WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 34 |

8. Оба полюса абсолютных прямых относительно бигиперболы – внешние по отношению к линии точки. Пусть Р1 – полюс абсолютной прямой l1, тогда Р1 принадлежит касательным n1, n2 к линии в точках N1, Nпересечения бигиперболы прямой l1.

Если абсолютная прямая l2 проходит через точку Р1, то она, являясь секущей для линии, принадлежит той части плоскости между прямыми n1, n2, которая содержит линию. Следовательно, прямая l2 пересекает хорду N1N2 по внутренней точке относительно линии. Значит общая точка прямых абсолюта – внутренняя по отношению к линии, это противоречит определению бигиперболы. Следовательно, полюс Р1 – собственная точка плоскости.

Проводя аналогичные рассуждения для полюса прямой l2, приходим к выводу, что бигипербола имеет два внешних фокуса.

9. По отношению к эквигиперболе общая точка прямых абсолюта – внутренняя, следовательно, полюсы абсолютных прямых относительно эквигиперболы – внешние точки по отношению к линии.

Возможны два случая.

Если абсолютная прямая l1 содержит полюс прямой l2, то и прямая lсодержит полюс прямой l1, следовательно, оба полюса – несобственные точки плоскости. В этом случае эквигипербола не имеет фокусов.

Эквигиперболу, не имеющую фокусов, будем называть нефокальной эквигиперболой.

Если полюс прямой l1 не принадлежит прямой l2, то оба полюса – собственные точки плоскости. Эквигипербола имеет два внешних фокуса.

Эквигиперболу назовем фокальной эквигиперболой, если она имеет два фокуса.

Результаты проведенных рассуждений представлены в таблице 2.

Таблица 2. Фокусы овальных линий.

Количество № Тип овальной линии Виды фокусов фокусов 1. Эллипс два внутренние 2. Парабола один внутренний 3. Бипарабола – 4. Орипарабола – нефокальная – 5. Гипербола фокальная два внешний и внутренний 6. Гиперболическая парабола один внешний 7. Оригипербола два внешние 8. Бигипербола два внешние нефокальная – 9. Эквигипербола фокальная два внешние 2. Дадим определения основных понятий, связанных с овальной линией.

Полярной осью овальной линии назовем собственную для копсевдоевклидовой плоскости поляру общей точки абсолютных прямых относительно данной овальной линии.

Согласно теореме 3 [2, стр. 60] справедливо утверждение.

Если F – фокус овальной линии, то F принадлежит полярной оси данной линии.

Если линия задана уравнением (1), то ее полярная ось [2, стр. 60] имеет уравнение а13x1 + a23x2 + a33x3 =. (23) При выполнении условия (8) уравнение (23) определяет изотропную прямую, причем, одно из равенств а23 = ± а13 (24) равносильно совпадению этой прямой с одной из прямых абсолюта, то есть при условиях (8), (24) прямая (23) не является собственной для копсевдоевклидовой плоскости.

Таким образом, полярные оси оригипербол – изотропные прямые, а орипараболы, как линии касающиеся абсолюта в общей точке абсолютных прямых, не имеют полярных осей. Общие уравнения орипарабол удовлетворяют условиям (8), (24).

Собственную точку S копсевдоевклидовой плоскости назовем центром овальной линии, если модули расстояний от нее до точек пересечения линии с любой проходящей через S неизотропной прямой равны.

Покажем, что понятия центр овальной линии и центр симметрии овальной линии тождественны.

Пусть S – центр овальной линии, а l – произвольная прямая с несобственными точками H1, H2, проходящая через S и пересекающая линию в точках K1, K2. По определению центра линии: (SK1 H1H2) = (K2S H1H2).

Согласно лемме 1 §4 главы 5 первой части пособия на прямой l найдется точка S', гармонически разделяющая с точкой S пары точек H1, H2 и K1, K2, для которой выполняется равенство: (S'K1 H1H2) = (K2S' H1H2).

