WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 34 |

a: ux2 +vx3 = 0, b: ux2 -vx3 = 0, (47) где u и v – действительные ненулевые числа.

По формуле (20) главы 2 найдем расстояния от точки М с переменными координатами (x1: x2: x3) до прямых а и b:

ux2 + vx3 ux2 - vx(M, a)= ; (M,b)=.

(48) 2 2 2 v x1 - x2 v x1 - xm T2 m BAt KAq lAKT1 BlР Рис. Условие принадлежности точки М множеству равносильно равенству:

2 (M, a)+ (M,b) = 4q2, (49) которое в координатах имеет вид 2 (ux2 + vx3) (ux2 - vx3) + = 4q2.

2 2 2 2 (50) v2(x1 - x2 ) v2(x1 - x2 ) Преобразуем равенство (50) к виду 2q2v2 + u2 2 2 x1 - x2 - x3 = 0.

(51) 2q2v2 2qЗамечаем, что при условиях 2q2v2 + u2 2 =, =, (52) 2q2v2 2qравносильных условиям u2 -1 =, 2q2 =, (53) 2 vуравнение (51) совпадает с уравнением (28), где > 1 в силу выполнения первого равенства из (53), то есть совпадает с каноническим уравнением эллипса.

Согласно рассуждениям предыдущего параграфа и второму равенству из (53) эллипс, заданный уравнением (28) при > 1, имеет изотропный параметр t = 2q, полярную ось А1А2, содержащую биссектрису угла ab, и действительный центр в точке А1 пересечения прямых а и b.

Аналогично можно доказать утверждение в случае пересечения прямых а и b во втором абсолютном углу. Итак, если точка М принадлежит множеству, то она принадлежит эллипсу.

2. Пусть теперь М (x1: x2: x3) – произвольная точка эллипса, заданного в репере R уравнением (28) при > 1.

Любые две прямые а и b, симметричные относительно полярной оси эллипса, заданной в присоединенном каноническом репере уравнением (25), и проходящие через его действительный центр, имеют в репере R уравнения вида:

a: yx2 + zx3 = 0, b: yx2 - zx3 = 0, (54) где y и z – некоторые действительные, одновременно не равные нулю, числа.

Точки А1, А2 и В1, В2 пересечения эллипса прямыми а и b соответственно имеют в репере R координаты:

y2 y 2, A2 2 + 2 y2 : -1: y, A1 + :1: z2 z z2 z (55) y2 y 2, B2 2 + 2 y2 : -1: - y.

B1 + :1:

z2 z z2 z Точки в парах А1, В1 и А2, В2 коллинеарны. Длины изотропных хорд А1Ви А2В2 ((21) глава 2) равны:

2 y : z A1B1 = A2B2 =.

(56) 2 + (y : z) -2q = 2t Условие равенства длин указанных хорд числу, или с учетом 2 :

равенства (32) числу, дает два значения для отношения (y : z):

y -= ±.

(57) z Выражения (57) выделяют из множества всех прямых, заданных уравнениями (54), прямые а: x2 2 -1+ x3 = 0, b: x2 2 -1- x3 = 0, (58) высекающие на эллипсе (28) изотропные хорды длиной 2q.

Найдем расстояния от точки М (x1: x2: x3) эллипса до прямых (58):

2 -1 x2 + x3 -1 x2 - x(M, a) = ; (M,b) =. (59) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xПодставим значение квадрата первой координаты точки М из уравнения (28) в равенства (59). Непосредственная проверка доказывает, что для координат точки М выполняется условие (49). Следовательно, каждая точка М эллипса принадлежит множеству.

Что и требовалось доказать.

Доказана теорема.

Теорема 4. Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных непараллельных прямых есть постоянная величина, является эллипсом.

Прямые а и b, участвующие в определении множества, назовем директрисами эллипса.

По построению биссектриса угла ab является полярной осью эллипса, следовательно, директрисы эллипса гармонически разделяют полярную ось и изотропный диаметр эллипса.

