WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |

Неизотропные асимптоты оригиперболы заданы уравнениями:

h = H1F1 : x1 - x2 + x3 = 0, (203) h = H2F2 : x1 + x2 - x3 = 0.

Точку Н пересечения неизотропных асимптот линии назовем ортоцентром оригиперболы.

Имеет место теорема.

Теорема 23. Концы каждой проходящей через ортоцентр оригиперболы хорды ортогональны и гармонически разделяют ортоцентр и общую точку данной хорды и базы оригиперболы.

Доказательство. В присоединенном каноническом репере R ортоцентр оригиперболы (199) имеет координаты: Н (0: : 1). Любую прямую l, проходящую через точку H (рис. 57), в репере R можно задать уравнением:

l : x1 = tx3 - tx2, (204) где t – параметр прямой l.

Прямая l пересекает оригиперболу в точках:

2 X1,2 (± t : ( 1- t ± 1): 1 - t ), (205) а точка Y ее пересечения с базой d линии имеет координаты:

Y (– t : 1: 0). (206) Несобственные точки прямой l зададим в репере R координатами:

L1 (1:1: z1), L2 (1: –1: z2), (207) где z1, z2 – некоторые функции параметра l.

Непосредственная проверка дает:

(X1X L1L2 ) = -1, (X1X HY ) = -1.

(208) 2 Теорема доказана.

Изотропную прямую, проходящую через ортоцентр линии, назовем изотропной осью оригиперболы, а собственную для плоскости точку пересечения линии с ее изотропной осью – вершиной оригиперболы.

Расстояние от ортоцентра оригиперболы до ее базы назовем главным параметром оригиперболы. В присоединенном каноническом репере R изотропная ось линии является координатной прямой А2А3 и имеет уравнение: x1 = 0.

Главный параметр оригиперболы – число мнимое:

= (Н, d) = НA2 = -i.

(209) Вершина оригиперболы задана координатами: Т (0: 2: 1). Расстояние от вершины оригиперболы до ее базы вдвое меньше главного параметра оригиперболы:

= (Т, d) = TA2 = -i.

(210) Проведем изотропную прямую l второго абсолютного угла, содержащего вершину оригиперболы. В репере R прямую l можно задать уравнением: x1 = tx2, где t2 – 1 < 0. Собственная для плоскости точка K пересечения прямой l и линии (199) имеет координаты: K (2t: 2: 1 – t2).

Модуль расстояния от нее до базы d (202) оригиперболы равен:

1- t(K, d) =.

(211) При любом значении t (t2 – 1 < 0) выполняется неравенство:

1- t2 < =.

(212) 2 Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 24. Для каждой точки оригиперболы, принадлежащей одному абсолютному углу с вершиной, модуль расстояния до базы линии меньше половины модуля главного параметра оригиперболы.

3. Определим группу симметрий оригиперболы. То есть найдем все преобразования копсевдоевклидовой плоскости, переводящие оригиперболу в себя.

Пусть ' – образ оригиперболы в некотором преобразовании H копсевдоевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) главы 4. Тогда (x1 : x2 : x3) уравнение линии ' в координатах имеет вид:

2 2 2 x12(a11 - a12 + 2a12a13)+ x22(a12 - a11 + 2a11a32)+ (213) + 2x1x2(a11a31 + a12a32 )+ 2a33x3(a12 x1 + a11x2 ) = 0.

Линии и ' совпадают тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Определитель матрицы копсевдоевклидова преобразования Н отличен от нуля, поэтому пропорциональность коэффициентов уравнений (199) и (213) определяет единственный (с точностью до общего ненулевого множителя) набор коэффициентов аij, где i, j = 1, 2, 3. Матрица преобразования Н имеет вид:

-1 0 Z = 0 1 (214) 0 0 и задает симметрию с центром А1. То есть, первая вершина присоединенного канонического репера, точка пересечения базы линии и ее полярной оси, – центр оригиперболы. Осей симметрии оригипербола не имеет.

Доказана теорема.

Теорема 25. Группа симметрий оригиперболы копсевдоевклидовой плоскости содержит одно нетождественное преобразование – симметрию относительно точки пересечения базы и полярной оси оригиперболы.