По определению центральной симметрии (глава 3, §6, пункт 10) точки K1, K2 – симметричны относительно каждой из точек S, S'. В силу того, что данные условия выполняются для любой прямой l, проходящей через S, точка S является центром симметрии линии. Обратные рассуждения справедливы в силу леммы 2 §4 главы 5 первой части пособия.

Овальную линию назовем центральной (бицентральной), если она имеет один (два) центра. Овальные линии, не имеющие (имеющие бесконечное множество) центров, будем называть нецентральными (полицентральными).

В первой части пособия доказана теорема о центрах овальной линии (теорема 1, §4, глава 5) коевклидовой плоскости. Доказательство теоремы проведено и для случая действительных прямых абсолюта. Поэтому с учетом введенного определения на копсевдоевклидовой плоскости имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если точка S – центр овальной линии копсевдоевклидовой плоскости, то S принадлежит полярной оси линии.

Хордой овальной линии назовем отрезок, концы которого принадлежат линии. Диаметром линии – ее хорду, принадлежащую прямой, проходящей через центр линии.

Диаметр линии назовем изотропным (полярным), если он принадлежит изотропной прямой (полярной оси линии).

Половину длины изотропного диаметра с действительными концами назовем изотропным параметром линии.

Центр овальной линии будем называть действительным (мнимым), если содержащий его изотропный диаметр имеет действительную (мнимую) длину.

Изотропную прямую, проходящую через фокус овальной линии, назовем фокальной осью линии.

Хорду линии назовем фокальной, если она принадлежит фокальной оси линии. Половину длины фокальной хорды овальной линии назовем фокальным параметром линии.

Каждая абсолютная прямая пересекает овальную линию в двух точках, различных вещественных, мнимо сопряженных, или действительных совпавших. Точки пересечения овальной линии прямыми абсолюта назовем идеальными или абсолютными точками линии. Прямые, соединяющие попарно идеальные точки линии, назовем осями данной овальной линии.

Собственные для копсевдоевклидовой плоскости прямые, касающиеся овальной линии в ее идеальных точках, назовем асимптотами линии. Фокус F и асимптоту h овальной линии будем называть соответствующими, если F принадлежит h.

5.4 Каноническое уравнение эллипса и бигиперболы 1. Пусть линия, заданная в каноническом репере R уравнением (1), – эллипс или бигипербола копсевдоевклидовой плоскости. Присоединим репер R к линии следующим образом. Координатную прямую А1А2 совместим с полярной осью линии (рис. 49, 50). Тогда уравнение (23) полярной оси в репере R будет иметь вид:

x3 = 0.

(25) Следовательно, в общем уравнении (1) квадрики коэффициенты а13, аравны нулю:

а13 = 0, а23 = 0. (26) Изотропные касательные линии не совпадают с прямыми абсолюта, а общая точка абсолютных прямых является внешней по отношению к линии.

Поэтому линия имеет со своей полярной осью две действительные общие точки. Обозначим эти точки K1, K2. Отрезок K1K2 – полярный диаметр линии (эллипса, бигиперболы).

Учитывая, что концы полярного диаметра линии принадлежат одному абсолютному углу, то есть для их координат справедливо неравенство (22) главы 1, точки K1, K2 зададим в репере R координатами:

K1(:1:0), K2(–:1:0), где – некоторое положительное число.

f1 TN21 Nt KFA1 Fp l1 KNT1 NlР Рис. Будем считать, что координатная вершина А1 – внутренняя точка относительно линии. Точки Т1, Т2 пересечения линии с изотропной координатной прямой А1А3 зададим в репере R координатами:

Т1(:0:1), Т2(–:0:1), где – положительное число.

Подставляя координаты точек K1, K2, Т1, Т2 в уравнение (1) при условиях (26), получим дополнительные условия на коэффициенты этого уравнения.

Окончательно имеем:

а22 а2 а12 = 0, а13 = 0, а23 = 0, = -, = -.

