WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 34 |

2 (M, a) (M,b) - = ±(t - n), (127) t n где знак «+» («–») соответствует гиперболической параболе с вершиной в первом (втором) абсолютном углу.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 11.

Отметим лишь, что по условию полярная ось линии не принадлежит полосе между данными прямыми, поэтому прямые а и b в присоединенном репере R гиперболической параболы (88) при < 0 зададим уравнениями:

a : t x1 - t x2 + x3 = 0, (128) b : n x1 - n x2 + x3 = 0, где t и n – положительные числа.

Теоремы 11, 12 позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 13. Пусть а и b – параллельные прямые копсевдоевклидовой плоскости, расстояние между которыми равно, а, µ – ненулевые действительные числа (+µ0). Множество всех точек М копсевдоевклидовой плоскости, для которых выполняется равенство:

µ 2 2 (M, a)+ µ (M,b) = ±, (129) + µ где знак «+» («–») соответствует точкам M первого (второго) абсолютного угла, является при µ > 0 параболой, при µ < 0 гиперболической параболой.

Доказательство. I. Предположим, что прямые а и b пересекаются на первой прямой абсолюта l1, тогда в соответствующем каноническом репере прямые а, b можно задать уравнениями:

a : x1 - x2 + 2x3 = 0, (130) b : x1 - x2 - 2x3 = 0.

Чтобы упростить выкладки обозначим правую часть равенства (129) :

µ = ±.

(131) + µ Если точка М (x1: x2: x3) копсевдоевклидовой плоскости принадлежит множеству, то есть выполняется равенство (129), то ее координаты удовлетворяют уравнению:

2 2 2 2 2 x1 ( + µ - 4 )- 2 x1x2( + µ)+ x2( + µ + 4 )+ (132) + 4x1x3( - µ)- 4x2x3( - µ)+ 4x3 ( + µ) = 0.

Исследуем линию, заданную уравнением (132).

Координаты общих точек и первой прямой абсолюта удовлетворяют уравнениям (132) и x1 = x2, следствием которых является уравнение:

x3 ( + µ) = 0.

(133) Уравнение (133) имеет единственный корень x3 = 0, следовательно, прямая l1 касается линии в точке Н (1:1:0).

Координаты точек пересечения линии и второй прямой абсолюта удовлетворяют уравнениям (132) и x1 = – x2, следствием которых является уравнение:

2 2 x1 ( + µ)+ 2x1x3( - µ)+ x3 ( + µ) = 0.

(134) Дискриминант последнего уравнения равен:

D = -8 µ.

(135) Если µ > 0, то уравнение (134) не имеет действительных корней, то есть прямая l2 не имеет действительных общих точек с линией, следовательно, по определению – парабола. Если µ < 0, то прямая l2 пересекает линию в двух действительных точках, следовательно, – гиперболическая парабола.

Таким образом, каждая точка множества принадлежит при µ > параболе, при µ < 0 – гиперболической параболе.

II. Обратно. Покажем, что каждая точка линии (132) принадлежит соответствующему множеству.

Полярная ось р линии (132) имеет уравнение:

( - µ)x1 - ( - µ)x2 + 2( + µ)x3 = 0.

(136) Сложное отношение четырех прямых a, b, p, l1 пучка с центром в точке Н равно:

2 - ( - µ) 2( + µ) 1 µ (ab pl1)= = -.

(137) 2 - 1 0 ( - µ) 2( + µ) Если µ > 0, то (ab pl1) < 0, следовательно, прямая р принадлежит полосе ab. Если µ < 0, то (ab pl1) > 0 и прямая р не принадлежит полосе ab.

Расстояния от полярной оси р линии (132) до прямых а, b равны:

µ t = pa =, n = pb =.

(138) + µ + µ Фокус F линии (132) при условии (131), соответственно знаку этого условия, имеет координаты:

µ - F ± µ + 2µ : mµ + 2µ : ±µ.

