WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 |

(248) 2 -Фокусам F1, F2 эквигиперболы (230) соответствуют асимптоты 1 1 Т1,Т12,Т2,Тэквигиперболы, касательные к линии в идеальных точках соответственно:

1 2 h1 = F1T11 : x1 + x2 - 1+ x3 = 0, (249) 2 h12 = F1T12 : x1 + x2 + 1+ x3 = 0, 1 1 2 h2 = F2T2 : x1 - x2 - 1+ x3 = 0, (250) 2 2 h2 = F2T22 : x1 - x2 + 1+ x3 = 0.

Асимптоты нефокальной эквигиперболы (235) проходят через несобственные точки Р1, Р2 ее полярной оси и имеют уравнения:

h1 = Р1T11 : x1 + x2 - 2x3 = 0, h12 = Р1T12 : x1 + x2 + 2x3 = 0, h2 = Р2T21 : x1 - x2 - 2x3 = 0, (251) h2 = Р2T22 : x1 - x2 + 2x3 = 0.

4. В данном пункте докажем метрическое свойство эквигипербол. Все рассуждения проведем для фокальной эквигиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением (230). Аналогичное доказательство метрического свойства нефокальной эквигиперболы можно получить, полагая в соответствующих выражениях = 1.

Теорема 29. Произведение расстояний от произвольной точки М эквигиперболы до ее действительных (мнимых) осей есть постоянная величина, равная квадрату действительной (мнимой) полуоси линии, взятому со знаком «плюс», если точка М и действительный (мнимый) центр линии принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус» в противном случае.

Доказательство. Пусть эквигипербола задана в каноническом репере R уравнением (230) при 1, число а (b) – действительная (мнимая) полуось (240) эквигиперболы, а М (x1: x2: x3) – произвольная точка линии.

Действительные (мнимые) оси эквигиперболы, прямые в парах (238) ((239)), пересекаются в точке первого (второго) абсолютного угла. По формуле (20) главы 2 +1 x2 - x3 +1 x2 + x(M, d1)=, (M, d12)= (252) 2 2 2 x1 - x2 x1 - x2 +1 x1 - x3 +1 x1 + x 1 (M, d2)=, (M, d2 )= 2 2 2 x1 - x2 x1 - x2 (253) Следовательно, 2 2 2 ( +1) x2 - x(M, d1 )(M, d12)= (254) 2 2 (x1 - x2 ) 2 2 2 ( + 1) x1 - x1.

(M, d2)(M, d2 )= 2 2 2 (255) (x1 - x2 ) При подстановке в равенство (254) ((255)) значения квадрата координаты x2 (x1) из уравнения (230) получаем 2 x2 - x(M, d1 )(M, d12)= (256) 2 2 (x1 - x2 ) 2 2 x1 - x1 (M, d2)(M, d2 )= 2 2 (257) (x1 - x2 ).

Каждое из равенств (256), (257) рассмотрим в двух возможных случаях.

1. Точка М принадлежит первому абсолютному углу. Тогда для ее x1 координат ((4), гл. 1) выполняется неравенство - x2 > 0, при котором выражение (256) ((257)) принимает вид:

1 (M, d1 ) (M, d12 )= = а 1 2 (M, d ) (M, d )= = -b 2 (258) 2 (259).

2. Точка М принадлежит второму абсолютному углу. Координаты точки x1 М удовлетворяют неравенству: - x2 < 0, которое равенство (256) ((257)) приводит к виду:

1 (M, d1 ) (M, d12 )= - = - а (260) 1 2 (M, d ) (M, d )= - = b 2 2 (261).

Что и требовалось доказать.

Используя доказанное свойство эквигиперболы, дадим ее метрическое определение по аналогии с определением бигиперболы (§6, пункт 2).

Пусть даны две действительные неизотропные прямые d1, d2 и отрезок длиной а изотропной прямой, проходящей через точку пересечения данных прямых. Предположим, что общая точка прямых d1, d2 принадлежит первому абсолютному углу, тогда число а – действительное положительное.

Обозначим теперь через W1 (W2) множество всех внутренних (внешних) точек угла между прямыми d1, d2 (§9, глава 1). Пусть 1 (2) – множество всех точек из W1 (W2), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых d1, d2 есть постоянная величина, равная а2 (–а2).

Объединение множеств 1, 2 является эквигиперболой с действительными осями d1, d2 и действительной полуосью а.

Если прямые d1, d2 принадлежат второму абсолютному углу, то число а – мнимое. В этом случае 1 (2) определим как множество всех точек из W(W1), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых d1, d2 есть постоянная величина, равная а2 (–а2).

Тогда объединение множеств 1, 2 является эквигиперболой с мнимыми осями d1, d2 и мнимой полуосью а.

Доказательства данных утверждений можно провести в полной аналогии с доказательствами соответствующих утверждений, приведенных в пункте §6 для бигиперболы.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1986.–336 с., ил.

2. Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1987.–352 с., ил.

