WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 ||

Следовательно, геометрию коевклидовой плоскости можно получить из геометрии евклидовой плоскости [2, стр. 288] формальной заменой терминов «вектор» – «ковектор», «точка» – «прямая», что согласуется с соответствием данных геометрий по принципу двойственности проективной плоскости.

II. Заменим в системе аксиом 1 коевклидовой плоскости аксиому 5.аксиомой 5.4:

5.4. Существуют по крайней мере два ненулевых ковектора А и В таких, что скалярный квадрат ковектора А больше нуля, а скалярный квадрат ковектора В меньше нуля.

Полученную систему аксиом обозначим 2. Система аксиом определяет геометрию копсевдоевклидовой (и псевдоевклидовой) плоскости.

Векторное изложение псевдоевклидовой геометрии дано в пособии [7].

Приложение 2. Преобразования коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Таблицы.

Таблица 1. Преобразования первого рода коевклидовой плоскости Преобразование Матрица Неподвижные точки Неподвижные прямые Преобразование является преобразования преобразования преобразования движением a11 a12 1. Отражение. Две мнимо Одна При A =- a12 a11 2 2 Евклидово сопряжённые точки на неизотропная a33 = a11 + a вращение прямая a31 a32 a33 абсолютной квадрике a11 0 2. Сжатие. Каждая точка одной Каждая изотропная При A = 0 a11 Коллинеарное неизотропной прямой прямая и одна a33 = -aa a32 aпреобразование неизотропная прямая 3. Изотропный a11 0 сдвиг.

Каждая точка Каждая Всегда A = 0 a11 Коллинеарное одной изотропной прямой изотропная прямая a a32 aпреобразование a11 0 4. Тождественное Каждая Каждая Всегда A = 0 a11 преобразование точка плоскости прямая плоскости 0 0 a Таблица 2. Преобразования второго рода коевклидовой плоскости Преобразование Матрица Неподвижные точки Неподвижные прямые Преобразование является преобразования преобразования преобразования движением a11 a12 0 Одна неизотропная 1. Поворотное Две Движений прямая и две A5 = a - a11 отражение действительные точки нет изотропные прямые a a32 a A5, где 2. Скользящее Одна Две ортогональные 2 2 a33 = a11 + aотражение действительная изотропные прямые Всегда Каждая точка одной Каждая прямая пучка с A5, где изотропной прямой и точка центром в точке 2 3. Центральная Всегда (a11 - a33 : a12 : a31) (a11 - a33 : a12 : a31) и a33 = ± a11 + a12, симметрия a11a31+a12a32 +a31a33 =0, ортогональная поточечно ортогональная этой инвариантной изотропной точке a11a32 -a12a31-a32a33 =0.

прямой изотропная прямая Таблица 3. Преобразования первого рода копсевдоевклидовой плоскости Матрица Неподвижные точки Неподвижные Является Является Преобразование преобразования преобразования прямые движением псевдопреобразования движением Две несобственные a11 a12 1. Поворотные действительные Одна При При A1 = 2 2 a a11 отражения 12 точки по одной на неизотропная а33 = а12 a33 = a11 - a12 2 2 - аa a32 a абсолютных прямых прямая а11 = При А1 при условиях: Одна точка на Собственных Движений является 2. Скользящая второй (первой) инвариантных нет а33 = а11 ± а12, абсолютным гомотетия абсолютной прямых нет псевдоа32 mа31.

прямой движением При А1 при условиях: Каждая точка одной Пучок а11 = абсолютной прямой инвариантных Движений а33 = а11 ± а12, является 3. Гомотетия и одна точка на параллельных нет абсолютным а32 = mа31.

второй абсолютной неизотропных псевдопрямой прямых движением Каждая a11 0 а33 = -а4. Сжатие к Каждая точка одной изотропная прямая Псевдо- При неизотропной неизотропной и одна поточечно движений A2 = 0 a11 0 является прямой прямой неподвижная нет абсолютным a a32 a 31 неизотропная движением.