Центральной осью оригиперболы назовем прямую h, соединяющую центр и ортоцентр оригиперболы.

4. Пусть неизотропные непараллельные прямые а и b пересекаются в центре оригиперболы и симметричны относительно ее базы. Докажем, что разность квадратов расстояний от каждой точки оригиперболы до прямых а и b – постоянная величина.

В присоединенном репере R прямые а и b, проходящие через центр оригиперболы (199) и симметричные относительно ее базы d (202), можно задать уравнениями:

a : -ux2 + x3 = 0, (215) b : ux2 + x3 = 0.

где u – действительное число.

Будем считать, что u – число положительное. В этом случае прямая а и центральная ось h оригиперболы не разделяют базу и полярную ось.

Действительно, координаты общих точек оригиперболы и прямой а удовлетворяют системе уравнений:

x3 = ux2, (216) 2 - x2 + 2x2x3 = 0.

xСледовательно, для них имеет место неравенство:

2 x1 - x2 = -2ux2x3 < 0.

(217) Согласно условию (4) главы 1 указанные точки принадлежат второму абсолютному углу, содержащему ортоцентр оригиперболы. Так как полярная ось р линии – изотропная прямая первого абсолютного угла, то (ah dp) > 0.

Прямые а и b симметричны относительно прямой d. Поэтому при u > прямая b и центральная ось линии разделяют базу и полярную ось оригиперболы. Мера угла между прямыми а и b равна:

= ab = - (- u - u) = 2iu.

(218) Расстояния от произвольной точки М (x1: x2: x3) оригиперболы до прямых а и b равны:

- ux2 + x3 ux2 + x(M, a) =, (M,b) =.

(219) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xКоординаты точки М удовлетворяют уравнению (199), следовательно, - 4ux2x3 2u 2 (M, a)- (M,b) = =.

(220) 2 x1 - xПравая часть равенства (220) для данных прямых а и b и данной оригиперболы – постоянное число, равное произведению главного параметра линии и меры угла между прямыми а и b.

Что и требовалось доказать.

С другой стороны. Пусть заданы положительное число и непараллельные прямые а, b, пересекающиеся, например, в первом абсолютном углу. Обозначим через меру угла между прямыми а и b.

Докажем, что все точки плоскости, разность квадратов расстояний от которых до прямых а и b есть постоянная величина, принадлежат оригиперболе. Причем база оригиперболы является биссектрисой угла ab, главный параметр равен отношению ( : ), а центральная ось и прямая а не разделяют базу и полярную ось.

Первую координатную вершину канонического репера R поместим в точку пересечения данных прямых а и b, а вторую – на биссектрису d угла между этими прямыми. Тогда данные прямые в репере R можно задать уравнениями (215), где u – некоторое положительное число.

Для произвольной точки М (x1: x2: x3) копсевдоевклидовой плоскости расстояния до прямых а и b определены равенствами (219). Поэтому согласно условию:

(M, a)- 2(M,b)= (221) получаем - 4ux2x=, (222) 2 x1 - xили u 2 x1 - x2 + 4 x2x3 = 0.

(223) u Уравнение (223) при 2 = совпадает с уравнением (199) и определяет оригиперболу с главным параметром ( : ) и базой d. Для оригиперболы (199) выполнение условия (ah dp) > 0, где h – центральная, а p – полярная ось линии, доказано. Таким образом, доказана теорема.

Теорема 26. Множество всех точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до данных прямых а и b, образующих угол мерой, есть постоянная положительная величина, является оригиперболой с главным параметром ( : ), база которой совпадает с биссектрисой угла ab, а центральная ось и прямая а не разделяют базу и полярную ось.

5.13 Эквигипербола 1. Пусть эквигипербола копсевдоевклидовой плоскости (рис. 58, 59) задана в каноническом репере R общим уравнением (1), где а33 0.

Присоединим репер R к линии следующим образом.

Неизотропную координатную прямую А1А2 совместим с полярной осью линии, тогда уравнение (23) полярной оси р в репере R будет иметь вид (25).

