WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 34 |

Именно с такими, и только с такими, прямыми мы встречаемся в евклидовом мире. Поэтому для нас так сложно представлять прямую замкнутой. Вообще, такие прямые, их называют аффинными, или параболическими [8, стр. 155], существуют не только в евклидовом мире. Все прямые, например, пространств Минковского и Галилея [3], [7], [10] являются аффинными. По параболическим прямым можно «гулять в сторону». Строгое обоснование этого факта будет дано в §5. Там же приведем основные понятия и отношения для точек аффинных прямых.

Если бесконечно удаленными точками проективной прямой являются две мнимо сопряженные точки (на рисунке 1, в точки K1, K2), то прямую будем называть эллиптической. Эллиптическими прямыми являются все прямые эллиптического пространства, или пространства Римана [8], [9].

Можно представлять, что приближаясь к этой точке, температура окружающей области, в том числе и нашего тела, снижается, а в самой точке равна абсолютному нулю, то есть движение молекул прекращается, прекращается и наше существование.

Полагая, что по мнимой точке произвести разрез прямой невозможно, мы получаем замкнутую эллиптическую прямую. Но наличие бесконечно удаленных точек K1, K2 существенно отличают эллиптическую прямую от проективной. Они дают возможность вводить для точек эллиптической прямой отношения и понятия, неприменимые к точкам проективной прямой (§§ 6, 7).

Наиболее интересными являются прямые с двумя действительными бесконечно удаленными точками, гиперболические прямые (рис. 1, г).

Разрезав такую прямую по недостижимым точкам, получим два ее «куска», каждый из которых имеет два направления, или две «стороны для прогулок».

Гиперболическими прямыми являются, например, прямые пространства Лобачевского. Во второй части пособия мы опишем геометрию гиперболических прямых, как неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости.

2. Все действительные прямые коевклидовой плоскости либо проходят через действительную абсолютную точку Р, либо пересекают абсолютные прямые в комплексно сопряжённых точках. То есть являются либо параболическими, либо эллиптическими прямыми. Прямые первого типа будем называть изотропными прямыми коевклидовой плоскости, второго – неизотропными.

Через каждую точку коевклидовой плоскости проходит одна и только одна изотропная прямая. Свойство прямой быть изотропной (неизотропной) инвариантно относительно преобразований группы G, так как в каждом преобразовании этой группы точка P является неподвижной.

На коевклидовой плоскости только для изотропных прямых имеет смысл понятие параллельности, то есть пересечения в бесконечно удаленной точке. В этом смысле все изотропные прямые параллельны.

1.4 Уравнение изотропной прямой. Отрезки и лучи изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой 1. Изотропные прямые коевклидовой плоскости в силу наличия бесконечно удаленной действительной точки P являются аффинными прямыми. Следовательно, на них могут быть введены понятия и отношения аффинной геометрии.

Пусть А (а1: а2: а3) – некоторая точка коевклидовой плоскости. Прямая AP в каноническом репере R имеет уравнение:

x1 x2 xa1 a2 a3 = 0, 0 0 2 или a2 x1 – a1 x2 = 0, где a1 + a2 0, так как точки A и P различны.

С другой стороны, каждая прямая, заданная уравнением x1 + µx2 = 0, (10) где 2 + µ2 0, содержит абсолютную точку P(0:0:1). Следовательно, уравнение (10) определяет изотропную прямую коевклидовой плоскости.

Две точки А и В коевклидовой плоскости назовем коллинеарными, если они принадлежат одной изотропной прямой. Обозначение: А||B.

Условие коллинеарности точек А (а1 : а2 : а3) и В (b1 : b2 : b3), заданных однородными координатами в некотором каноническом репере, в координатах имеет вид:

a1 a2 ab1 b2 b3 = 0, 0 0 или a1 : a2 = b1 : b2. (11) 2. Каждая точка А изотропной прямой разделяет множество всех точек этой прямой на два класса. Обоснуем это утверждение.