прямая Неподвижные Является Матрица Неподвижные точки Является Преобразование прямые псевдо преобразования преобразования движением преобразования движением 5. Сдвиг на a11 0 0 Каждая точка Каждая Всегда. Псевдо- неизотропный одной изотропная Абсолютное движений A3 = 0 a11 ковектор изотропной прямой прямая движение нет a a32 a 6. Сдвиг на А3 при Каждая точка Собственных Всегда. Псевдо- изотропный второй (первой) инвариантных Абсолютное движений а32 = ±аковектор абсолютной прямой прямых нет движение нет a11 0 7. Тождественное Каждая Каждая Всегда. Псевдо- A4 = 0 a11 преобразование точка прямая Абсолютное движений плоскости плоскости плоскости движение нет 0 0 a Таблица 4. Преобразования второго рода копсевдоевклидовой плоскости Матрица Неподвижные Неподвижные прямые Является Является Преобразование преобразования точки преобразования движением псевдодвижен преобразования ием 1. Псевдо- Одна неизотропная a11 a12 евклидово Две действительная прямая Движений Псевдо- A5 =-a12 -a11, вращение. действительные и две ортогональные нет движений Преобразование точки изотропные нет a31 a32 a первого вида действительные прямые 2 а11 - а12 > 0.

Одна неизотропная a11 a12 2. Евклидово Две мнимо действительная A5 =-a12 -a11, сопряженные вращение. прямая Движений При 2 2 Преобразование точки и две ортогональные нет a31 a32 aа33 = а12 - а второго вида изотропные мнимо 2 а11 - а12 < 0.

сопряженные прямые 3. Скользящее Две Псевдо- A, где отражение Одна ортогональные Всегда движений 2 2 a33 = a11 - aизотропные прямые нет Каждая прямая пучка с A, где Каждая точка центром в точке 2 a33 = ± a11 - a12, 4. Отражение от одной изотропной Псевдо- (a11 - a33 : a12 : a31) и точки прямой и точка, Всегда движений a11a31 -a12a32 + a31a33 = 0, ортогональная этой ортогональная нет точке a11a32-a12a31-a32a33 =0.

этой прямой изотропная прямая Приложение 3. Овальные линии копсевдоевклидовой плоскости. Таблица № Тип линии Рисунок Фокусы Центры Ось сим. Каноническое уравнение Два Внешний и Полярная 2 2 2 2 1 Эллипс x1 - x2 - x3 = 0, > внутренних внутренний ось Один Полярная 2 2 Парабола – – x2 - x1x2 + x3 = 0, > внутренний ось 2 2 2 Любая точка Полярная x1 - x2 - x3 = 3 Бипарабола – – полярной оси ось (x1 - x2 ) - x3(x1 + x2 ) = 4 Орипарабола – – – – Нефокальная Два мнимо Полярная x1x2 - x3 = – 5 гипербола сопряженных ось 2 Фокальная Внешний и Два мнимо Полярная x1 - x1x2 + x3 = 0, > 0,| |< гипербола внутренний сопряженных ось 2 Гиперболическая Один Полярная x2 - x1x2 +x3 = 0, < 6 – – парабола внешний ось Два Один 2 7 Оригипербола – – x1 - x2 + 2x2x3 = 0, > внешних внешний Два Внешний и Полярная 2 2 2 2 8 Бигипербола x1 - x2 - x3 = 0, < внешних внутренний ось 2 2 2 Нефокальная Полярная x1 + x2 - x3 = – Два внешних 9 эквигипербола ось 2 2 2 2 Фокальная Два Полярная x1 + x2 - x3 = 0, > Два внешних эквигипербола внешних ось Приложение 4. Абсолюты плоских геометрий с проективной метрикой Кэли – Клейна • + • • + Флаговая Псевдоевклидова Евклидова Галилея Минковского Эллиптическая Коевклидова Копсевдоевклидова Римана • • • Гиперболическая Бигиперболическая Когиперболическая Лобачевского

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.