Следовательно, в уравнении (1) а13 = а23 = 0. (224) Согласно рассуждениям §3 существуют два типа эквигипербол:

фокальные и нефокальные. Дальнейшее присоединение репера R для каждого типа эквигипербол проведем отдельно.

llT1 HFTР AFHp Рис. 1. Пусть – фокальная эквигипербола. Фокусы каждой овальной линии в случае их существования принадлежат (см. §3) одному абсолютному углу.

Предположим, что фокусы F1, F2 эквигиперболы принадлежат первому абсолютному углу. Тогда, помещая координатную вершину А1 репера R в середину неизотропного отрезка F1F2, фокусы эквигиперболы зададим координатами:

F1 (– 2:1:0), F2 (2:1:0), (225) где – некоторое действительное число, причем > 1.

Учитывая, что фокусы линии (1) заданы координатами (21) при условиях (22), получаем равенства:

А11 = А22, А12 = 0, (226) которые при условиях (224) и а33 0 приводят к равенствам:

а22 = а11, а12 = 0.

(227) Точкам Т1, Т2 пересечения эквигиперболы с изотропной координатной прямой А1А3 присвоим координаты:

Т1 (:0:1), Т2 (–:0:1), (228) где – некоторое положительное число. Тогда а33 = – 2 а11. (229) Уравнение (1) при условиях (224), (227), (229) имеет вид:

2 2 2 2 x1 + x2 - x3 = 0.

(230) Уравнение (230) при > 1 назовем каноническим уравнением фокальной эквигиперболы.

В тангенциальных координатах каноническое уравнение фокальной эквигиперболы имеет вид:

2 2 2 2 2 2 X1 + X2 - X3 = 0.

(231) Присоединенный канонический репер R построен с точностью до порядка следования точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1:0:–1) изотропной прямой А1А3.

2. Если – нефокальная эквигипербола, заданная уравнением (1) при условиях (224), то полюсы Р1, Р2 (21) абсолютных прямых l1, lсоответственно – несобственные точки плоскости (рис. 59), причем точка Р(Р2) принадлежит прямой l2 (l1). Поэтому для тангенциальных координат квадрики имеет место равенство: А11 = А22, которое при условиях (224) дает:

а11 = а22. (232) Уравнение (1) принимает вид:

2 2 a11x1 + a11x2 + 2а12 x1x2 + a33x3 = 0.

(233) Идеальные точки линии (233) имеют в репере R координаты:

1 Т1( - а33 : - а33 : а11 + а12), Т1 ( - а33 : - а33 : - а11 + а12), (234) 1 Т2( - а33 : - - а33 : а11 - а12), Т2(- - а33 : - а33 : а11 - а12).

Собственные координатные вершины А1, А2 поместим в диагональные точки полного четырехвершинника, образованного идеальными точками Если || < 1, то уравнение (229) определяет фокальную эквигиперболу с фокусами во втором абсолютном углу.

1 1 2 1 Т1,Т12,Т2,Т2 Т1Тэквигиперболы. Пусть А1 (А2) – точка пересечения осей и 1 1 1 Т12Т2 Т1Т2 Т12Т ( и ) эквигиперболы. Тогда в уравнении (233) а12 = 0.

Если точки Т1, Т2 пересечения эквигиперболы с изотропной координатной прямой А1А3 задать координатами (228), то уравнение (233) примет вид:

2 2 2 x1 + x2 - x3 = 0.

(235) Уравнение (235) назовем каноническим уравнением нефокальной эквигиперболы.

2. Определим центры эквигипербол (фокальной и нефокальной).

Теорема 27. Каждая эквигипербола является бицентральной линией.

Доказательство. Пусть S (s1: s2: 0) – точка полярной оси линии (230), или (235). Симметрия относительно точки S ((95), гл. 4) переводит линию (230), (235) в линию ', заданную в репере R уравнением:

2 2 2 2 2 x1 ((s12 + s2 ) + 4 s1s2)+ x22( (s1 + s2 ) + 4 s1s2)+ (236) 2 2 2 2 2 - 4 x1x2s1s2(s1 + s2 )(1 + )- (s1 - s2 ) x32 = 0.