Пусть Р – действительная точка абсолюта. Если две точки U, V изотропной прямой l, содержащей точку А, не разделяют пару точек А и Р, то есть, если (UV AP) > 0, то будем говорить, что эти точки находятся в отношении. Обозначение: U V.

Отношение является отношением эквивалентности, так как обладает следующими свойствами.

10. Отношение рефлексивно. Действительно, для каждой точки М прямой l: М М, так как (ММ AР) = 1 > 0.

20. Отношение симметрично. Так как для любых точек М и N прямой l справедливо утверждение: если М N, то N М. Действительно, если (MN AР) > 0, то (NM AР)= (MN AР)> 0.

30. Отношение транзитивно. Для любых точек L, M, N прямой l имеем:

если L M и M N, то L N. Так как если (LM AР) > 0 и (MN AР) > 0, то (LN AР) = (LM AР)(MN AР) > 0.

Множество всех точек прямой АР разобьем на классы эквивалентности по отношению. Если две точки находятся в отношении, поместим их в один класс, если точки не находятся в отношении, поместим их в различные классы.

Для любой точки Т прямой АР существует единственная точка Т', четвертая гармоническая к тройке точек Т, А, Р. Точки Т и Т' принадлежат различным классам по отношению, так как (ТТ' АР) = – 1 < 0.

Для каждой точки М прямой АР имеет место равенство:

(ТТ' АР) = (ТМ АР)(МТ' АР) < 0, следовательно, числа (ТМ АР) и (МТ' АР) имеют разные знаки, поэтому точка М принадлежит либо классу, содержащему точку Т, либо классу, содержащему точку Т'. Таким образом, существует точно два класса эквивалентности по отношению. Каждый класс назовем лучом с началом в данной точке А. Будем говорить, что каждый луч с началом в точке А определяет направление на прямой l. Очевидно, на каждой изотропной прямой относительно ее некоторой точки существует точно два направления.

Рассуждая аналогично, можно доказать, что каждые две коллинеарные точки А и В разделяют множество всех точек содержащей их изотропной прямой на три класса.

Множество точек, состоящее из коллинеарных точек А, В и всех точек X, разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару A, B, назовём изотропным отрезком AB. Точки A и B назовём концами этого отрезка.

Множество всех точек изотропной прямой АВ, не разделяющих с точкой Р пару точек А и В, можно разбить точно на два класса так, чтобы любые две точки одного класса не разделяли пару точек А и Р, или, что равносильно, не разделяли пару точек В и Р. Каждый из классов является лучом с началом в точке А, или лучом с началом в точке В.

3. Пусть A, B, C – три различные точки изотропной прямой. Число –(ABCР), инвариантное относительно фундаментальной группы преобразований коевклидовой плоскости, назовём простым отношением трёх точек A, B, C изотропной прямой. Если (ABCР) = –t, то будем говорить, что точка C делит изотропный отрезок AB в отношении t. Обозначение:

(АВ,С) = t.

Если точка C принадлежит изотропному отрезку AB, то есть разделяет с точкой P пару точек A, B, то по определению t больше нуля.

Найдём формулы деления отрезка в данном отношении t.

Точки A, B, C лежат на одной изотропной прямой, согласно рассуждениям пункта 1 их координаты в каноническом репере R можно записать в виде A (µ: : a), B (µ: : b), C (µ: : c). Учитывая, что (ABCР)= – t, выразим c через a, b и t.

a b c 0 1 - a c (ABCP)= = = -t.

a b - b c 0 1 0 c Откуда a + bt c = (12) 1+ t Серединой изотропного отрезка AB назовём точку, которая с бесконечно удаленной точкой P гармонически разделяет пару A, B.

Если точка C – середина отрезка AB, то есть (ABCP)= –1, то формула (12) принимает вид a + b c =. (13) 1.5 Отрезки неизотропной прямой. Инвариант двух точек неизотропной прямой. Середины неизотропных отрезков 1. Каждая неизотропная прямая коевклидовой плоскости является эллиптической. Она замкнута и имеет две абсолютные мнимо сопряженные точки. Понятие направления, в привычном для нас смысле, на эллиптической прямой ввести нельзя. Так как никакая точка эллиптической прямой не разбивает ее на части.

