WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 34 |

2i 2i 2i 2i Следовательно, – одна из естественных констант измерения расстояний между точками на коевклидовой плоскости.

Условие ортогональности точек А и В в координатах имеет вид:

Вообще, число |AB| формулами (14), (18), (19) определено с точностью до числа кратного, так как логарифм числа [5, стр. 158], [12, стр. 329] определен с точностью до 2ki, где k – целое число. Условимся в качестве значения |AB| выбирать число, не превосходящее по модулю.

a1b1 + a2b2 = 0. (21) Для любых точек А и В неизотропной прямой l найдется единственная пара ортогональных точек S1, S2, гармонически разделяющих точки А, В.

Пусть N, T – точки прямой l, и (NT AB) < 0. Тогда одна и только одна из точек S1, S2 принадлежит отрезку ANB (ATB), предположим, S1 (S2) принадлежит отрезку ANB (ATB).

Точку S1 (S2) назовем серединой неизотропного отрезка АNВ (ATB), а точку S2 (S1) – квазисерединой неизотропного отрезка АNВ (ATB).

Пусть в некотором каноническом репере R заданы точки А(a1: a2: a3) и B(b1: b2: b3) неизотропной прямой l. Найдем координаты точек S1, S2, середин смежных неизотропных отрезков, определенных на прямой l точками А и В.

Учитывая условие (21) ортогональности двух точек, точки S1, Sзададим в репере R координатами: S1 (s1: s2: m), S2 (–s2: s1: n). Тогда условие гармонической сопряженности пар точек А, В и S1, S2, в координатах имеет вид:

2 s1 (a1b2 + a2b1)- 2s1s2(a1b1 - a2b2 )- s2 (a1b2 + a2b1) =.

Из последнего уравнения находим 2 2 a1b1 - a2b2 ± (a1 + a2 )(b12 + b2 ) s=. (22) s2 a1b2 + a2bЗаметим, что выражение (22) доказывает существование двух действительных точек, середин и квазисередин неизотропных отрезков АВ.

x1(a2b3 -a3b2)+ x2(a3b1 -a1b3)+ x3(a1b2 -a2b1)= 0.

Прямая АВ имеет уравнение:

Принадлежность точек S1, S2 прямой АВ определяет координаты этих точек в репере R:

2 2 2 ((a1b1 -a2b2 ± (a1 + a2)(b1 +b2 ))(a2b1 -a1b2):

2 2 2 (a2b1 -a1 b2 ):

(23) 2 2 2 (a1b1 -a2b2 ± (a1 + a2)(b1 +b2 ))(a2b3 -a3b2)+(a1b2 + a2b1)(a3b1 -a1b3)).

Если задана хотя бы одна из точек N, Т одного из двух смежных отрезков АВ, например, точка N, то неравенство (S1N AB) > 0 ((S2N AB) < 0) (24) позволит из точек (23) выбрать середину отрезка ANB (АТВ).

Согласно формулам (18), (19), (23) для середины (квазисередины) S неизотропного отрезка АВ имеют место равенства: cos |AS| = cos |SB|, sin |AS| = sin |SB|, следовательно, |AS| = |SB|.

1.6 Инвариант двух изотропных прямых. Полоса На коевклидовой плоскости для измерения углов между неизотропными прямыми справедлив принцип измерения отрезков плоскости евклидовой. Но в пучке изотропных прямых измерение можно ввести с помощью абсолюта, без использования вспомогательных единиц измерения.

Расстоянием между изотропными прямыми a и b назовем число ab:

= ln(abl l2 ), ab 1 (25) 2i где l1, l2 – прямые абсолюта.

Очевидно, что каковы бы ни были точки A и B, взятые на изотропных прямых a и b соответственно, расстояние между ними равно расстоянию между прямыми a и b: |AB| = ab.

Формула a1b1 + a2bcosab =, (26) 2 2 a1 + a2 b12 + bполученная по аналогии с формулой (18), выражает расстояние ab через однородные координаты изотропных прямых a (а1: а2: 0) и b (b1: b2: 0) в произвольном каноническом репере.

Две изотропные прямые a и b назовем перпендикулярными (или ортогональными), если они гармонически разделяют прямые абсолюта. В этом случае имеем 1 = ln (- 1) = i =.

ab 2 i 2 i Таким образом, расстояние между ортогональными изотропными прямыми равно.

