WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 34 |

Во множество 1 (2) отнесем все точки М квадранта W1 (W2), для которых выполняется равенство:

h (MH1) = h (MH2).

(156) Покажем, что объединение множеств 1, 2 является орипараболой с асимптотой h, касающейся второй прямой абсолюта.

1. Прямую h зададим в каноническом репере R уравнением: x3 = 0. Тогда ее несобственные точки Н1, Н2 в репере R имеют координаты: Н1 (1:1:0), Н2 (1: –1: 0). Прямую а проведем через единичные точки изотропных координатных прямых Е13(1:0:1), Е23(0:1:1).

Для произвольной точки М (x1: x2: x3) копсевдоевклидовой плоскости равенство (156) в координатах имеет вид:

x3 x =.

2 (157) x1 + x(x1 - x2) Если точка М принадлежит квадранту W1 (W2), содержащему точку Е(Е23) то для ее координат согласно условиям (22), (30) главы 1 выполняются неравенства:

- x x1 - x2 x2 2 2 > 0, < 0, x1 - x2 > 0, (x1 - x2 < 0), (158) x3 x следствием которых является неравенство:

x> 0.

(159) x1 + xИз условий (157), (159) получаем каноническое уравнение орипараболы (154) при > 0. Следовательно, если точка М квадранта W1 (W2) удовлетворяет условию (156), то есть принадлежит одному из множеств (2), то она принадлежит орипараболе (154) при > 0.

2. Обратно. Пусть точка М с координатами (m1: m2: m3) в репере R принадлежит орипараболе (154) при > 0 с асимптотой h. Прямые МН1, МН2, параллельные прямой h, имеют в репере R уравнения:

МH1 : m3x1 - m3x2 + (m2 - m1) x3 = 0, (160) МH2 : m3x1 + m3x2 - (m1 + m2) x3 = 0.

Расстояния между прямыми в парах h, MH1 и h, MH2 равны:

m3 mh MH1 =, h MH2 =.

(161) m1 - m2 m1 + mУсловие (154) для координат точки М имеет вид:

m3 =.

m1 + m(m1 - m2) Умножив обе части последнего равенства на m3, получаем:

m3 m =.

2 (162) m1 + m(m1 - m2) По условию > 0, следовательно, правая часть равенства (162) положительна, то есть согласно неравенству (159) точка М принадлежит одному квадранту относительно прямой h либо с точкой Е13, либо с точкой Е23(0:1:1). Условия (161), (162) приводят к равенству (156).

Таким образом, каждая точка орипараболы (154) при > 0 принадлежит одному из множеств 1, 2. Что и требовалось доказать.

5.11 Гипербола 1. Пусть гипербола копсевдоевклидовой плоскости задана в некотором каноническом репере R уравнением (1). Присоединим репер R к гиперболе следующим образом. Вершины А1, А2 репера поместим на полярную ось р линии (рис. 56). Тогда уравнение (23) полярной оси линии принимает вид (25), то есть в уравнении (1) а13 = а23 = 0. Концы полярного диаметра зададим координатами:

K1(1: : 0), K2 = A2(0 :1: 0), (163) где – действительное число. Тогда в уравнении (1) а22 = 0, а11 = –2а12.

Линия – овальная, поэтому определитель матрицы ее координат отличен от нуля, следовательно, а12 0. После замены а- = (164) 2ауравнение (1) принимает вид:

2 x1 - x1x2 + x3 = 0.

(165) Точки пересечения линии (165) прямыми абсолюта l1(x1 = x2), l2(x1 = –x2), идеальные точки линии, имеют соответственно координаты:

Т1( : : 1- ), Т12( : : - 1- ), (166) 1 Т2( - : - - : 1+ ), Т2( - : - - : - 1+ ).

l1 flNhFА2=KF2 p hA1 KР Рис. Условимся, что гипербола пересекает первую абсолютную прямую в действительных точках, а вторую – в мнимо сопряженных. Тогда коэффициенты уравнения (165) удовлетворяют неравенствам:

> 0, || < 1. (167) Уравнение (165) при условиях (167) назовем каноническим уравнением гиперболы. В тангенциальных координатах при условиях (167) каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

2 4X2 + 4X1X2 - X3 = 0.