Если провести рассуждения пункта 2 §4 для неизотропной прямой l коевклидовой плоскости и вместо абсолютной точки Р принять в рассуждениях некоторую точку В этой прямой, получим следующее утверждение.

Любые две точки А и В неизотропной прямой l коевклидовой плоскости разбивают множество всех точек этой прямой, за исключением точек А и В, на два непустых непересекающихся множества.

Каждое из этих множеств с точками А, В назовем неизотропным отрезком, определенным точками А и В (или отрезком АВ), и обозначим:

АВ. Точки А и В назовем концами отрезков АВ. Если указана некоторая точка T прямой l, то отрезок АВ, содержащий эту точку, будем обозначать АТВ.

В качестве определяющего для середины изотропного отрезка принято свойство середины отрезка общее для всех геометрий с аффинной базой [7].

Согласно определению для любых двух точек М, N одного неизотропного отрезка АВ имеем: (MN AB) > 0, то есть для каждой точки М неизотропного отрезка АТВ справедливо неравенство: (МТ АВ) > 0.

Пусть А, В, Т и N – точки неизотропной прямой l, причем (ТN АВ) < 0.

Различные неизотропные отрезки АТВ и ANB назовем смежными отрезками прямой l, определенными точками А и В, или кратко: смежными отрезками прямой l.

2. На евклидовой плоскости существуют имманентные, присущие природе плоскости, постоянные величины измерения углов. Например, прямой угол. Выбор прямого угла в качестве некоторого эталона измерения углов определен уже в знаменитом сочинении Евклида «Начала», в четвертом постулате: «требуется, чтобы все прямые углы были равны» [2, стр 244]. В чем же отличие прямого угла от любого другого Чем обусловлено его особое положение С проективной точки зрения все прямые углы расширенной евклидовой плоскости [2, стр. 7] характеризуются тем свойством, что их стороны гармонически разделяют комплексно сопряженные прямые, проходящие через вершину угла и циклические точки абсолюта [2, стр. 80].

Угол AOB (рис. 2) расширенной B евклидовой плоскости с бесконечно удаленной прямой АВ является прямым Jтогда и только тогда, когда A (J1J2 AB) = –1. Здесь J1, J2 – комплексно сопряженные, циклические точки, а J(J1J2 AB) – сложное отношение соответствующих четырех точек.

При условии (J1J2 AB) = – O выполняется равенство:

Рис. (J1J2 AB) = (J1J2 BА).

Это равенство с евклидовой точки зрения означает, что каждый прямой угол равен своему смежному углу. Следовательно, прямой угол – естественная константа измерения углов на евклидовой плоскости.

Для измерения расстояний между точками евклидовой плоскости таких естественных, то есть обусловленных строением абсолюта, констант не существует. Поэтому, измеряя отрезки евклидовой плоскости, мы вынуждены всякий раз вводить произвольно некоторый единичный отрезок.

Принцип измерения отрезков в евклидовом мире удачно представлен в мультфильме «Тридцать восемь попугаев». Помните ставшую на многие годы популярной реплику Удава: «А в попугаях-то я гораздо длиннее!» Руководствуясь принципом двойственности, на коевклидовой плоскости, на неизотропных ее прямых, следует ожидать наличие естественных констант измерения расстояний между точками. Другими словами, должен существовать инвариант двух точек неизотропной Kпрямой. Определим этот инвариант.

lР Если прямая а (рис. 3) пересекает Kабсолютные прямые l1 и l2 в комплексно сопряженных точках K1 и K2, то для l2 A любых её двух точек A и B существует инвариант группы преобразований B коевклидовой плоскости: (AB K1K2) – Рис. сложное отношение соответствующих четырёх точек.