(139) + µ Знак «+» («–») согласно неравенству (4) главы 1 соответствует точке F первого (второго) абсолютного угла.

Квадрат главного параметра линии (132) равен:

µ 2 = ±4, (140) ( + µ) следовательно, для чисел t и n из (138) выполняются условия теорем 11, 12.

Пусть М – точка линии (132). Случаи принадлежности точки М различным абсолютным углам рассмотрим отдельно.

1. М принадлежит первому абсолютному углу. Докажем выполнение равенства (129) со знаком «+».

В этом случае фокус линии (132), а, следовательно, и ее вершина принадлежат первому абсолютному углу.

Если µ > 0, то линия – парабола первого абсолютного угла, полярная ось которой принадлежит полосе ab. Согласно теореме 11 каждая точка параболы удовлетворяет условию (122) со знаком «+». При подстановке в это условие значений t, n из (138) получим равенство (129) со знаком «+».

Если µ < 0, то линия (132) – гиперболическая парабола, полярная ось которой не принадлежит полосе ab. Так как вершина линии – точка первого абсолютного угла, то по теореме 12 для каждой точки линии справедливо равенство (127) со знаком «+». Подстановка значений t и n из (138) приводит к равенству (129) со знаком «+».

2. М принадлежит второму абсолютному углу. Докажем, что М удовлетворяет условию (129) со знаком «–».

Фокус и вершина линии (132) в данном случае принадлежат второму абсолютному углу.

Если µ > 0, то линия – парабола второго абсолютного угла, полярная ось которой принадлежит полосе ab. По теореме 11 для каждой точки линии имеет место равенство (122) со знаком «–», которое при t, n из (138) дает равенство (129) со знаком «–».

Если µ < 0, то по теореме 12 для каждой точки гиперболической параболы (132), полярная ось которой не принадлежит полосе ab, выполняется равенство (127) со знаком «–», которое при подстановке значений t и n из (138) совпадает с равенством (129) со знаком «–».

Таким образом, каждая точка линии (132) принадлежит соответствующему множеству. Что и требовалось доказать.

5.9 Бипарабола 1. Пусть овальная линия, заданная в некотором каноническом репере R общим уравнением (1), является бипараболой. Получим каноническое уравнение линии. Все рассуждения проведем для бипараболы первого абсолютного угла. Неизотропную координатную прямую А1А2 репера R совместим с полярной осью р линии (рис. 54). Тогда уравнение (23) полярной оси линии принимает вид: x3 = 0. Следовательно, коэффициенты а13, а23 общего уравнения линии обращаются в нуль.

Учитывая, что бипарабола касается каждой прямой абсолюта, несобственные точки Н1(1:1:0), Н2(–1:1:0) прямой А1А2 поместим на линию, тогда в уравнении (1) а12 = 0, а22 = –а11. Точкам Т1, Т2 пересечения линии с прямой А1А3, сопряженным относительно пары А1, А3, присвоим координаты:

T1( : 0 :1), T2(- : 0 :1), (141) где – положительное число.

T1 l1 lА2 AH1 H2 p TР = АРис. После чего уравнение (1) принимает вид:

2 2 2 x1 - x2 - x3 = 0.

(142) Уравнение (142) назовем каноническим уравнением бипараболы.

В тангенциальных координатах каноническое уравнение бипараболы имеет вид:

2 2 2 X12 - X - X3 = 0.

(143) Присоединенный канонический репер линии построен с точностью до порядка следования точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1:0:–1) изотропной прямой А1А3.

2. Матрица симметрии относительно полярной оси р (x3 = 0) бипараболы в присоединенном репере R имеет вид (34). Каждая точка М (x1: x2: x3) бипараболы (142) при симметрии (34) переходит в точку М' (x1: x2: –x3), также принадлежащую бипараболе. Следовательно, бипарабола симметрична относительно своей полярной оси.