Пропорциональность координат квадрик (230) ((235)) и (236) дает значения: s1 = 0, или s2 = 0, при которых точка S является центром линии.

Таким образом, координатные вершины А1, А2 – центры эквигиперболы.

Что и требовалось доказать.

lTlРTР AРp Рис. Идеальные точки эквигиперболы (230) (фокальной при > 1, нефокальной при = 1) в присоединенном репере R имеют координаты:

1 2 Т1( : : +1), Т12( : : - +1), (237) 1 2 2 Т2( : - : +1), Т2(- : : +1).

Оси эквигиперболы (230) 1 d1 = T11T22 : +1 x2 - x3 = 0, (238) 1 d12 = T12T2 : +1 x2 + x3 = пересекаются в первой координатной вершине А1. Оси 1 1 d2 = T11T2 : +1 x1 - x3 = 0, (239) 2 d2 = T12T22 : +1 x1 + x3 = – во второй вершине А2 присоединенного репера. Для нефокальной эквигиперболы (235) в уравнениях (238), (239) = 1. Доказана теорема.

Теорема 28. Центры эквигиперболы являются внешними точками линии и находятся в диагональных точках полного четырехвершинника, образованного идеальными точками линии.

Симметрия относительно полярной оси эквигиперболы (230) ((235)), заданной в репере R уравнением x3 = 0, имеет матрицу вида (34) и переводит линию в себя. Следовательно, эквигипербола симметрична относительно своей полярной оси.

Каждый абсолютный угол содержит две связные ветви эквигиперболы, взаимно симметричные относительно полярной оси линии. Каждая ветвь эквигиперболы принадлежит углу, образованному полярной осью линии и i d одной из ее осей, i, j = 1, 2 (238), (239). Каждая ветвь первого (второго) j абсолютного угла принадлежит углу между прямыми пары (238) ((239)).

Точки Т1, Т2 (228) и B1 (0::), B2 (0:–:), (240) пересечения эквигиперболы с изотропными прямыми, содержащими центры линии, назовем вершинами ветвей эквигиперболы. Расстояние а (b) от центра эквигиперболы до коллинеарной ему вершины линии назовем действительной (мнимой) полуосью линии, если это число действительное (мнимое). Число:

1 а = A1T1 = A1T2 = b = A2B1 = A2B2 = -i (241) – действительная (мнимая) полуось эквигиперболы (230), (235) при = 1.

Центр А1 (А2) эквигиперболы – середина изотропной хорды линии, действительной (мнимой) длины, следовательно, точка А1 (А2) – действительный (мнимый) центр эквигиперболы.

Отметим, что оси эквигиперболы, проходящие через действительный (мнимый) центр линии, назовем их соответственно действительными (мнимыми) осями линии, прямые в парах (238) ((239)), взаимно симметричны относительно полярной оси эквигиперболы и образуют угол, мнимой (действительной) величины:

2 +1 1 d2d2 = 2 +1.

d1d12 = -2i (242) 3. Исследуем эквигиперболы по каноническим уравнениям.

Инвариант фокальной эквигиперболы согласно формуле (18) §2 зависит только от коэффициента канонического уравнения линии и равен:

-э =.

(243) +Число назовем главным параметром фокальной эквигиперболы.

Инвариант нефокальной эквигиперболы равен нулю.

Фокусы эквигиперболы (230) – внешние точки по отношению к линии.

Гиперболический косинус расстояния между фокусами равен:

1+ chF1F2 =.

(244) 1Фокальные оси линии (230) в репере R имеют уравнения:

f1 : x1 +2x2 = 0, f2 : x1 -2x2 = 0.

(245) Фокальная ось f1 (f2) пересекает линию в точках N11, N21 (N12, N22):

2 2 2 N11 - :1: +1, N21 - :1: - +1.

(246) 2 2 2 N12 :1: +1, N22 :1: - +1.

(247) В репере R фокусы эквигиперболы принадлежат первому абсолютному углу, следовательно, фокальный параметр f линии – число действительное:

1 f = N11N21 = N12 N =.

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.