3. Буземан Г., Келли П.Д. Проективная геометрия и проективные метрики.

М., 1957. – 410 с.

4. Киотина Г.В. Пространства с обобщенной проективной метрикой.

Пособие по спецкурсу. Рязанский государственный педагогический институт. Рязань, 1981.

5. Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. – М. – Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.

6. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. МГЗПИ. М.: Просвещение, 1980. – 128 с.

7. Понарин Я.П. Неевклидовы геометрии с аффинной базой. Кировский государственный педагогический институт. – Киров, 1991.

8. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. – 744 с., ил.

9. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли.

Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.:

МЦНМО, 2003. – 560 с.

10. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.

М., 1969, 304 с.

11. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. Геометрия. М.: ГИФМЛ, 1963. – 568 с., ил.

12. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред.

Ю.В.Прохоров. – 3-е изд.– М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. – 848 с.: ил.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. 2-е изд. М., 1963. – 344 с.

2. Евклид. Начала. Книги I-VI, М. – Л., 1948.

3. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978. – 576с.

4. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М., 1969. – 548 с.

5. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Неевклидовы геометрии. – В кн.:

Энциклопедия элементарной математики. М., 1966, т. V. с. 83.

6. Харстхорн Р. Основы проективной геометрии / Пер. с англ. М., 1970.

7. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. 8-е изд. М., 1969. – 368 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолют 8 Гиперболическая парабола 200, - коевклидовой плоскости Группа - копсевдоевклидовой плоскости - движений коевклидовой плоскости Асимптоты - фундаментальная преобразований 9, - гиперболы Движение 64, - овальной линии - абсолютное - оригиперболы - - изотропные Длина - - неизотропные - отрезка - эквигиперболы - - изотропного 49, - - положительного (отрицательного) База неизотропного - оригиперболы - эквидистанты Дублеты - коллинеарные Базис пространства 39, - координатные репера - - коевклидова ковекторного - нулевые - - - левый (правый) - эквиполлентные - - - ортонормированный - - - соответствующий неизотропному Изображение в евклидовом пространстве отрезку - точки (фигуры) коевклидовой - - копсевдоевклидова ковекторного плоскости - - - левый (правый) - точки (фигуры) копсевдоевклидовой плоскости Бигипербола 200, Инвариант квадрики 87, Бипарабола 200, Квадрант Биссектриса - полосы 25, Квадрики - - изотропной - абсолютные 8, - угла 26, - коевклидово эквивалентные - распавшиеся Вершина - нулевые - ветви эквигиперболы - дублета Квазиотрезок - овальной линии - оригиперболы Квазисередина отрезка - полосы - угла 25, Ковекторы 29, - изотропные (неизотропные) Ветвь прямой - линейно зависимые (независимые) - нулевые Высота - ортогональные 41, - бипараболы - противоположно направленные - точки в каноническом репере 48, - противоположные - равные Гипербола 200, 207, 245, - сонаправленные Координаты Подвижность плоскости 10, - дублета Полоса 24, - ковектора в каноническом репере - изотропная - ковектора в базисе ковекторного пространства Полудвижение - точки 51, - квадрики 84, Представитель ковектора Коокружность Преобразование - инволюционное Копарабола - коевклидовой плоскости - - коллинеарное Коэллипс - - линейное Коэффициент искажения преобразования - - - первого (второго) рода 64,170 - копсевдоевклидовой плоскости - - коллинеарное Луч - - линейное - изотропной прямой 17, - - - первого (второго) рода - неизотропной прямой - - - первого (второго) вида Мера угла 45, Произведение - ковектора и действительного числа Модуль ковектора 40, - скалярное ковекторов 40, Направление Простое отношение - трех неизотропных прямых 26, Направляющая ковектора - - пучка 25, - трех точек изотропной прямой 17, Оригипербола 200, Пространство ковекторное 38, 39,Ориентация - ковекторного пространства 45, Прямые - семейства канонических реперов 13, - аффинные - гиперболические Орипарабола 200, - изотропные - - коевклидовой плоскости 15, Откладывание ковектора от прямой - - - ортогональные 24, - неизотропные 15, Отрезок - параболические - изотропный 17, - параллельные - направленный - 1,2-параллельные - неизотропный - пересекающиеся - смежный - эллиптические Парабола 200, Псевдодвижение - абсолютное Плоскость - коевклидова Псевдомодуль изотропного ковектора - - ориентированная - копсевдоевклидова - - ориентированная Разность ковекторов - - согласованная Расстояние между - внешние - изотропными прямыми 24, 132 - - угла (полосы) - ковекторами 41, 139 - внутренние - параллельными прямыми 144 - - полосы 25, - точками - - угла 25, - - изотропной прямой 49, 146 - коллинеарные 15, - - неизотропной прямой 20, 119 - овальной линии абсолютные (идеальные) Расстояние от точки до неизотропной - ортогональные 22, прямой 47, - циклические Реперы канонические 10, Угол 25, - одинаково ориентированные 13, - абсолютный - правые (левые) - полярный - право(лево)согласованные - - действительный когиперболы - присоединенные - - меньший (больший) коэллипса - - квадрики - - мнимый когиперболы - - коэллипса - - когиперболы 93 Фокус овальной линии 104, 106, - - копараболы Формулы преобразования - присоединенные к базису ковекторного - координат пространства 42, - - ковектора 34, - согласованные (несогласованные) - - точек 12, Середина - коевклидовых координат точек - квазиотрезка 130 - копсевдоевклидовых координат точек - отрезка 152, - - изотропного 18, Центр овальной лини (квадрики) 95, 98, - - неизотропного Согласование семейства канонических Эксцентриситет овальной линии реперов Эллипс 199, Сумма ковекторов Эквидистанта Точки - бесконечно удаленные (несобственные) Эквигипербола 201, 208, 259, 8, ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1.

