WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 34 |

(86) l1 F lp AF H Ff Р Рис. Линия не содержит общую точку абсолютных прямых, следовательно, в уравнении (1) а33 0. Если в уравнении (1) а12 = 0, то определитель матрицы координат квадрики (1) равен нулю, что невозможно, так как – овальная линия. Следовательно, а12 0. Полагая а- =, (87) 2ауравнение (1) линии при условиях (86), (87) имеет вид:

2 x2 - x1x2 + x3 = 0, (88) где – ненулевое действительное число.

Если – парабола, то вторая прямая абсолюта, l2 (x1 = – x2), имеет с линией две общие мнимо сопряженные точки. Следовательно, в уравнении (88) для параболы > 0.

Если – гиперболическая парабола, то прямая l2 имеет с линией две общие действительные точки. Следовательно, в уравнении (88) для гиперболической параболы < 0.

Уравнение (88) при > 0 назовем каноническим уравнением параболы, при < 0 – каноническим уравнением гиперболической параболы.

В тангенциальных координатах уравнение (88) имеет вид:

X3 = 4X1(X1 + X2).

(89) Присоединенный канонический репер линии определен с точностью до порядка следования точек Е13 = А1 + А3, Е'13 = А1 – А3 изотропной координатной прямой.

2. Исследуем линию (параболу (рис. 52), гиперболическую параболу (рис. 53)) по ее каноническому уравнению (88).

Если (88) – парабола, то все ее точки принадлежат первому абсолютному углу в репере R.

Если (88) – гиперболическая парабола, то второй абсолютный угол в репере R содержит две связные ветви линии, а первый абсолютный угол – одну.

lNl AF H Nf Р Рис. Симметрия относительно полярной оси линии в репере R задана матрицей (34). Координаты точки М' (x1: x2: –x3), образа точки М (x1: x2: x3) линии в преобразовании (34), удовлетворяют уравнению (88).

Следовательно, линия симметрична относительно своей полярной оси.

Собственную для плоскости точку пересечения линии со своей полярной осью назовем вершиной линии. В присоединенном каноническом репере R вершиной линии является первая координатная вершина А1.

Полюс F прямой l2 относительно линии имеет в репере R координаты F(3 :1: 0) (90) и является собственной точкой копсевдоевклидовой плоскости.

Следовательно, F – фокус линии. Очевидно, фокус параболы – внутренний, фокус гиперболической параболы – внешний.

Фокальная ось f линии, изотропная прямая, проходящая через точку F, имеет в репере R уравнение x1 = 3x(91) и пересекает линию в точках F1(3 : : 2), F2(3 : : - 2).

(92) Фокальный параметр p линии равен p = FF1 = FF2 =.

(93) Фокальный параметр параболы, заданной уравнением (88) при > 0, является числом действительным положительным. Фокальный параметр гиперболической параболы, заданной уравнением (88) при < 0, – число мнимое.

Фокальный параметр параболы (гиперболической параболы), очевидно, инвариантен относительно движений псевдоевклидовой плоскости.

Идеальные точки линии в репере R имеют координаты:

H (1:1: 0), N1(- - : - : 2), N2( - : - - : 2).

(94) Мнимо сопряженные (действительные) прямые FN1, FN2:

FN1 : 2 x1 - 3 2 x2 + 4 - x3 = 0, (95) FN2 : 2 x1 - 3 2 x2 - 4 - x3 = являются касательными к линии (88) при > 0 ( < 0), следовательно, FN1, FN2 – асимптоты линии.

Все точки гиперболической параболы принадлежат углу, образованному прямыми FN1, FN2.

Действительными (мнимыми) осями линии (88) при > 0 ( < 0) назовем действительные (мнимо сопряженные) параллельные прямые НF1, НF2:

HF1 : x1 - x2 + 2 x3 = 0, (96) HF2 : x1 - x2 - 2 x3 = 0.

Мнимыми (действительными) осями линии (88) при > 0 ( < 0) назовем мнимо сопряженные (действительные) параллельные прямые НN1, НN2:

HN1 : x1 - x2 + - 2 x3 = 0, (97) HN2 : x1 - x2 - - 2 x3 = 0.

