WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 34 |

II. Обратно. Пусть координаты дублетов ab и cd в репере R пропорциональны, то есть имеет место равенство (9). Равносильное ему равенство (8) означает коллинеарность точек K и H, а, следовательно, и коллинеарность дублетов ab и cd. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Дублеты эквиполлентны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в одном и том же репере равны.

Доказательство.

I. Если ab cd, то по определению ab || cd и ac || bd. Согласно предыдущей теореме имеют место пропорции (9) и c1 a1 d1 b- c3 a3 d3 b=, (10) c2 a2 d2 b- c3 a3 d3 bравносильные соответственно равенствам b d a d b c a c a d a c b d b c 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 - - + + - - + = 0, (11) b d a d b c a c a d a c b d b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 c1 d2 a1 d2 b2 c1 a1 b2 c2 d2 a2 d1 c2 d1 a2 b- - + - + + - = 0. (12) c3 d3 a3 d3 b3 c3 a3 b3 c3 d3 a3 d3 c3 d3 a3 bСкладывая равенства (11), (12) и группируя слагаемые левой части, получим d a b a d c a d b a d c 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 - - - + + - - - + = 0. (13) d a b a d c a d b a d c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Вычтем равенство (12) из равенства (11). После соответствующей группировки слагаемых имеем условие:

с2 b2 b1 a1 d1 c1 b1 c1 b2 a2 d2 c - - - + + - - - + = 0.

c3 b3 b3 a3 d3 c3 b3 c3 b3 a3 d3 c3 (14) Систему условий (13), (14) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно переменных bj a d c j j j x = - - +, j = 1,2.

j b3 a3 d3 cПредположим, что определитель этой системы равен нулю, то есть справедливо равенство отношений c1 b1 d1 a- c3 b3 d3 a=.

c2 b2 d a1 (15) - c3 b3 d3 a bc ad По теореме 1 условие (15) означает коллинеарность дублетов и.

Покажем, что последнее невозможно.

Пусть Q и Т – точки пересечения прямых b, c и a, d соответственно (рис.

P ab|| cd 7), тогда в силу условий и a ac|| bd точки P, Q, Т являются Т b диагональными для полного Q четырёхвершинника [2, стр. 42]:

c (a I b)(c I d)(a I c)(b I d) d.

Следовательно, эти точки не лежат bc на одной прямой, то есть дублеты Рис. ad и не коллинеарны.

Итак, определитель системы линейных однородных уравнений (13), (14) отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение:

b1 a1 d1 c1 b2 a2 d2 c- - + = 0, - - + = 0.

(16) b3 a3 d3 c3 b3 a3 d3 cРавенства (16) означают, что соответствующие координаты дублетов ab cd и равны.

II. Обратно. Непосредственно из равенств (16) следуют пропорции (9), (10), которые согласно теореме 1 приводят к условиям: ab cd.

Что и требовалось доказать.

2. Последняя теорема позволяет ввести понятие координат ковектора.

Пусть дублет ab с координатами (v1; v2) в репере R является представителем ковектора V. Пару чисел (v1; v2) назовём координатами ковектора V в репере R. Согласно теореме 2 координаты ковектора не зависят от выбора его представителя и однозначно определены заданием проективного репера.

Каждому ковектору коевклидовой плоскости поставили в соответствие единственную упорядоченную пару действительных чисел, координат ковектора в заданном каноническом репере. Докажем справедливость обратного утверждения. Для каждой упорядоченной пары чисел (v1; v2) и каждой неизотропной прямой а коевклидовой плоскости найдется единственная неизотропная прямая b, такая что дублет ab имеет координаты (v1; v2) в заданном репере R. То есть существует 2 дублетов с координатами (v1; v2) в репере R. По теореме 2 и определению ковектора каждый из указанных дублетов представляет один и тот же ковектор коевклидовой плоскости. Следовательно, каждая упорядоченная пара действительных чисел (v1; v2) однозначно определяет ковектор коевклидовой плоскости, с координатами (v1; v2) в заданном каноническом репере.

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством R2 всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех ковекторов коевклидовой плоскости.

Уравнение направляющей ковектора V (v1; v2) в репере R имеет вид:

v1x1 + v2 x2 = 0.

(17) Семейство реперов коевклидовой плоскости, в которых имеет место введенное понятие координат ковектора, шире семейства канонических реперов этой плоскости. Но как и в канонических реперах в каждом репере семейства третья координатная вершина – общая точка прямых абсолюта. Данное свойство реперов семейства гарантирует наличие ненулевых третьих однородных координат каждой неизотропной прямой.

2.3 Преобразование координат ковектора Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – произвольные канонические реперы коевклидовой плоскости, а формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R' имеют вид ((9), гл. 1).

Найдем формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R'.