Системы аксиом Вейля коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей I. Построение геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскости было основано на идее Ф. Клейна о рассмотрении геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований. Система аксиом Вейля евклидовой геометрии [2, стр. 288], [7, стр. 116] определяет еще один подход в построении геометрии коевклидовой плоскости.

1. Пусть заданы два множества K, L элементов произвольной природы.

Элементы множества K будем называть ковекторами, и обозначать жирным шрифтом либо одной заглавной латинской буквой, либо двумя строчными латинскими буквами, а элементы множества L назовем прямыми, и будем обозначать строчными латинскими буквами. Ковекторы и прямые примем в качестве основных неопределяемых объектов коевклидовой плоскости.

2. Основными отношениями между основными объектами будем считать:

1) сумму ковекторов: каждой паре ковекторов A и B поставим в соответствие новый ковектор C, который назовем суммой ковекторов A и B (обозначение: C = A + B);

2) произведение ковектора на действительное число: каждому ковектору A и каждому действительному числу поставим в соответствие ковектор B, который назовем произведением ковектора A на число (обозначение:

B = A);

3) откладывание ковектора от прямой: каждой упорядоченной паре прямых a и b поставим в соответствие определенный ковектор, который обозначим ab;

4) скалярное произведение ковекторов: каждой паре ковекторов A и B поставим в соответствие определенное действительное число, которое назовем скалярным произведением ковекторов A, B (обозначение: AB = ).

3. Свойства основных отношений определяют аксиомы следующих пяти групп.

1. Аксиомы сложения ковекторов 1.1 Для любых двух ковекторов А и В:

А + В = В + А.

1.2 Для любых трёх ковекторов А, В, С:

(А + В) + С = А + (В + С).

1.3 Для любого ковектора А существует ковектор O:

А + O = А.

Ковектор O будем называть нулевым ковектором.

1.4 Для каждого ковектора А существует единственный ковектор (–А):

А + (–А) = O.

Ковектор (–А) назовём противоположным ковектору А.

2. Аксиомы умножения ковектора на действительное число 2.1 Для любого ковектора А и любых действительных чисел и :

(А) = () А.

2.2 Для любого ковектора А и любых действительных чисел и :

( + )А = А + А.

2.3 Для любых ковекторов А, В и действительного числа :

(А + В) = А + В.

2.4 Для любого ковектора А:

1А = А.

3. Аксиомы размерности Систему ковекторов A1,…, An назовем линейно зависимой, если существуют одновременно не равные нулю действительные числа 1,…, n такие, что выполняется условие:

1 A1 +...+n An = O. (1) Если равенство (1) выполняется только при условии равенства нулю всех чисел 1,…, n, то систему ковекторов A1,…, An назовем линейно независимой.

3.1 Существуют два линейно независимых ковектора.

3.2 Любые три ковектора линейно зависимы.

Два линейно зависимых ковектора назовем коллинеарными.

4. Аксиомы откладывания ковектора от прямой 4.1 Для любого ковектора A и любой прямой a существует единственная прямая b, такая, что ab = A.

Будем говорить, что ковектор A отложен от прямой a.

4.2 Для любых трех прямых a, b, c выполняется условие:

ab + bc = ac.

5. Аксиомы скалярного произведения ковекторов 5.1 Для любых двух ковекторов А и В:

АВ = ВА.

5.2 Для любых ковекторов А, В и любого действительного числа :

(А) В = (АВ).

5.3 Для любых трёх ковекторов А, В и С:

(А + В) C = АС + ВС.

Число AA назовем скалярным квадратом ковектора A, и обозначим А2.

5.4 Скалярный квадрат любого ковектора неотрицателен. Скалярный квадрат ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор является нулевым.

Приведенные аксиомы групп 1-5 образуют систему аксиом Вейля (векторную аксиоматику) коевклидовой плоскости, обозначим ее 1. Все аксиом системы 1 являются доказуемыми при построении коевклидовой геометрии на основе геометрии проективной (гл. 2, часть 1).

Отметим, что система аксиом 1 определяет и геометрию евклидовой плоскости, где в качестве основных объектов приняты вектор и точка.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.