Число ln(ABK K ) |AB| = 1 2 (14) 2i назовём расстоянием между точками А и В.

По свойству [2, стр. 30] сложного отношения четырех точек (AB K1K2)(BA K1K2) = 1, (AB K1K2)(AB K2K1) = 1, поэтому расстояние между двумя точками зависит и от порядка задания точек (|AB| = –|BA|), и от порядка задания абсолютных прямых, то есть, принята во внимание ориентация плоскости.

Для точек А, В, С, K1, K2 одной прямой [6, стр. 21] имеет место равенство:

(AB K1K2) = (AС K1K2)(СВ K1K2), согласно которому на основании равенства (14) для любой точки С прямой АВ имеем:

1 AB = ln(ABK K ) = ln[(ACK K )(CBK K )]= 1 2 1 2 1 2i 2i 1 = ln(ACK K )+ ln(CBK K ) = AC + CB.

1 2 1 2i 2i Следовательно, расстояние между точками обладает свойством аддитивности. Для любых трех точек A, B, C одной неизотропной прямой:

|AB| = |AC| + |CB|.

3. Выразим расстояние |АВ| через однородные координаты точек А(а1: а2: а3) и В(b1: b2: b3) в некотором правом каноническом репере R. Точки пересечения прямой АВ абсолютными прямыми (1) в репере R можно задать координатами: K1 (i: 1: k1) и K2 (–i: 1: k2), где k1, k2 – сопряженные комплексные числа. Поэтому в репере R имеем:

a1 a2 b1 bi 1 - i (a1 - ia2)(b1 + ib2).

(ABK1K2) = = a1 a2 b1 b(a1 + ia2)(b1 - ib2) (15) - i 1 i Комплексные числа а1 ± iа2, b1 ± ib2 в показательной форме имеют вид:

i i a + ia = e, b1 + ib = e, 1 2 1 2 (16) - i - i a - ia = e, b1 - ib = e, 1 2 1 2 2 2 1 = a1 + a2 2 = b12 + bгде, и a1 bcos =, cos =, 2 2 a1 + a2 b12 + b (17) a2 bsin =, sin =.

2 2 a1 + a2 b12 + bИз условий (15), (16) находим:

1e-i 2ei 2i (ABK1K2)= = e- e2i = e2i( - ).

1ei 2e-i Подставим это значение в формулу (14). Тогда 1 AB = ln(ABK K ) = ln e2i( - ) = - 1 2.

2i 2i Следовательно, cos AB = cos cos + sin sin, sin AB = cos sin - sin cos.

Согласно формулам (17) a1b1 + a2bcos AB = 2 2 a1 + a2 b12 + b2, (18) a1b2 - a2bsin AB = 2 a12 + a2 b12 + b2. (19) Если однородные проективные координаты одной из точек A, B умножить на отрицательное число, то знак правых частей в равенствах (18), (19) изменится на противоположный. Следовательно, формулами (18), (19) значения sin |AB|, cos |AB| определены с точностью до знака, аналогично измерению угла между двумя прямыми евклидовой плоскости [5, стр. 148].

(- ; ] Таким образом, формулами (18), (19) на промежутке определено четыре значения расстояния |AB| между точками A и B (±, ± ).

Для действительных чисел а1, а2, b1, b2 справедливы неравенства a1b1 + a2b2 a1b2 - a2b 1, 1. (20) 2 2 2 2 2 a1 + a2 b12 + b2 a1 + a2 b12 + bПоэтому расстояние между действительными точками, вычисленное по формулам (18), (19) является числом действительным.

4. Точки A и B будем называть ортогональными, если они гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых. В обозначениях, принятых для вывода формул (18), (19) для ортогональных точек А и В выполняется условие (AB K1K2) = – 1. По определению логарифмической функции комплексного переменного [11, стр. 329] имеем:

1 1 1 AB = ln(ABK1K2) = ln(-1) = [ln -1 + i arg(-1)]= [0 + i ]=.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.