В §3 определены действительные оси эллипса d1, d2, заданные в присоединенном каноническом репере уравнениями (43). Для четверки прямых а, b, d1, d2 пучка с центром в точке А1 выполняется равенство:

(аb d1d2) = –1. Следовательно, директрисы эллипса гармонически сопряжены относительно его действительных осей.

2. Пусть заданы две мнимо сопряженные прямые h1 и h2, общая точка которых принадлежит второму (первому) абсолютному углу, и действительное положительное (мнимое) число p.

Докажем, что множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до прямых h1, h2 есть постоянная величина p2, является эллипсом с мнимыми осями h1, h2 и фокальным параметром p.

1. Пусть прямые h1, h2 пересекаются во втором абсолютном углу, а число p – вещественное положительное. Канонический репер выберем таким образом, чтобы в нем мнимо сопряженные прямые h1, h2 были заданы уравнениями (44), где > 1, > 0. Найдем расстояния от произвольной точки М (x1: x2: x3) плоскости до этих прямых:

2 1- x1 - x3 1- x1 + x(M, h1) = ; (M, h2) =.

(60) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xУсловие (M, h1)(M, h2 ) = p (61) в координатах имеет вид 2 2 2 (1 - ) x1 - x= p2.

(62) 2 2 (x1 - x2 ) Так как > 1, то для любых чисел x1, x3 выполняется неравенство:

2 2 2 p2 = (1- ) x1 - x3 <. Поэтому уравнение (62) при принимает вид (28). Согласно рассуждениям §3 прямые h1, h2 являются мнимыми осями эллипса, заданного уравнением (28) при > 1.

Таким образом, если точка М принадлежит множеству, то она принадлежит эллипсу с мнимыми осями h1, h2 и фокальным параметром p.

2. С другой стороны. Пусть эллипс задан каноническим уравнением (28) при > 1. Тогда каждая точка эллипса принадлежит первому абсолютному углу, то есть для ее координат (x1: x2: x3) ((4), гл. 1) выполняется неравенство 2 x1 - x2 > 0.

(63) Расстояния от произвольной точки М (x1: x2: x3) эллипса до его мнимых осей, мнимо сопряженных прямых h1, h2 (44), соответственно равны:

2 1- x1 - x3 1- x1 + x(M, h1) = ; (M, h2) =.

(64) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xРавенства (64) дают 2 2 2 (1 - ) x1 - x(M, h1)(M, h2 ) =.

(65) 2 2 (x1 - x2 ) Для координат точки М выполняется равенство (28) и неравенство (63), следовательно, выражение, стоящее под знаком абсолютной величины в равенстве (64) принимает только отрицательные значения. Поэтому 2 2 2 (1 - ) x1 - x(M, h1)(M, h2 ) = = 2 2 x1 - x2 x1 (66) 2 2 2 2 2 2 ( x1 - x1 + x3 ) = =.

2 2 2 2 2 2 ( x1 - x1 + x3 ) Таким образом, (M, h1)(M, h2 )= = р, (67) где p – фокальный параметр эллипса.

Что и требовалось доказать.

Для прямых h1, h2, пересекающихся в первом абсолютном углу, и мнимого числа p доказательство аналогичное.

3. Предлагаем читателю самостоятельно доказать утверждение, которое дает еще одно метрическое определение эллипса.

Пусть заданы две мнимо сопряженные прямые d1 и d2, общая точка которых принадлежит первому (второму) абсолютному углу, и действительное положительное (мнимое) число t.

Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до прямых d1, d2 есть постоянная величина t2, является эллипсом с изотропным параметром t.

Имеет место теорема.

Теорема 5. Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, произведение расстояний от каждой из которых до двух данных мнимо сопряженных прямых есть постоянная величина, является эллипсом.

5.6 Метрическое определение бигиперболы 1. В §3 определены действительные и мнимые оси бигиперболы, действительные неизотропные прямые d1, d2 (43) и h1, h2 (44), соединяющие идеальные точки бигиперболы (28) ( < 1). Докажем метрические свойства бигиперболы, которые могут быть использованы в ее определении.