Если S – центр бипараболы, то по теореме 1 S принадлежит полярной оси линии. Поэтому в репере R точку S можно задать координатами: S (s:1:0).

Определим значение s, учитывая, что точка S – центр симметрии линии.

Матрица симметрии относительно точки S ((95), глава 4) имеет вид:

-(s2 +1) 2s Zs = - 2s s2 +1 0.

(144) 0 0 s2 - Преобразуем линию (142) по закону (144) в линию '. В координатах (x'1: x'2: x'3) линия ' задана уравнением:

(s2 -1)(x12 - x22 - x32)= 0.

(145) Так как S – центр симметрии линии, то в преобразовании (144) бипарабола (142) переходит в себя. Очевидно, линии и ' совпадают при любом значении s, отличном от ± 1. Следовательно, бипарабола имеет бесконечное множество центров. При s = ± 1 точка S совпадает с одной из идеальных точек Н1(1:1:0), Н2(–1:1:0) бипараболы и согласно определению не является центром линии. Доказана теорема.

Теорема 14. Центром бипараболы является каждая собственная точка ее полярной оси.

3. Пусть изотропная прямая l, заданная в репере R уравнением:

l : x1 = tx2, (146) пересекает бипараболу (142) в точках N1, N2, а полярную ось бипараболы в точке N. В репере R указанные точки имеют координаты:

t2 -, N2t :1: - t2 -1.

N(t :1: 0), N1t :1:

(147) Точки N1, N2 – действительные, если | t | > 1, то есть если прямая l принадлежит первому абсолютному углу. Точки N1, N2 принадлежат различным квадрантам относительно полярной оси линии, так как для их координат выполняется неравенство, противоположное по знаку неравенству (30) главы 1. Следовательно, бипарабола состоит из двух связных ветвей, расположенных в различных квадрантах, образованных прямой p.

Определим длину изотропных отрезков NN1, NN2:

h = NN1 = NN2 =.

(148) Число h (для бипараболы первого (второго) абсолютного угла вещественное положительное (мнимое)) не зависит от параметра t прямой l, следовательно, все изотропные прямые абсолютного угла, содержащего бипараболу, высекают на бипараболе хорды одной длины.

h = 1: назовем высотой бипараболы (142). По определению Число расстояния от точки до неизотропной прямой высота бипараболы равна расстоянию от каждой точки бипараболы до ее полярной оси.

С другой стороны, каждая точка первого абсолютного угла, расстояние от которой до данной прямой р есть постоянная положительная величина h, принадлежит бипараболе.

Действительно. Пусть данная прямая р в каноническом репере R задана уравнением x3 = 0, тогда расстояние от произвольной точки М (x1: x2: x3) плоскости до прямой р равно:

x(М, р)=.

(149) 2 x1 - xЕсли для точки М выполняется равенство: (М, р) = h, то координаты точки М удовлетворяют уравнению:

x= h.

(150) 2 x1 - xh = 1:, получим уравнение (142) Полагая в равенстве (150) бипараболы высотой h первого абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости, полярная ось которой совпадает с прямой р.

Доказана теорема, которая дает возможность определить бипараболу метрически.

Теорема 15. Множество всех точек первого абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости, расстояния от которых до данной неизотропной прямой р есть постоянная положительная величина h, является бипараболой с высотой h и полярной осью р.

Данным метрическим свойством обладает эквидистанта плоскости Лобачевского, поэтому бипараболу копсевдоевклидовой плоскости можно по аналогии называть эквидистантой, а ее полярную ось – базой эквидистанты. В литературе (см., например, [2, стр. 271]) эквидистанту часто определяют как множество точек некоторой полуплоскости относительно базы эквидистанты, удаленных от базы на расстояние h, то есть эквидистантой называют только одну из двух связных ветвей соответствующей овальной линии.

Следствием теоремы 15 и теоремы 5 главы 2 является следующая теорема.