По формуле (19) главы 2 расстояние между параллельными прямыми НF1, НF2 (НN1, НN2) равно:

2 =.

= (HF1)(HF2) = (HN1)(HN2) = (98) Число – расстояние между действительными осями параболы (гиперболической параболы) – назовем главным параметром линии.

3. Исследуем линию на наличие центров. По теореме 1 центры овальной линии, если они существуют, принадлежат полярной оси линии.

Пусть S – некоторая точка полярной оси линии (88), заданная в присоединенном репере R координатами: (s:1:0), где s – действительное число. Определим значение s, при котором точка S является центром линии.

Каждую прямую h, проходящую через точку S в репере R можно задать уравнением:

h : x3 = t(sx2 - x1), (99) где t – параметр прямой.

Решения системы уравнений (88), (99) определяют координаты точек H1, H2 пересечения линии прямой h:

H1( 1+ 2st2 + 1+ 4t2(s -1) : 2t2 : h3), (100) H2( 1+ 2st2 - 1+ 4t2(s -1): 2t2 : h3), (101) 1 h3, h3 – некоторые не интересующие нас числа. По определению точка здесь S является центром линии тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

(SH1K1K2) = (H2SK1K2), (102) где точки K1, K2 – несобственные точки прямой h. В координатах условие (102) имеет вид:

2 2 s 1 + 2 st + 1 + 4 t (s - 1) 2 t 1 1 - = 2 2 s 1 + 2 st + 1 + 4 t (s - 1) 2 t 1 - 1 2 2 s 1 + 2 st - 1 + 4 t (s - 1) 2 t (103) 1 - 1 =.

2 2 s 1 + 2 st - 1 + 4 t (s - 1) 2 t 1 1 - После необходимых преобразований, учитывая, что параметр t – произвольное число, находим единственное значение s = 1, удовлетворяющее условию (103).

Таким образом, центром линии может быть единственная точка Н(1:1:0). Но точка Н принадлежит абсолютной прямой l1, а мы условились называть центром овальной линии только собственные точки плоскости, следовательно, линия не имеет центра.

Доказана теорема.

Теорема 8. Парабола (гиперболическая парабола) является нецентральной линией.

5.8 Метрические определения параболы и гиперболической параболы 1. Докажем метрическое свойство параболы.

Теорема 9. Сумма квадратов расстояний от каждой точки параболы до ее действительных осей есть величина постоянная, равная половине квадрата главного параметра параболы.

Доказательство. Пусть парабола копсевдоевклидовой плоскости задана в каноническом репере R уравнением (88) при > 0. Тогда ее действительные оси НF1, НF2 в репере R имеют уравнения (96), а главный параметр равен (98). Расстояния от произвольной точки М (x1: x2: x3) параболы до параллельных прямых НF1, НF2 равны:

x1 - x2 + 2 x3 x1 - x2 - 2 x(M, HF1) = ; (M, HF2) =.

(104) 2 2 2 2 x1 - x2 2 x1 - xСледовательно, 2 2 x1 - 2x1x2 + x2 + 2x2 (M, HF1)+ (M, HF2)= (105) 2 (x1 - x2 ).

Из уравнения (88) имеем:

2 x3 = x1x2 - x2, поэтому равенство (105) с учетом равенства (98) имеет вид:

2 (M, HF1)+ (M, HF2) =.

(106) Что и требовалось доказать.

Пусть теперь заданы две параллельные прямые а, b, расстояние между которыми ((19), глава 2) равно.

Докажем, что все точки копсевдоевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до прямых а и b есть постоянная величина, равная, принадлежат параболе с действительными осями а и b и главным параметром.

Для определенности будем считать, что прямые а и b пересекаются на первой абсолютной прямой. Неизотропную координатную прямую А1Аканонического репера R совместим с биссектрисой угла ab. Тогда прямые а и b в репере R можно задать уравнениями:

a : x1 - x2 + 2x3 = 0, (107) b : x1 - x2 - 2x3 = 0.