(168) 2. Матрица симметрии относительно полярной оси гиперболы (165), (167) имеет вид (34). Очевидно, в преобразовании (34) линия переходит в себя. Следовательно, гипербола симметрична относительно своей полярной оси. В силу того, что симметрия – преобразование первого вида, каждый абсолютный угол содержит одну связную ветвь гиперболы, симметричную относительно полярной оси линии.

Предположим, что S – центр гиперболы (165), (167). Учитывая, что центр линии принадлежит ее полярной оси (теорема 1), координаты точки S в репере R примем в виде: S (1: s : 0). Тогда матрица симметрии относительно точки S ((95), глава 4) имеет вид:

-(s2 +1) 2s Zs = - 2s s2 +1 0.

(169) 0 0 1- s Найдем образ ' линии при симметрии, заданной матрицей (169):

x12((1+ s2) - 2s(1+ s2))+ x22(4s2 - 2s(1+ s2))+ (170) 2 + x1x2(4s2 - 4s(1+ s2)+ (1+ s2) )+ x32(1- s2) = 0.

Нас интересуют значения s, при которых линия ' (170) совпадает с линией (165), (167). Приравнивая соответствующие координаты указанных квадрик, учитывая их однородность, получаем систему уравнений относительно s:

s2)2 - 2s(1+ s2)= -(4s2 - 4s(1+ s2)+ s2)(1+ (1+ ), 4s2 - 2s(1+ s2)= 0, (171) 2 -(4s2 - 4s(1+ s2)+ (1+ s2) )= (1- s2).

Система уравнений (171) имеет два комплексных, взаимно сопряженных решения:

s1,2 = ± -1.

(172) Следовательно, гипербола имеет два мнимо сопряженных центра:

2 S1(1: + -1 : 0), S2(1: - -1 : 0).

(173) По построению центры гиперболы являются серединами квазиотрезков, один из которых совпадает с полярным диаметром линии, другой – со смежным полярному диаметру квазиотрезком.

Найдем уравнения прямых, попарно соединяющих идеальные точки (166) гиперболы (165), (167).

1 Т1Т2 : x1( -1 + +1)+ x2( -1 - +1)- 2i x3 = 0, (174) T12T22 : x1( -1 + +1)+ x2( -1 - +1)+ 2i x3 = 0.

1 Т1Т2 : x1( -1 - +1)+ x2( -1 + +1)- 2i x3 = 0, (175) T12T2 : x1( -1 - +1)+ x2( -1 + +1)+ 2i x3 = 0.

Прямые в парах (174), (175) пересекаются в точках S1, S2 соответственно.

Доказаны теоремы.

Теорема 20. Гипербола имеет два мнимо сопряженных центра.

Теорема 21. Центры гиперболы и общая точка абсолютных прямых являются диагональными точками полного четырехвершинника, образованного идеальными точками линии.

3. Инвариант (§2) гиперболы (165), (167) – число в общем случае мнимое и зависит только от коэффициента уравнения (165). Действительно, по формуле (19) главы 1 гиперболический косинус длины полярного диаметра K1K2 (163) гиперболы равен:

i г = chK1K2 =.

(176) 1Очевидно, инвариант является числом действительным тогда и г только тогда, когда = 0. Коэффициент назовем главным параметром гиперболы.

По формуле (21) §3 найдем полюсы абсолютных прямых l1, lотносительно линии :

F1(1: 2 -1: 0), F2(1: 2 +1: 0).

(177) Возможны два случая.

1. Если 0, то F1, F2 – собственные точки плоскости. Следовательно, F1, F2 – фокусы гиперболы. Гипербола является фокальной.

2. Если = 0, то F1, F2 – несобственные точки копсевдоевклидовой плоскости, бесконечно удаленные точки полярной оси линии. Гипербола в этом случае является нефокальной.

Каноническое уравнение нефокальной гиперболы имеет вид:

x1x2 - x3 = 0.

(178) Концы полярного диаметра нефокальной гиперболы гармонически разделяют прямые абсолюта и в присоединенном каноническом репере являются собственными для плоскости координатными вершинами А1, А2.

Инвариант каждой нефокальной гиперболы равен нулю, следовательно, все нефокальные гиперболы копсевдоевклидово эквивалентны.