В координатах условие ортогональности изотропных прямых a (а1: а2: 0) и b (b1: b2: 0) в любом каноническом репере имеет вид:

a1b1 + a2b2 = 0. (27) Полосой с изотропными сторонами а, b назовем множество всех изотропных прямых, проходящих через некоторую точку отрезка АВ с концами на прямых а и b. Обозначение: ab. По теореме §10 [2, стр.32] определение полосы ab не зависит от выбора отрезка АВ. Точку X назовем внутренней точкой полосы ab, если прямая XP принадлежит полосе ab.

Изотропную прямую, содержащую середину отрезка АВ, назовем биссектрисой полосы ab.

1.7 Инвариант трёх неизотропных прямых одного пучка Рассмотрим пучок K неизотропных прямых коевклидовой плоскости с центром в точке S. Пусть k – изотропная прямая SP.

Простым отношением трех неизотропных прямых a, b, c пучка K P назовем число –(abсk), инвариантное относительно преобразований l фундаментальной группы G.

a Обозначение: (ab,c).

k А Множество прямых, состоящее из прямых а, b и множества всех прямых x С c пучка K, попарно разделяющих с S прямой k пару прямых a и b, назовем B b углом со сторонами a, b. Обозначение:

Рис. ab. Точку S пересечения прямых а и b назовем вершиной угла ab.

Точку М коевклидовой плоскости будем называть внутренней точкой угла ab, если прямая MS принадлежит этому углу.

Если в принятых обозначениях (ab,с) =, будем говорить, что прямая c делит угол ab в отношении.

Чтобы найти зависимость между однородными координатами прямых a(ai), b(bi), c(ci), i=1, 2, 3, заданных в некотором каноническом репере R, и числом, проведём изотропную прямую l: x1 = 0 (или x2 = 0), отличную от прямой k. Тогда точки A, B, C (рис. 4) пересечения соответственно прямых a, b, c прямой l имеют координаты:

A(0: –a3: a2), B(0: –b3: b2), С(0: –с3: с2), (A(–a3: 0: a1), B(–b3: 0: b1), С(–с3: 0: с1)).

Если прямая k не является координатной прямой, то, учитывая равенство: – (abсk) = (AB,С) =, находим a1 b1 a2 b + + с1 a3 b3 c2 a3 b3.

=, = (28) с3 1+ c3 1+ Если прямая k совпадает с одной из координатных прямых (x1 = 0 или x2 = 0), то, рассуждая аналогично, находим одно из равенств (28). Еще одно равенство получим из первого, учитывая принадлежность прямых a, b, c одному пучку, то есть, учитывая условие:

a1 b1 ca2 b2 c2 = 0.

a3 b3 cПрямую q назовём биссектрисой угла ab с вершиной в точке S, если она с изотропной прямой k = SP гармонически разделят пару прямых a, b, то есть если (ab,q) = 1. Из равенств (28) при = 1 находим выражение однородных координат (qi), i = 1, 2, 3, биссектрисы q угла ab через координаты сторон этого угла:

a1 ba2 b+ + q1 a3 b3 q2 a3 b= =,. (29) q3 2 q3 Отметим, что вид формул (28), (29) зависит только от координат точки Р, общей точки абсолютных прямых, и не зависит от вида уравнений (1) этих прямых. Следовательно, для коевклидовой плоскости формулы деления угла в данном отношении имеют вид (28), (29) не только в канонических реперах, но и во всех реперах, допускающих задание абсолютных прямых уравнениями вида:

x1 = zx2, x1 = zx2, z, z где – взаимно сопряженные комплексные числа.

1.8 Инвариант трёх неизотропных прямых Очевидно, инвариант трех неизотропных прямых, не проходящих + l2 P Bчерез одну точку, является также Cинвариантом трех точек попарного + пересечения этих прямых. Рассмотрим AA три неизотропные прямые a, b, c, не + b принадлежащие одному пучку.

lc C Определив инвариант прямых a, b, c, мы a определим и инвариант трех точек: A = B b c, B = a c, C = a b.

Рис. Пусть прямые a, b, c, пересекают абсолютную прямую, например, прямую l1, в мнимых точках A0, B0, Cсоответственно (рис. 5).