Пусть ковектор V имеет в репере R координаты (v1; v2), а в репере R' – ab координаты (v'1; v'2). Предположим, что прямые а и b, стороны дублета, представляющего ковектор V, заданы в репере R уравнениями (4). По формулам (9), главы 1 найдем координаты прямых а и b в репере R':

a(a1a11 -a2a12 + a3a31 : a1a12 +a2a11 + a3a32 : a3a33), (18) b(b1a11 -b2a12 + b3a31 :b1a12 + b2a11 + b3a32 :b3a33). (19) ab Дублет в репере R' согласно условию (5) имеет координаты:

_ а11 b1 a1 a12 b2 a2 a12 b1 a1 a11 b2 a2. (20) ab - - - - + а33 b3 a3 a33 b3 a3 ; a33 b3 a3 a33 b3 a По определению координат ковектора, сравнивая условия (5) и (20), получаем искомые формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R':

a11 av = v1 - v2, a33 a a12 a(21) v2 = v1 + v2.

a33 a 2.4 Внутренние операции над ковекторами На множестве всех ковекторов коевклидовой плоскости введем внутренние операции, результатом которых являются вновь ковекторы множества.

1. Откладывание ковектора от прямой Пусть на коевклидовой плоскости заданы прямая u и ковектор С, _ представленный, например, дублетом ab. Отложить ковектор С от _ _ прямой u означает построить дублет uv эквиполлентный дублету ab.

_ _ Построение. Из отношения ab uv по определению следует, что _ _ _ _ ab || uv и au || bv. Первое из этих условий означает, что вершины дублетов _ _ ab и uv лежат на одной изотропной прямой, следовательно, вершина _ дублета uv, обозначим её буквой K, определена однозначно пересечением _ _ прямой P U (a I b) с прямой u. Аналогично, из условия au || bv следует, что _ вершина дублета bv однозначно определена пересечением прямой P U (a I b) с прямой b. Эту точку обозначим N. Прямая v = KN, _ _ удовлетворяющая условию uv || ab, определена единственным образом.

2. Сложение ковекторов Пусть заданы ковекторы ab и cd, имеющие в каноническом репере R координаты (x1; y1), (x2; y2) соответственно. Суммой ковекторов ab и cd назовём новый ковектор ef, построенный следующим образом.

_ _ Пусть дублеты ab и cd – некоторые представители ковекторов ab и cd соответственно. От фиксированной прямой u отложим ковектор ab, то есть _ _ построим дублет uv эквиполлентный дублету ab. Затем от прямой v _ _ отложим ковектор cd, то есть построим прямую t так, что vt cd. Ковектор _ ef представим дублетом ut. Будем записывать: ab+cd= ef.

Найдём координаты ковектора ef в репере R.

Пусть прямые u, v и t в репере R имеют соответственно координаты (ui ), _ _ (vi), и (ti ), i = 1, 2, 3. Запишем условие uv ab в координатах:

v1 uu 2 - = x1, v - = y. (22) v3 u3 v u 3 _ _ Условие vt cd в координатах имеет вид t v t v 1 1 2 - = x - = y,. (23) 2 t v t v 3 3 3 Из равенств (22), (23) находим t u t u 1 1 2 - = x + x - = y + y,.

1 2 1 t u t u 3 3 3 Следовательно, дублет ut имеет координаты (x1 + x2; y1 + y2).

Последнее означает:

1) сумма ковекторов не зависит от выбора прямых u и t;

2) сумма ковекторов не зависит от выбора их представителей;

3) координаты суммы ковекторов равны суммам соответствующих координат слагаемых.

Отсюда непосредственно следуют единственность суммы ковекторов и «правило трехсторонника» сложения ковекторов: ab + bc = ac.

Операция сложения ковекторов обладает следующими свойствами:

I1. Для любых двух ковекторов А и В: А + В = В + А.

I2. Для любых трёх ковекторов А, В, С: (А + В) + С = А + (В + С).

I3. Для любого ковектора А: А + О = А.

I4. Для каждого ковектора А существует единственный ковектор (–А):

А + (–А) = О. Ковектор (–А) назовём противоположным ковектору А.

Выполнение свойств I1 – I4 можно доказать, применяя координаты ковекторов.

Суммой конечного числа ковекторов А1, А2, …, Аn назовём ковектор, построенный последовательным откладыванием слагаемых от некоторой прямой.

Разностью ковекторов А и В назовём ковектор Х такой, что Х + В = А.

Обозначение: А – В = Х.

Сумму ковекторов мы определили конструктивно, то есть построили её, конкретно указали объект, который назовём суммой ковекторов. Такой способ определения понятия доказывает существование объекта, соответствующего этому понятию. Иначе обстоит дело с разностью ковекторов. Существование разности ковекторов необходимо доказывать.

Можно кроме того доказать и её единственность.

3. Умножение ковектора на действительное число Заданы дублет ab с вершиной в точке S и действительное число.

Через точки Р и S проведём прямую k и построим дублет av такой, что:

1) прямая v проходит через точку S пересечения прямых а и b;

P 2) (kabv) =.

AПо свойству сложного отношения четырёх прямых пучка существует ABединственная прямая v, k a BV2 удовлетворяющая условиям 1, 2.

b Ковектору А, представленному дублетом ab, и действительному числу Vv поставим в соответствие ковектор V, S представителем которого является Рис. дублет av. Ковектор V назовём Аналогичные доказательства для разности векторов можно найти в пособии [1, стр. 13].