Действительные асимптоты гиперболы, касательные к линии в ее действительных идеальных точках, в присоединенном репере заданы уравнениями:

h = Т1 F1 : x1(1- 2)+ x2 - 2 (1-) x3 = 0, (179) h = T12F1 : x1(1- 2)+ x2 + 2 (1-) x3 = и пересекаются во внешнем фокусе F1 линии.

Если 0, то асимптоты гиперболы не параллельны и образуют угол величиной :

(1+).

= h h = 1 (180) (1-) Если = 0, то асимптоты гиперболы параллельны, расстояние между ними равно:

h h =.

1 (181) Очевидно, все точки гиперболы принадлежат при 0 углу, при = полосе между асимптотами h1, h2.

Фокальная ось f2 линии, изотропная прямая, проходящая через внутренний фокус F2, имеет в репере R уравнение:

f2 : x1(2 +1)- x2 = (182) и пересекает гиперболу в действительных точках:

1+, N21: 2 +1: - 1+.

N11: 2 +1:

(183) Фокальный параметр f гиперболы, соответствующий оси f2, равен:

i f = F2N1 = F2N2 =.

(184) Если > 0, то внутренний фокус F2 гиперболы принадлежит второму абсолютному углу, фокальный параметр f в этом случае – число мнимое.

Если < 0, то фокус F2 принадлежит первому абсолютному углу, фокальный параметр f – число действительное.

4. Пусть – некоторое положительное число, а W – множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, проекции которых на данную неизотропную прямую принадлежат ее данному квазиотрезку K1K2.

Имеет место теорема.

Теорема 22. Совокупность всех точек М множества W, для которых выполняется равенство:

(K1, МK ) (K, MK ) =, (185) 2 2 является гиперболой с полярным диаметром K1K2.

Доказательство. I. Концы данного квазиотрезка зададим в некотором каноническом репере R координатами: K1 (1: : 0), K2 (0:1:0). Точки K1, Kпринадлежат различным абсолютным углам, поэтому для числа согласно неравенству (24) главы 1 примем условие:

|| < 1. (186) Для произвольной точки М (x1: x2: x3) копсевдоевклидовой плоскости прямые MK1, MK2 в репере R имеют уравнения:

MK1 : x3X1 - x3X2 + (x2 -x1)X3 = 0, (187) MK2 : x3X1 - x1X3 = 0, где (X1: X2: X3) – координаты текущей точки прямой.

Условие (185) с учетом неравенства (186) в координатах имеет вид:

x= 1 -.

(188) x1 - x1xПусть для определенности квазиотрезок K1K2 содержит точку Н1 (1:1:0) первой абсолютной прямой. Координаты точки М', проекции точки М на прямую K1K2, имеют вид: М' (x1: x2: 0). Если точка M принадлежит множеству W, то точка М' принадлежит квазиотрезку K1Н1K2, следовательно, выполняется условие:

(M H1K1K2 ) > 0, (189) которое в координатах имеет вид:

x1( -1)(x1 - x2 ) > 0, (190) или с учетом неравенства (186) вид:

x1(x1 - x2 ) < 0.

(191) Уравнение (188) при условии (191) принимает вид (165), где = > 0.

(192) 1 - Таким образом, все точки множества W, удовлетворяющие условию (185), принадлежат гиперболе с полярным диаметром K1K2, содержащим действительную точку первой абсолютной прямой.

II. Обратно. Если точка М (x1: x2: x3) принадлежит гиперболе (165), (167) с полярным диаметром K1K2, то для ее координат выполняется неравенство (191). Следовательно, проекция точки М на полярную ось линии, точка М' (x1: x2: 0) удовлетворяет условию (189), то есть принадлежит квазиотрезку K1Н1K2, где Н1 – точка первой абсолютной прямой. Сама точка М в этом случае принадлежит множеству W.

Покажем, что для точки М выполняется неравенство (185).

Прямые MK1, MK2 в присоединенном репере R гиперболы имеют уравнения (187), поэтому x3 x(K1, МK ) (K, MK ) = = 2 2 - 1x1 - xx1 1 - (193) x=.

2 -1 x1 - x1xС учетом условий (165), (167), (191) при замене (192) получаем равенство (185). Следовательно, каждая точка гиперболы (165), (167) принадлежит совокупности.