Сложное отношение четырёх точек (A0B0C0P) инвариантно относительно всех линейных преобразований коевклидовой плоскости K2 (всех преобразований группы G).

Выразим модуль комплексного числа (A0B0C0P) через однородные координаты прямых a, b, c, заданные в некотором каноническом репере R:

a(ai), b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3. Точки A0, B0, C0 в репере R имеют координаты:

A0 (–ia3 : –a3 : a2 + ia1), B0 (–ib3 : –b3 : b2 + ib1), C0 (–ic3 : –c3 : c2 + ic1). Поэтому - a3 a2 + ia1 - b3 b2 + ib- c3 c2 + ic1 0 b3(a2c3 - a3c2 + i(a1c3 - a3c1)).

(A0B0C0P) = = - a3 a2 + ia1 - b3 b2 + iba3(b2c3 - b3c2 + i(b1c3 - b3c1)) 0 1 - c3 c2 + icМодуль числа (A0B0C0P) равен:

2 b3 ((a1c3 - a3c1) + (a2c3 - a3c2) ).

J = (A0B0C0P) = 2 a3((b1c3 - b3c1) + (b2c3 - b3c2) ) И окончательно 2 b1 c1 b2 c - - + b3 c3 b3 c J =.

2 a1 c1 a2 c2 (30) - - + a3 c3 a3 c Вид формулы (30), очевидно, зависит от координат точек A0, B0, C0, следовательно, зависит от вида уравнений (1) абсолютных прямых. Поэтому формула (30) имеет место только в канонических реперах коевклидовой плоскости.

Каков геометрический смысл инварианта J Ответ на этот вопрос найдем в следующей главе. Но прежде предлагаем читателю самостоятельно определить геометрический смысл инварианта трех попарно непараллельных прямых, не проходящих через одну точку, на евклидовой плоскости. То есть определить числовую характеристику треугольника евклидовой плоскости, неизменную при всех евклидовых линейных преобразованиях.

Глава2. Ковекторы 2.1 Определение ковектора Вводить понятие ковектора на коевклидовой плоскости будем во многом по аналогии с введением понятия вектора на плоскости евклидовой [1], учитывая, естественно, проективный характер изложения. Поэтому некоторые этапы рассуждений будем опускать, предоставив читателю возможность восстановить их самостоятельно.

Упорядоченную пару неизотропных прямых a, b назовём дублетом и обозначим ab. Прямые a и b будем называть соответственно началом и концом дублета ab, или сторонами дублета. Точку пересечения прямых a, b назовём вершиной дублета ab ( a I b = A – вершина дублета ab ).

Неизотропную прямую a будем считать дублетом, начало и конец которого совпадают, назовём его нулевым дублетом и обозначим aa.

Вершиной нулевого дублета aa будем считать любую точку прямой a.

Два дублета назовём коллинеарными, если коллинеарны вершины этих дублетов (п. 1, §4, гл. 1). Отношение коллинеарности дублетов, очевидно, является отношением эквивалентности.

Коллинеарные дублеты ab и cd назовём эквиполлентными, если коллинеарны дублеты ac и bd.

Для коллинеарных и эквиполлентных дублетов примем обозначения:

ab || cd, ab cd соответственно. По определению:

ab || cd, ab cd ac || bd.

Коллинеарность, а, следовательно, и эквиполлентность дублетов сохраняются при любом преобразовании коевклидовой плоскости.

Докажем, что отношение эквиполлентности дублетов является отношением эквивалентности.

Очевидно, что ab ab и если ab cd, то cd ab. Следовательно, отношение рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность этого ab ef отношения. Пусть ab cd и cd ef. Покажем, что. По определению эквиполлентности дублетов данные условия означают, что ab || cd, cd || ef ac || bd, ce || df.

и (1) Введём следующие обозначения (рис. 6) вершин дублетов:

a I b = A b I d = B a I c = C c I d = O e I f = A1 e I c = C,,,,,. (2) ab || cd Из того, что cd || ef и следует коллинеарность точек в парах О, А и О, А1, а, следовательно, и коллинеарность точек А, А1. Таким образом, ab || ef. Остается показать, что Р ae || bf.