Теорема 6. Произведение расстояний от произвольной точки М бигиперболы до ее действительных осей есть постоянная величина, равная квадрату изотропного параметра бигиперболы, взятому со знаком «плюс», если точка М и действительный центр линии принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус», если точка М и действительный центр линии принадлежат различным абсолютным углам.

Доказательство. Пусть бигипербола задана в некотором каноническом репере R уравнением (28) при < 1, а М (x1: x2: x3) – ее произвольная точка.

Действительные оси бигиперболы, прямые d1, d2 (43), пересекаются в точке первого абсолютного угла. По формуле (20) главы 2 1- x2 - x3 1- x2 + x(M, d1) = ; (M, d2) =.

(68) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xСледовательно, 2 2 1-2 x2 - x3 1-2 x2 + x(1-2) x2 - x(M,d1)(M,d2)= =.

2 2 2 2 2 (x1 - x2) x1 - x2 x1 - xПри подстановке в последнее равенство значения квадрата координаты x1 из уравнения (28) получаем 2 2 2 ( - 1) x2 + x(M, d1)(M, d2 ) = 2 2 2 2 2 (69) (( - 1) x2 + x3 ).

Возможны два случая.

1. Точка М принадлежит первому абсолютному углу. Тогда для ее координат ((4), гл. 1) выполняется неравенство 2 x1 - x2 > 0.

(70) Из условий (28), (70) следует неравенство 2 2 2 2 x2 - x2 + x3 > 0, (71) при котором выражение (69) принимает вид:

(M, d1 ) (M, d ) = = t, 2 (72) где t – изотропный параметр линии.

2. Точка М принадлежит второму абсолютному углу. Координаты точки М удовлетворяют неравенству:

2 x1 - x2 < 0, (73) которое при условии (28) приводит к неравенству:

2 2 2 2 x2 - x2 + x3 < 0.

(74) Выражение (69) в этом случае имеет вид:

(M, d1 ) (M, d ) = - = - t.

2 (75) Что и требовалось доказать.

Теорема 7. Произведение расстояний от произвольной точки М бигиперболы до ее мнимых осей есть постоянная величина, равная квадрату фокального параметра бигиперболы, взятому со знаком «плюс», если точка М и мнимый центр линии принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус», если точка М и мнимый центр линии принадлежат различным абсолютным углам.

Доказательство. Пусть М (x1: x2: x3) – произвольная точка бигиперболы (28) ( < 1). Мнимые оси бигиперболы h1, h2 (44), пересекаются в точке Авторого абсолютного угла. Расстояния от точки М до прямых h1, h2 равны:

2 1- x1 - x3 1- x1 + x(M, h1) = ; (M, h2) =.

(76) 2 2 2 x1 - x2 x1 - xСледовательно, 2 2 1-2 x1 - x3 1-2 x1 + x(1-2) x1 - x(M,h1)(M,h2) = =.

2 2 2 2 2 (x1 - x2) x1 - x2 x1 - xКоординаты точки М удовлетворяют уравнению (28), поэтому 2 2 2 2 ( - 1) x2 + x(M, d1)(M, d2 ) = 2 2 2 2 2 (77) (( - 1) x2 + x3 ).

1. Если точка М бигиперболы принадлежит первому абсолютному углу, то для ее координат выполняются неравенства (70), (71). Равенство (77) в этом случае имеет вид:

(M, d1 ) (M, d ) = = - p, 2 (78) где р – фокальный параметр линии.

2. Если точка М принадлежит второму абсолютному углу, то ее координаты удовлетворяют неравенствам (73), (74), при которых равенство (75) имеет вид:

(M, d1 ) (M, d ) = - = р.

2 (79) Что и требовалось доказать.

2. Дадим метрическое определение бигиперболы.

Пусть даны две действительные неизотропные прямые d1, d2 и отрезок длиной t изотропной прямой, проходящей через точку пересечения данных прямых. Для определенности будем считать, что общая точка прямых d1, dпринадлежит первому абсолютному углу, в этом случае число t – действительное положительное. Обозначим через W2 (W1) множество всех внутренних (внешних) точек угла между прямыми d1, d2 (§9, глава 1).