Пусть для точки М копсевдоевклидовой плоскости выполняется условие 2 (M, a)+ (M,b) =.

(108) Тогда для ее координат (x1: x2: x3) имеет место равенство 2 x1 - x2 + 2x3 x1 - x2 - 2x3 + =, (109) 2 2 2 2 x1 - x2 2 x1 - x2 которое после соответствующих преобразований имеет вид:

2 x2 - x1x2 + x3 = 0.

(110) После замены по формуле (98) числа (2: 2) на ( > 0) уравнение (110) совпадает с каноническим уравнением параболы (88). Уравнения (107) после указанной замены совпадают с уравнениями (96) действительных осей параболы (88).

Итак, точка М принадлежит параболе с действительными осями а и b и главным параметром. Что и требовалось доказать.

2. Для гиперболической параболы справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Произведение расстояний от произвольной точки М гиперболической параболы до ее действительных осей есть постоянная величина, равная квадрату половины главного параметра линии, взятому со знаком «плюс», если точка М и вершина гиперболической параболы принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус», если точка М и вершина линии принадлежат различным абсолютным углам.

Доказательство. Пусть М (x1: x2: x3) – произвольная точка гиперболической параболы (88) ( < 0), вершина которой принадлежит первому абсолютному углу. Действительные оси линии, параллельные прямые НN1, НN2, в присоединенном каноническом R репере имеют уравнения (97).

Найдем произведение расстояний от точки М до прямых НN1, НN2.

Координаты точки М удовлетворяют уравнению (88), поэтому x1 - x2 + - 2 x3 x1 - x2 - - 2 x(M, HN1)(M, HN2) = = 2 2 2 - 2 x1 - x2 - 2 x1 - x2 (x1 - x2 ) + 2xx1 - x= = = m.

(111) 2 2 2 - 2(x1 - x2 ) - 2(x1 - x2 ) 1. Если точка М принадлежит первому абсолютному углу, содержащему вершину гиперболической параболы, то справедливо неравенство (70).

Равенство (111) в этом случае имеет вид:

(M, HN1)(M, HN ) = - =, 2 (112) 2 где – главный параметр (98) линии.

2. Если точка М принадлежит второму абсолютному углу, то имеет место неравенство (73), при котором равенство (111) принимает вид:

(M, HN1)(M, HN ) = = -.

2 (113) 2 Что и требовалось доказать.

Дадим метрическое определение гиперболической параболы.

Пусть даны две действительные параллельные прямые b1, b2, расстояние между которыми равно. Полосу, образованную прямыми b1, b2 (§9, глава 1), обозначим через W1, а множество внешних точек полосы W1 – через W2.

Пусть 1 (2) – множество всех точек из W1 (W2), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых b1, b2 есть постоянная 2 - величина, равная.

4 Докажем, что объединение множеств 1, 2 является гиперболической параболой с действительными осями b1, b2 и главным параметром.

Для определенности будем считать, что общая точка прямых b1, bпринадлежит первой абсолютной прямой.

Канонический репер R построим так, чтобы данные прямые b1, b2 имели в нем уравнения (97), где < 0.

Тогда произведение расстояний от точки М с переменными координатами (x1: x2: x3) до прямых b1, b2 равно:

(x1 - x2 ) + 2x(М,b1)(M,b2 ) =.

(114) 2 - 2(x1 - x2 ) 1. Полоса W1 содержит, например, точку А1 биссектрисы угла между прямыми b1, b2. Поэтому если точка М принадлежит W1, то она с точкой Апринадлежит одному квадранту относительно каждой из прямых b1, b2.

Согласно формуле (20) главы 1 имеют место неравенства:

x1 - x2 + - 2 x> 0, (115) x1 - xx1 - x2 - - 2 x> 0, (116) x1 - xНеравенства (115), (116) приводят к неравенству:

(x1 - x2) + 2 x3 > 0, (117) которое характеризует принадлежность точки М полосе W1.

Согласно условию (114) аналитическая запись условия принадлежности точки М множеству 1 является системой неравенства (117) и уравнения (x1 - x2 ) + 2 x3 =.