Что и требовалось доказать.

5.12 Оригипербола 1. Пусть оригипербола копсевдоевклидовой плоскости задана в каноническом репере R общим уравнением (1), где а33 = 0. Присоединим R к линии. Учитывая, что полярная ось оригиперболы – изотропная прямая, поместим на нее (рис. 57) координатную прямую А1А3, тогда уравнение (23) полярной оси р линии в репере R будет иметь вид:

x2 = 0.

(194) Следовательно, в уравнении (1) а13 = 0.

Неизотропную координатную прямую А1А2 проведем через идеальные точки линии, тогда эти точки в репере R имеют координаты: Н1 (1:1:0), Н2 (1:–1:0). Принадлежность точек Н1, Н2 линии дает следующие условия на координаты линии:

а11 + 2а12 + а22 = 0, (195) а11 - 2а12 + а22 = 0, откуда получаем: а22 = – а11, а12 = 0.

Уравнение (1) линии принимает вид:

2 а11x1 - a11x2 + 2a23x2x3 = 0.

(196) H h hllX1 hH1 T Y AH2 p 7 X2 LF1 АFР d L Рис. Полюсы абсолютных прямых l1, l2 (22) относительно линии в репере R заданы координатами:

F1(- a23 : 0 : a11), F2(a23 : 0 : a11).

(197) В уравнении (196) а23 0, так как в противном случае это уравнение задает вырожденную абсолютную квадрику. Следовательно, F1, F2 – собственные точки плоскости, фокусы оригиперболы.

Введем обозначение:

а = а11.

При необходимости меняя порядок следования единичных точек Н1, Нкоординатной прямой А1А2, то есть меняя порядок следования абсолютных прямых, число выберем положительным.

Фокусы линии теперь имеют координаты:

F1(- : 0 :1), F2( : 0 :1), (198) а уравнение (196) принимает вид:

2 x1 - x2 + 2x2x3 = 0.

(199) Уравнение (199) при > 0 назовем каноническим уравнением оригиперболы.

Каноническое уравнение оригиперболы в тангенциальных координатах имеет вид:

2 2 X1 -X2 X3 + X3 = 0.

(200) Присоединенный канонический репер определен с точностью до порядка следования точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1:0:–1) изотропной прямой А1А3.

2. Исследуем оригиперболу по ее каноническому уравнению.

Очевидно, оба фокуса оригиперболы – точки внешние по отношению к линии. Фокальная ось оригиперболы совпадает с ее полярной осью.

Расстояние между фокусами оригиперболы равно:

f = F1F2 = (201) и при данном расположении присоединенного канонического репера является числом действительным.

При < 0 получим уравнение оригиперболы, симметричной оригиперболе (199) ( > 0) относительно координатной прямой А1А2.

Собственную для плоскости прямую d, соединяющую идеальные точки линии, назовем базой оригиперболы. В репере R база оригиперболы (199) содержит собственные вершины репера и имеет уравнение:

d = H1H : x3 = 0.

(202) База оригиперболы не имеет с линией собственных для плоскости общих точек, следовательно, при данном выборе репера первый абсолютный угол содержит две связные ветви оригиперболы, второй – одну. Все точки оригиперболы, расположенные во втором абсолютном углу, принадлежат одному квадранту относительно базы линии. Покажем, что ветви оригиперболы, принадлежащие первому абсолютному углу, расположены в различных квадрантах относительно базы оригиперболы.

Пусть прямая, проходящая через первую вершину А1 репера, пересекает оригиперболу (199) в точках А, B первого абсолютного угла. Тогда для координат (а1: а2: а3), (b1: b2: b3) этих точек справедливы условия:

2 2 a2b3 = a3b2, a1 - a2 > 0, b12 - b2 > 0, 2 2 a1 - a2 + 2a2a3 = 0, b12 - b2 + 2b2b3 = 0.

Следовательно, в репере R данные точки можно задать координатами:

А(а1: а2: а3), B(– а1: а2: а3). Неравенство (30) главы 1 для точек А, В и прямой d не выполняется, следовательно, эти точки принадлежат различным квадрантам относительно прямой d. Утверждение доказано.

Изотропная асимптота оригиперболы (199) совпадает с ее полярной осью и имеет в присоединенном репере уравнение (194).

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.