(27) а11 аПрисоединенный репер R построен с точностью до порядка следования точек Е13(1:0:1), Е'13(–1:0:1). Уравнение линии в репере R имеет вид:

2 2 2 2 x1 - x2 - x3 = 0.

(28) В тангенциальных координатах квадрики уравнение (28) имеет вид:

2 2 2 2 2 X12 - X - X = 0.

(29) 2 По формуле (7) найдем числа 1, 2 линии :

2 ( -1) 1 = 2 =. (30) Если линия – эллипс, то согласно таблице 1 §1 справедливы неравенства: 1 > 0, 2 > 0. Следовательно, для эллипса > 1. Если линия – бигипербола, то 1 < 0, 2 < 0. Следовательно, для бигиперболы < 1.

Уравнение (28) при > 1 назовем каноническим уравнением эллипса, при < 1 – каноническим уравнением бигиперболы.

Уравнение (29) при > 1 ( < 1) назовем каноническим уравнением эллипса (бигиперболы) в тангенциальных координатах.

2. Исследуем эллипс и бигиперболу по каноническому уравнению.

По формуле (18) выразим инвариант эллипса и бигиперболы через коэффициенты канонического уравнения:

1+ ЭЛ =, (31) 1- +Б =.

(32) -Единственный инвариант линии (28) зависит только от коэффициента канонического уравнения линии, следовательно, само число также является инвариантом всех копсевдоевклидовых преобразований.

Назовем главным параметром линии (эллипса, бигиперболы).

Согласно определениям центра линии (§2), середины и квазисередины неизотропного отрезка (§6, гл. 1) и лемме 2 (§4, глава 5, часть I) центрами линии являются середина и квазисередина полярного диаметра K1K2 линии, и только эти точки. Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 2. Эллипс (бигипербола) является бицентральной линией.

Если > 1 ( < 1), то концы полярного диаметра принадлежат первому (второму) абсолютному углу. Следовательно, серединой отрезка K1Kявляется вершина А1 (А2) координатного репера, квазисерединой – вершина А2 (А1). Центр А1 – середина изотропного отрезка Т1Т2 с действительными концами, следовательно, А1 – внутренняя точка относительно линии.

Длина t изотропного отрезка А1Т1, изотропный параметр линии, – число действительное, так как по формуле (21) главы.

t = |А1Т1| = (33) Отметим, что в рассматриваемом случае изотропный параметр – число действительное положительное. Если внутренний центр линии – точка второго абсолютного угла, то соответствующий ему изотропный параметр линии – мнимое число.

Концы диаметра, соответствующего центру А2, – точки мнимые, следовательно, первая (вторая) координатная вершина является действительным (мнимым) центром линии.

Геометрическая характеристика изотропного параметра t линии показывает, что данное число инвариантно относительно всех движений копсевдоевклидовой плоскости.

Согласно рассуждениям пункта 2 §3 центры эллипса (бигиперболы) являются центрами симметрии линии.

Матрица симметрии относительно полярной оси линии, заданной уравнением (25), имеет ((71) §6, гл. 4) вид:

1 0 S = 1 0.

p (34) 0 0 - Координаты точки М1(x1: x2: –x3), симметричной относительно прямой (25) точке М(x1: x2: x3) линии, удовлетворяют уравнению (28). Следовательно, полярная ось эллипса (бигиперболы) является осью симметрии линии.

Полюсы абсолютных прямых l1, l2 относительно линии, заданной уравнением (28), имеют в репере R (см. (21)) соответственно координаты:

2 F1( :1: 0), F2(- :1: 0).

(35) Точки F1, F2 являются собственными точками плоскости, так как имеют место условия (22), следовательно, F1, F2 – фокусы линии.

Изотропные прямые f1, f2, проходящие соответственно через эти точки, являются фокальными осями линии. В репере R фокальные оси линии имеют уравнения:

2 f1 : x1 - x2 = 0, f2 : x1 + x2 = 0.

(36) Фокальная ось f1 пересекает линию в точках:

2 2 2 N11 :1: -1, N21 :1: - -1.