Пусть 1 (2) – множество всех точек из W1 (W2), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых d1, d2 есть постоянная величина, равная t2 (–t2).

Покажем, что объединение множеств 1, 2 является бигиперболой с действительными осями d1, d2 и изотропным параметром t.

1. Выберем канонический репер R таким образом, чтобы данные прямые d1, d2 имели в нем уравнения (43), где 0 < < 1, > 0.

Тогда расстояния от точки М с переменными координатами (x1: x2: x3) до прямых d1, d2 определены равенствами (68).

Множество W1 содержит единичную точку Е13 (1:0:1) изотропной координатной прямой А1А3. Поэтому принадлежность точки М множеству равносильна условиям:

(M, d1)(M, d2) = t2, (80) - (x1 - x2 ) > 0, (81) 1 - x2 - x (x1 - x2) > 0.

(82) 1 - x2 + xНеравенство (81) ((82)) – аналитическая запись принадлежности точек М и Е13 одному квадранту относительно прямой d1 (d2) ((30), глава 1).

Из условий (81), (82) следует неравенство:

2 2 2 (1- ) x2 - x3 < 0, (83) характеризующее принадлежность точки М множеству W1.

Запишем условие (80) в координатах 2 2 2 ( - 1) x2 + x3 = t.

(84) 2 2 (x1 - x2 ) Уравнение (84) при t = и выполнении условия (83) имеет вид (28).

Следовательно, множество 1 принадлежит бигиперболе с действительными осями d1, d2 и изотропным параметром t.

Если точка М принадлежит углу W2 между прямыми d1, d2, то она принадлежит одному квадранту с точкой Е13 относительно одной и только одной из прямых d1, d2. Следовательно, для ее координат справедливо одно из неравенств (81), (82) и неравенство, противоположное по знаку второму из этих неравенств. Таким образом, координаты точки М удовлетворяют неравенству 2 2 2 (1- ) x2 - x3 > 0.

(85) При условии (85) и t = уравнение (84) имеет вид (28). Следовательно, множество 2 также принадлежит бигиперболе с действительными осями d1, d2 и изотропным параметром t.

2. С другой стороны. Из условий (28), (83) следует неравенство (70), а из условий (28), (85) – неравенство (73). Следовательно, точки множества (2) принадлежат первому (второму) абсолютному углу.

Согласно метрическому свойству бигиперболы (теорема 6) каждая точка бигиперболы (28) принадлежит одному из множеств 1, 2.

Что и требовалось доказать.

Определить бигиперболу можно также, используя ее метрическое свойство, доказанное в теореме 7.

3. Директрисами бигиперболы назовем неизотропные прямые, проходящие через действительный центр бигиперболы и высекающие на ней 2q = 2 t изотропные хорды длиной, где t – изотропный параметр линии.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям пункта 1 §4, получим уравнения (58) директрис бигиперболы (28) при < 1. Директрисы бигиперболы, очевидно, являются мнимо сопряженными прямыми.

Предлагаем читателю самостоятельно определить метрическое свойство директрис бигиперболы.

5.7 Каноническое уравнение параболы и гиперболической параболы 1. Пусть овальная линия, заданная общим уравнением (1) в некотором каноническом репере R, является параболой или гиперболической параболой.

Определим канонический вид уравнения линии.

Присоединим репер R к линии таким образом, чтобы полярная ось линии совпала с неизотропной координатной прямой А1А2 (рис. 52, 53), тогда ее уравнение в репере R имеет вид (25), а для коэффициентов общего уравнения (1) выполняются условия: а13 = а23 = 0.

Поместим на линию координатную вершину А1, тогда в уравнении (1) а11 = 0.

Парабола и гиперболическая парабола касаются одной из абсолютных прямых (рис. 41, 45), пусть, например, прямой l1 (x1 = x2). Тогда общая точка полярной оси и прямой l1, точка Н(1:1:0), принадлежит линии.

Следовательно, в уравнении (1) а22 = – 2а12. Итак, для коэффициентов уравнения (1) имеют место условия:

а11 = а13 = а23 = 0, а22 = -2а12.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.