых неподвижных состояний, как следствие следует ожидать объединения «коротких» замкнутых циклов. На рисунке 1.24 приведена структура циклов ЛДДС с парой матриц ( A,B1), построенная в силу (1.217).

Рисунок 1.24. Структура циклов ЛДДС с парой матриц ( A,B1) Следует заметить, что пара ( A,B1) не является полностью управT ляемой, так как матрица B1 = [1 1 1] является собственным вектором матрицы A. В результате ранг Wу( A,B1) равен единице, а управ ляемое подпространство натянуто на вектор x = B1. Если ЛДДС нахоT дится в нулевом начальном состоянии x(0)= [0 0 0], то никакими u(k) нельзя ЛДДС вывести из подпространства, натянутого на состояT T ния x = [0 0 0] и x = [1 1 1].

На рисунке 1.25 приведена структура циклов ЛДДС с парой матриц ( A,B2 ) – полностью управляемой, так как 0 0 rankWу( A,B2 )= rank 0 1 1 = 3 = n 1 1 Рисунок 1.25. Структура циклов ЛДДС с парой матриц ( A,B2 ) Неподвижные состояния в случае u(k)= 1 в ЛДДС с парой матриц ( A,B2 ) «исчезли», структура пространства состояний распалась на два замкнутых цикла длиной T = µ = 4. В силу полной управляемости пары ( A,B2 ) существует последовательность u(k), которая позволяет обойти все состояния ЛДДС. Примером такой последовательности является u(k)= 110 1110 1 110 1110 1...

В заключение следует остановиться на проблеме вычисления состояния, из которого ЛДДС переходит в нулевое состояние. Нетрудно видеть, если в левой части (1.218) положить для состояния перехода x(k + 1) 0, то x(k), из которого происходит под действием u(k) переход в нулевое состояние, определится выражением x(k)= A-1B. (1.223) Оценка состояния (1.223) особенно важна в задачах помехозащитного декодирования.

Следует также заметить, что структура замкнутых циклов претерпевает минимальную модификацию для случая, когда матрица A состояния ЛДДС принадлежит показателю µ = 2n -1. В этом случае нулевое состояние перестает быть неподвижным, существует единственное ненулевое неподвижное состояние x(k)= ( A + I)-1 B и единственный замкнутый цикл длиной T = 2n - 1. Пара матриц ( A,B) при любой реализации матрицы B является управляемой так как матрица A с неприводимым характеристическим полиномом D()= det(I + A) не имеет над GF(2) собственных векторов.

В заключение приведем в форме таблицы 1.3 результаты исследования всех 28 возможных вариантов реализаций пар ( A,B) матриц, задающих соответствующие ЛДДС при размерности dim x вектора x их состояния равной трем, что является широко распространенным случаем конструирования ДДС. Для компактности записи в таблицах использованы представления матриц, циклов, последовательностей в виде их десятичных эквивалентов, причем величина периодичности представлена скобочной записью с указанием длительности периода в виде нижнего индекса у правой скобки.

Таблица 1.Матрица BT Матрица Показатель Характеристика µ AT 1 2 3 4 5 6 [2, 1, 4] 3 3 2 3 2 2 1 Ранг матрицы [2, 1, 6] 3 3 3 3 2 3 3 управляемости [2, 1, 5] 3 3 3 3 3 3 3 [2, 1, 7] 3 2 3 3 2 3 1 [2, 1, 4] (175)8 (175)8 – (175)8 – – – Управляющая по- [2, 1, 6] (207)8 (207)8 (207)8 (207)8 – (207)8 (207)8 следовательность [2, 1, 5] (243)8 (243)8 (243)8 (243)8 (243)8 (243)8 (243)8 [2, 1, 7] (221)8 – (221)8 (221)8 – (221)8 – [2, 1, 4] (1, 2, 4)3, (3, 6, 5)3 [2, 1, 6] (1, 2, 5, 3, 7, 6, 4)7 Замкнутые циклы [2, 1, 5] (1, 3, 7, 6, 5, 2, 4)7 [2, 1, 7] (2, 5)2, (1, 3, 6, 4)4 [2, 1, 4] (0), (7) Неподвижные [2, 1, 6] (0) состояния [2, 1, 5] (0) [2, 1, 7] (0), (7) Таблица 1.3 (продолжение) Матрица BT Матрица Показатель Характеристика µ AT 1 2 3 4 5 6 (0,1,3,7, (0,2,6,7, (0,3,5)3, (0,4,5,7, (0,5,6)3, (0,6,3)3, (1,5,4,6, [2, 1, 4] 6,4)6, 5,0)6, (2,7,4)3, 3,2)6, (1,7,2)3, (1,4,7)3, 2,3)6, (2,5)2 (3,4)2 (1)1, (6)1 (1,6)2 (3)1, (4)1 (2)1, (5)1 (0,7)(0,1,3,6, (0,2,7,4, (0,3,4,2, (0,2,7,4, (0,5,6,1, (0,6,2,3, (0,7,1,5, Сепаратные управ[2, 1, 6] 5,4,2)7, 3,5,1)7, 6,7,5)7, 3,5,0)7, 7,3,2)7, 1,4,7)7, 4,6,3)7, ляемые состояния (7)1 (6)1 (1)1 (6)1 (4)1 (5)1 (2)и циклы (0,1,2,5, (0,2,6,7, (0,3,4,2, (0,4,5,6, (0,5,7,3, (0,6,3,1, (0,7,1,4, (при u(k)=1(k) ) [2, 1, 5] 3,6,4)7, 4,3,5)7, 7,5,1)7, 1,7,2)7, 2,1,6)7, 5,4,7)7, 6,2,3)7, (7)1 (1)1 (6)1 (3)1 (4)1 (2)1 (5)(0,1,2,4)4, (1)1, (6)1, (0,3,5,1)4, (0,4,5,6)4, (3)1, (4)1, (0,6,2,3)4, (2)1, (5)1, [2, 1, 7] (3,7,6,5)4 (0,2,7,5)4 (2,6,7,4)4 (1,7,3,2)4 (1,6)2, (1,5,4,7)4 (0,7)2, (0,5,7,2)4 (1,4,6,3)Примечания.

1. Матрица AT представлена построчно: в таблице указаны десятичные эквиваленты строк матрицы.

2. Матрица BT представлена десятичным эквивалентом ее столбца.

3. Запись вида (•) означает цикл длины () с последовательностью кодов состояния (•), каждый из которых задан в десятичном эквиваленте.

1.8. Линейные двоичные динамических системы в задачах дивидендного помехозащитного кодирования Дивидендное представление процессов помехозащитного кодопреобразования в фазе кодирования и декодирования использует векторно-матричное описание, параметризованное дискретным временем k этих процессов в форме линейных двоичных динамических систем, опирающиеся на модели «вход-состояние» (ВС) вида (1.23), (1.25) x(k + 1)= A x(k)+ Bu(k), x(0) 0, (1.224) k -1 k - x(k)= Ak x(0)+ Ak -1-iBu(i) = Ak -1-iBu(i). (1.225) i=0 i=x( 0)Форма модели ВС (1.224), как указано в параграфе 1.2, именуется рекуррентной формой, форма (1.225) – суммарной. В (1.224), (1.225) x(k) – вектор состояния ЛДДС, осуществляющей помехозащитное кодопреобразование; u(k) – входная кодовая последовательность;

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 24 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.