(37) Фокальная ось f2 пересекает линию в точках:

2 2 2 N12 - :1: -1, N22 - :1: - -1.

(38) Если линия – эллипс, то есть > 1, то N11, N21, N12, N22 – действительные точки. Если линия – бигипербола, то есть < 1, то точки в парах (37), (38) мнимо сопряжены. Фокусы эллипса (бигиперболы), точки F1, F2, являются серединами изотропных отрезков N11N21, N12N22.

По формуле (21) главы 2 для > 1 находим:

|F1 N11| = |F1 N21| = |F2 N12| = |F2 N22| = /. (39) Число p = / – фокальный параметр эллипса (28).

Если < 1, то |F1 N11| = |F1 N21| = |F2 N12| = |F2 N22| = – i /. (40) Число p = – i / – фокальный параметр бигиперболы (28).

В данном случае фокальный параметр эллипса – число действительное положительное, а фокальный параметр бигиперболы – число мнимое.

Фокальный параметр линии – инвариант движений копсевдоевклидовой плоскости.

Найдем идеальные точки линии (28). Пусть Bi, Di – общие точки линии и прямой li, i = 1, 2, (рис. 50). Тогда в репере R идеальные точки линии (28) заданы координатами:

2 B1( : : 1- ), D1( : : - 1- ), (41) 2 B2(- : : 1- ), D2( : - : 1 - ). (42) b lTflBDFt F1 KAAf2 B1 DT1 Ka Р Рис. Введем обозначения: d1 = B1 B2, d2 = D1 D2, h1 = B1 D2, h2 = B2 D1.

Уравнения прямых d1, d2, h1, h2, осей линии, в репере R имеют вид:

d1 : x2 1-2 - x3 = 0, d2 : x2 1-2 + x3 = 0, (43) h : x1 1-2 - x3 = 0, h : x1 1-2 + x3 = 0.

(44) 1 Прямые d1, d2 (h1, h2) пересекаются в действительном (мнимом) центре линии (28), назовем их действительными (мнимыми) осями линии. При любом расположении линии (28) относительно абсолютных углов для эллипса точки (41), (42) и прямые (43), (44) – мнимые, для бигиперболы – действительные.

Доказана теорема.

Теорема 3. Центры эллипса (бигиперболы) и общая точка абсолютных прямых являются диагональными точками полного четырехвершинника, образованного идеальными точками линии.

Определим асимптоты линии (28). Фокусу F1 соответствуют асимптоты:

1 2 g1 = F1B1 : x1 - x2 - 1- x3 = 0, (45) 2 g1 = F1D1 : x1 - x2 + 1- x3 = 0, фокусу F2 – асимптоты:

2 2 g1 = F2B2 : x1 + x2 + 1- x3 = 0, (46) 2 2 g2 = F2D2 : x1 + x2 - 1- x3 = 0.

Для эллипса прямые в парах (45), (46) – мнимо сопряженные, для бигиперболы – действительные. Бигипербола полностью принадлежит углу, образованному прямыми Fi Bi и Fi Di, i = 1, 2, содержащему точку А1.

5.5 Метрическое определение эллипса 1. Пусть даны две неизотропные прямые a, b и изотропный отрезок длиной 2q с концами на данных прямых, принадлежащий одному абсолютному углу с точкой пересечения прямых а и b.

Докажем, что множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до данных прямых а и b есть постоянная величина, равная (2q)2, является эллипсом с полярной осью, t = 2q содержащей биссектрису угла аb, изотропным параметром t, где и действительным центром в точке пересечения прямых а и b (рис. 12).

Для определенности будем считать, что общая точка прямых а и b принадлежит первому абсолютному углу, в этом случае число q – действительное положительное.

1. Выберем канонический репер R таким образом, чтобы его первая координатная вершина совпала с общей точкой прямых а и b, а неизотропная координатная прямая содержала биссектрису угла ab.

Тогда прямые а и b в репере R можно задать уравнениями:

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.