Теорема 16. Множество точек первого абсолютного угла пересечения всевозможных прямых а и b, параллельных данной неизотропной прямой р, произведение расстояний от которых до прямой р есть постоянная величина h2, является бипараболой с высотой h и полярной осью р.

Из теоремы 16 и теоремы 7 главы 2 получаем еще одно метрическое определение бипараболы.

Теорема 17. Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости попарного пересечения прямых, образующих угол заданной величины и параллельных данной неизотропной прямой, является бипараболой.

4. Определим бипараболу как огибающую некоторой совокупности прямых.

Теорема 18. Огибающая совокупности всех прямых копсевдоевклидовой плоскости, образующих угол заданной величины с данной прямой является бипараболой.

Доказательство. I. Пусть данная прямая h является координатной прямой А1А2 некоторого канонического репера, а прямая x (X1: X2: X3) копсевдоевклидовой плоскости образует с прямой h угол величиной h = 1:. Тогда координаты прямой x удовлетворяют уравнению:

2 X1 X - =, (151) X X 3 которое после соответствующих преобразований принимает вид (143), то есть задает бипараболу в тангенциальных координатах.

II. Обратно. Если прямая x (X1: X2: X3) копсевдоевклидовой плоскости является касательной к бипараболе (143), то имеет место равенство:

2 X12 = X + X3, 2 (152) с учетом которого мера угла между прямыми x и h равна:

2 X1 X - xh = =.

(153) X X 3 Что и требовалось доказать.

5.10 Орипарабола 1. Пусть орипарабола задана в каноническом репере R общим уравнением (1). Предположим, что (рис. 55) касается второй прямой абсолюта l2 (x1 = –x2). Согласно рассуждениям §3 для коэффициентов уравнения (1) выполняются условия: а33 = 0, а23 = а13.

Совместим асимптоту h линии с неизотропной координатной прямой А1А2 репера R, тогда в уравнении (1): а11 = а22 = –а12.

Точке Т пересечения линии с изотропной координатной прямой А1Априсвоим координаты: Т(:0:1), где – действительное число.

llА2 H1 A1 H2 h T Р = А Рис. Координаты точки Т обращают уравнение (1) в верное равенство, следовательно, 2а13 = а12.

Итак, каноническое уравнение орипараболы имеет вид:

(x1 - x2) - x3(x1 + x2)= 0.

(154) Присоединенный канонический репер R построен с точностью до порядка следования координатных вершин А1, А2 и точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1: 0: –1) изотропной прямой А1А3.

В тангенциальных координатах каноническое уравнение орипараболы имеет вид:

(X1 - X ) - 4X3(X1 + X ) = 0.

(155) 2 Каждый абсолютный угол содержит одну связную ветвь орипараболы.

В §3 показано, что орипарабола не имеет полярной оси. Следовательно, с учетом теоремы 1 имеет место теорема.

Теорема 19. Орипарабола является нецентральной овальной линией.

Предположим, что орипарабола имеет ось симметрии l. Прямая h' – образ асимптоты h орипараболы при симметрии относительно прямой l должна быть также касательной к линии в ее идеальной точке. Но в этом случае h' совпадает либо с прямой h, либо с прямой абсолюта. Последнее невозможно, так как образ собственной для плоскости прямой не может быть бесконечно удален. Если прямые h' и h совпадают, то h – ось симметрии линии, следовательно, в каждом абсолютном углу орипарабола содержит точки, принадлежащие различным квадрантам относительно h. Что противоречит тому, что h – касательная данной овальной линии. Таким образом, орипарабола не имеет осей симметрии.

2. Пусть h – неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости с несобственными точками Н1, Н2, а – параллельная ей прямая, проходящая, например, через точку Н2 второй абсолютной прямой, – действительное положительное число. В первом (втором) абсолютном углу прямая а определяет квадрант W1 (W2) относительно прямой h, содержащий точки прямой а.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.