(118) 2 - 2 (x1 - x2 ) 2 = Полагая, уравнение (118) приведем к виду (88) при < 0.

2. Каждая точка М множества W2 принадлежит с точкой А1 одному квадранту относительно прямой b1 (или b2) и различным квадрантам относительно прямой b2 (или b1), следовательно, для координат точки М выполняется неравенство:

(x1 - x2) + 2 x3 < 0, (119) при котором условие (114) имеет вид (x1 - x2 ) + 2 x(М,b1)(M, b2 ) =.

2 2 (120) 2(x1 - x2 ) 2 = Принадлежность точки М множеству 2 в координатах при приводит к уравнению (88) при условии (119), следовательно, при < 0.

Таким образом, если точка М принадлежит одному из множеств 1, 2, то она принадлежит гиперболической параболе с действительными осями b1, b2 и главным параметром. С другой стороны, согласно теореме 10 каждая точка гиперболической параболы с действительными осями b1, b2 и главным параметром принадлежит одному из множеств 1, 2. То есть гиперболическая парабола с действительными осями b1, b2 и главным параметром является объединением множеств 1, 2.

Что и требовалось доказать.

3. В данном пункте введем более общее определение параболы и гиперболической параболы. Предварительно докажем две теоремы, обобщающие утверждения теорем 9, 10 соответственно.

Теорема 11. Пусть заданы прямые a, b, параллельные осям параболы с главным параметром, расстояния которых до полярной оси параболы равны соответственно t и n, причем полярная ось параболы принадлежит полосе ab и имеет место равенство:

t n =. (121) Тогда для каждой точки параболы справедливо равенство:

2 (M, a) (M,b) + = ±(t + n), (122) t n где знак «+» («–») соответствует параболе первого (второго) абсолютного угла.

Доказательство. Пусть парабола первого абсолютного угла задана каноническим уравнением (88) при > 0. Тогда ее полярная ось l в присоединенном каноническом репере R имеет уравнение: x3 = 0. Прямые а и b в репере R можно задать уравнениями:

a : t x1 - t x2 + x3 = 0, (123) b : n x1 - n x2 - x3 = 0, где t и n – положительные числа. Действительно, общая точка осей параболы (88), точка первой абсолютной прямой l1 Н(1:1:0), принадлежит прямым а и b, следовательно, эти прямые параллельны осям параболы. По формуле (19) t главы 2: |al| = t, |bl| = n. Кроме того, (ab ll1) = – < 0, следовательно, n полярная ось линии принадлежит полосе ab (§9, глава 1).

Пусть точка М (x1: x2: x3) принадлежит параболе, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (88). Преобразуем левую часть равенства (122), учитывая выполнение условий (121), (98), (88):

2 (M, a) 2(M,b) t2(x1 - x2) + 2tx1x3 - 2tx2x3 + x+ = + 2 t n t(x1 - x2) x2 (x1 - x2) + n2(x1 - x2) - 2nx1x3 + 2nx2x3 + xtn + = (t + n) = 2 2 2 n(x1 - x2 ) x1 - x(124) 2 2 1 = (t + n)(x - x2) + 2x3 = (t + n)(x - x2) + 2x1x2 - 2x2 = t + n.

2 2 2 x1 - x2 x1 - xВыполнение равенства (122) со знаком «+» для параболы первого абсолютного угла доказано.

Если парабола принадлежит второму абсолютному углу, то ее каноническое уравнение можно записать в виде:

2 x1 - x1x2 +x3 = 0, (125) где – положительное число. Проводя аналогичные рассуждения, придем к равенству (122) со знаком «–».

Теорема доказана.

Для гиперболической параболы имеет место аналогичная теорема.

Теорема 12. Пусть заданы прямые a, b, параллельные осям гиперболической параболы с главным параметром, расстояния которых до полярной оси линии равны соответственно t и n, причем полярная ось линии не принадлежит полосе ab и имеет место равенство:

t n =. (126) Тогда для каждой точки гиперболической параболы справедливо равенство:

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.