Трёхвершинники АВС и А1В1СВА1 f удовлетворяют условию теоремы Сe Дезарга [2, стр. 26], так как прямые, b соединяющие соответственные А В a вершины этих трёхвершинников, С О проходят через одну точку О. Поэтому c согласно теореме Дезарга точки d пересечения соответственных сторон Рис. трёхвершинников лежат на одной прямой.

По определению коллинеарности дублетов из последних двух условий (1) с учетом введенных обозначений (2) имеем:

ac || bd (a I c)|| (b I d) C || B, ce || df (c I e)|| (d I f ) C || B, 1 поэтому соответственные стороны BC и B1C1 пересекаются в абсолютной точке P. Следовательно, точка P лежит и на прямой, соединяющей точки пересечения соответственных сторон AC, A1C1 и AB, A1B1.

Таким образом, прямая (AC I A C ) U (AB I A B ) является изотропной, 1 1 1 следовательно, точки (a I e) и (b I f ) коллинеарны, то есть ae || bf.

Что и требовалось доказать.

Разобьём множество всех дублетов коевклидовой плоскости на классы эквивалентности по отношению эквиполлентности дублетов. Каждый элемент полученного фактор-множества назовём ковектором коевклидовой плоскости. Таким образом, ковектор есть множество всех эквиполлентных между собой дублетов, каждый из которых будем называть представителем класса или представителем ковектора. Обозначать ковекторы будем жирным шрифтом заглавными латинскими буквами A, B, C,… (по вершине некоторого представителя класса), либо двумя строчными латинскими буквами ab, cd, ef,… (по соответствующим сторонам некоторого представителя ковектора).

Ковектор, представленный нулевым дублетом, назовём нулевым ковектором и обозначим буквой О.

Изотропную прямую, содержащую вершины представителей ковектора, назовем направляющей данного ковектора.

Ковекторы, представленные коллинеарными дублетами, будем называть коллинеарными. Нулевой ковектор будем считать коллинеарным любому ковектору.

Два ковектора будем называть равными, если представители этих ковекторов эквиполлентны.

2.2 Координаты ковектора 1. Выберем некоторый канонический репер R коевклидовой плоскости.

Э Абсолютная квадрика AП в репере R имеет (§1, гл. 1) уравнение 2 х + x = 0.

(3) 1 Пусть стороны a, b дублета ab в репере R заданы соответственно уравнениями:

a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0 b1x1 + b2x2 + b3x3 = и, (4) где а3 0, b3 0, так как прямые а и b – неизотропные.

b a b a 1 1 2 и Числа - - назовём соответственно первой и второй b a b a 3 3 3 _ координатами дублета ab в репере R. Будем записывать:

_ b1 a1 b2 a - ; - ab (5) b3 a3 b3 a3.

Нулевой дублет, очевидно, имеет нулевые координаты.

Э К2 = P2 \ AП Итак, каждому дублету коевклидовой плоскости поставили в соответствие упорядоченную пару чисел.

Докажем две теоремы.

Теорема 1. Дублеты коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в одном и том же репере пропорциональны.

_ _ Доказательство. Пусть стороны дублетов ab и cd в репере R имеют координаты а(ai), b(bi), c(ci), d(di), i = 1, 2, 3. Так как a, b, c, d – неизотропные прямые, числа a3, b3, c3, d3 – ненулевые. Вершины K и H данных дублетов в репере R имеют соответственно координаты:

K(a2b3 - a3b2 :a3b1 - a1b3 :a1b2 - a2b1) H(c2d3 - c3d2 :c3d1 - c1d3 :c1d2 - c2d1),. (6) I. Если данные дублеты коллинеарны, то прямая KH содержит абсолютную точку P (0:0:1), то есть выполняется равенство a2b3 - a3b2 a3b1 - a1b3 a1b2 - a2bc2d3 - c3d2 c3d1 - c1d3 c1d2 - c2d1 = 0.

(7) 0 0 Раскрывая определитель из равенства (7) по последней строке, находим a b - a b c d - c d 3 1 1 3 3 1 1 =, (8) a b - a b c d - c d 2 3 3 2 2 3 3 или b1 a1 d1 c- b3 a3 d3 c= (9) a2 b2 c2 d2.

- + - + a3 b3 c3 dПоследнее равенство означает пропорциональность координат заданных дублетов.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.