произведением ковектора А и числа и обозначим: V = A. Заметим, что существование ковектора V в отличие от его единственности доказано.

Найдём зависимость между координатами ковекторов А(x1; y1) и V(x2; y2), заданных в каноническом репере R. Пусть прямые a(ai), b(bi), v(vi), i = 1, 2, 3, пересекают координатные прямые x2 = 0 и x1 = 0 в точках Aj, Bj, Vj, j = 1, 2, соответственно (рис. 8). Имеем:

A1(–a3:0: a1), B2(0: –b3: b2), V1(–v3:0: v1), A2(0:–a3: a2), B2(0: –b3: b2), V2(0: –v3: v2).

Учитывая что (PA1 B1V1) = (PA2 B2V2) = (ka bv) [2, стр. 32], находим:

b (a v - a v ) b (a v - a v ) 3 3 1 1 3 3 3 2 2 = =, v (a b - a b ) v (a b - a b ) 3 3 1 1 3 3 3 2 2 или v1 a1 v2 a - v3 a3 v3 a= =.

b1 a1 b2 a - b3 a3 b3 a Так как дублеты ab и av представляют соответственно ковекторы А (x1; y1) и V (x2; y2), то последние равенства дают:

x2 = x1, y2 = y1.

Откуда непосредственно следуют утверждения.

1. Координаты ковектора V выражены только через координаты ковектора А и число, следовательно, построение V не зависит от выбора представителя ковектора А.

2. Согласно теореме 1 ковекторы А и V коллинеарны, и, обратно, если ковекторы А и V коллинеарны, то существует единственное действительное число такое, что V= A.

3. Для каждого ковектора А и вещественного числа определён единственный ковектор V: V = А. Действительно, если существует ковектор V' = A, то его координаты x2', y2' выражаются через координаты ковектора А равенствами: x2' = x1, y2' = y1, следовательно, ковекторы V и V' совпадают.

Заметим, если > 0, то пара прямых a, k не разделяет пару b, v, если < 0, то пары a, k и b, v разделяют друг друга, причём разделяют гармонически при = – 1. С учётом этого можно дать следующее определение.

Пусть V = A, если, то ковекторы А и V назовём сонаправленными, если < 0, – противоположно направленными. При = –1 ковектор V является противоположным ковектору А.

Применяя координаты ковекторов, можно доказать свойства операции умножения ковектора на число.

Для любых ковекторов А, В и любых действительных чисел, имеют место равенства:

II1. ( А) = ( ) А.

II2. ( + ) А = А + А.

II3. (А + В) = А+ В.

II4. 1А = А.

2.5 Ковекторное пространство Операции сложения ковекторов и умножения ковекторов на действительные числа обладают свойствами I1 – I4, II1 – II4, следовательно, множество всех ковекторов коевклидовой плоскости является векторным пространством над полем действительных чисел [2, стр. 245], [12, стр. 110], элементы которого – ковекторы коевклидовой плоскости.

Множество назовем ковекторным пространством.

Пусть А1, А2, …, Аn – некоторые ковекторы из, а 1, 2, …, n – действительные числа. Линейной комбинацией ковекторов А1, А2, …, Аn с коэффициентами 1, 2, …, n назовем выражение 1А1 + 2 А2 +... + n An.

(24) Линейную комбинацию ковекторов (24) будем называть нетривиальной, если хотя бы одно из чисел 1, 2, …, n отлично от нуля, и тривиальной, если все числа 1, 2, …, n равны нулю.

Ковекторы А1, А2, …, Аn будем называть линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, являющаяся нулевым ковектором.

Если нулевому ковектору равна только тривиальная комбинация ковекторов А1, А2, …, Аn, то эти ковекторы назовем линейно независимыми.

Пусть в каноническом репере R коевклидовой плоскости заданы ковекторы: А1 (1; 0) и А2 (0; 1). Линейная комбинация этих ковекторов 1А1 + 2 Аимеет в репере R координаты (1; 2) и равна нулевому ковектору тогда и только тогда, когда числа 1, 2 одновременно равны нулю. Следовательно, ковекторы А1, А2 линейно независимы.

Если ковекторы А и В линейно зависимы и ковектор В ненулевой, то, очевидно, существует ненулевое число такое, что А = В. То есть по утверждению 2 (п. 3, §4) ковекторы А и В являются коллинеарными. И, обратно, любые два коллинеарных ковектора линейно зависимы.

Пусть теперь А и В – некоторые неколлинеарные ковекторы из.

Покажем, что каждый ковектор X из можно представить в виде линейной комбинации ковекторов А и В. Пусть в каноническом репере R ковекторы А, В, X заданы координатами: А (a1; a2), В (b1; b2), X (x1; x2). Существуют числа и такие, что А + В = X.

(25) Действительно, равенство (25) в координатах имеет вид:

a1 + b1 = x1, (26) + b2 = x2.

aТак как ковекторы А и В неколлинеарные, то их координаты непропорциональны, поэтому a1 b 0.

(27) a2 bПри условии (27) система уравнений (26) имеет единственное решение:

x1 b1 a1 xx2 b2 a2 x =, =.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.