WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 34 |

Параболы расширенной евклидовой плоскости касаются бесконечно удаленной прямой, поэтому условимся в названии линии использовать термин «парабола», если линия касается элементов абсолюта. Если линия проходит через общую точку абсолютных прямых, в названии используем приставку ори- (предел, граница, греч.). Если хотя бы одна из прямых абсолюта пересекает линию в двух действительных точках, в названии линии будем применять термин «гипербола», учитывая, что «евклидовы гиперболы» пересекают в двух точках бесконечно удаленную, абсолютную, прямую расширенной евклидовой плоскости.

1 2 Р Р Р Рис. 40 Рис. 41 Рис. Пусть квадрика не имеет общих с абсолютом точек (рис. 40). Назовем такие квадрики эллипсами, так как на плоскости евклидовой (расширенной) именно эллипсы не имеют бесконечно удаленных точек.

Невырожденную линию второго порядка копсевдоевклидовой плоскости назовем параболой, если она имеет с абсолютом одну общую точку.

Парабола изображена на рисунке 41.

Квадрику назовем бипараболой, если она касается обеих абсолютных прямых (рис. 42). Бипараболу, учитывая ее метрическое свойство, будем также называть эквидистантой.

Квадрику назовем орипараболой, если точка ее касания с абсолютом является общей точкой абсолютных прямых. Очевидно, орипарабола имеет две общие вещественные точки с абсолютом (рис. 43).

4 5 Р Р Р Рис. 43 Рис. 44 Рис. Гиперболой копсевдоевклидовой плоскости назовем линию, которая пересекает одну абсолютную прямую в двух действительных точках и не имеет общих действительных точек со второй прямой абсолюта (рис. 44).

Линию назовем гиперболической параболой, если она касается одной прямой абсолюта и пересекает другую в двух вещественных точках (рис. 45).

Квадрику назовем оригиперболой, если она содержит общую точку абсолютных прямых и имеет с каждой абсолютной прямой две действительные общие точки (рис. 46).

7 8 Р Р Р Рис. 46 Рис. 47 Рис. Пусть линия имеет с абсолютом четыре общие вещественные точки.

Точка пересечения абсолютных прямых может быть по отношению к линии либо внешней (рис. 47), либо внутренней (рис. 48). В первом случае линию назовем бигиперболой, приставка би- (от лат. bi-, в сложных словах – двойной, двоякий) здесь указывает на различное положение линии внутри абсолютных углов, во втором – эквигиперболой (от лат. aequus – равный, одинаковый), учитывая, что она одинаково расположена по отношению к абсолютным углам, по отношению к каждой изотропной прямой.

2. Найдем аналитические условия принадлежности овальной линии каждому определенному типу. Пусть в некотором каноническом репере R копсевдоевклидовой плоскости невырожденная линия второго порядка задана общим уравнением 2 2 a11x1 + a22x2 + a33x3 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 =, (1) где D = det || aij || 0, i, j = 1, 2, 3, а прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, – соответственно уравнениями:

x1 = x2, (2) x1 = -x2.

(3) Тогда системы уравнений (1), (2) и (1), (3) определяют общие точки квадрики с абсолютом. Система уравнений (1), (2) ((1), (3)) равносильна при соответствующем знаке «+», «–» системе уравнений:

x = ± x2, (4) 2 (a11 ± 2a12 + a22 )+ 2x1x3(a13 ± a23)+ a33x3 = 0.

xДискриминант второго уравнения соответствующей системы (4) равен 2 D1,2 = 4(a13 ± 2a13a23 + a23 - a11a33 m 2a12a33 - a22a33), (5) или в тангенциальных координатах квадрики D1,2 = - 4(A11 m 2A12 + A22). (6) Введем обозначение:

D1,1,2 = - = А11 m 2А12 + А22.

(7) Знаки действительных чисел 1, 2 имеют геометрическую характеристику, они определяет количество и природу общих точек квадрики и соответствующей прямой абсолюта, следовательно, являются инвариантами квадрики. Каждому типу овальных линий соответствует определенный набор знаков чисел 1, 2.

Условие принадлежности общей точки абсолютных прямых овальной линии равносильно равенству нулю координаты а33 в общем уравнении линии. Следовательно, уравнения орипарабол и оригипербол, и только этих линий, характеризуются условием:

а33 = 0.

(8) Условие (8) инвариантно относительно копсевдоевклидовых преобразований, так как относительно этих преобразований инвариантна точка пересечения прямых абсолюта.

Остается аналитически разделить типы бигипербол и эквигипербол.

Только для эквигиперболы точка пересечения прямых абсолюта – внутренняя, следовательно, только эквигипербола характеризуется тем свойством, что каждая изотропная прямая пересекает ее в двух вещественных точках.

Зададим в каноническом репере R изотропную прямую k уравнением:

x2 = tx. (9) Тогда уравнение 2 2 x1 (t a22 + 2ta12 + a11)+ 2x1x3(ta23 + a13)+ a33x3 =. (10) определяет общие точки прямой k и овальной линии (1).

Нас интересуют условия, при которых независимо от значения параметра t уравнение (10) имеет два вещественных корня. Дискриминант уравнения (10) в этом случае должен быть тождественно больше нуля:

d 2 2 = t (a23 - a22a33)+ 2t(a13a23 - a12a33)+ a13 - a11a33 > 0, (11) или в тангенциальных координатах:

- t A11 + 2tA12 - A22 > 0.

(12) Тождественное выполнение неравенства (12) равносильно условиям:

I = A11A22 - A12 > 0, (13) A11 < 0.

Условия (13) характеризуют тип эквигипербол, то есть имеют геометрическое значение, и, следовательно, инвариантны относительно всех преобразований копсевдоевклидовой плоскости.

Итак, инвариантными относительно фундаментальной группы Q аналитическими характеристиками типов овальных линий являются:

1) знаки чисел 1, 2 (сами числа не сохраняются в преобразованиях);

2) равенство (или неравенство) нулю координаты а33 в общем уравнении квадрики (в случае неравенства нулю численное значение координаты может меняться);

3) одновременное выполнение условий (13).

Приведем таблицу, которая позволяет определить тип овальной линии копсевдоевклидовой плоскости по значениям чисел: 1, 2, а33, A11, I.

Таблица 1. Типы овальных линий.

Тип овальной Значения Значение Значения № линии а33 I, A1, 1. Эллипс a33 0 I < 1 > 0, 2 > 2. Парабола a33 0 I < 1, 2 = 0, 2, 1 > 3. Бипарабола a33 0 I < 1 = 0, 2 = 4. Орипарабола a33 = 0 I = 1, 2 = 0, 2, 1 < 5. Гипербола a33 0 I < 1, 2 < 0, 2, 1 > Гиперболическая 6. a33 0 I < 1, 2 = 0, 2, 1 < парабола 7. Оригипербола a33 = 0 I = 1 < 0, 2 < 8. Бигипербола a33 0 I < 1 < 0, 2 < 9. Эквигипербола a33 0 I > 0, A11 < 1 < 0, 2 < 5.2 Инвариант овальной линии 1. Группа копсевдоевклидовых преобразований зависит от четырех параметров, поэтому, как и на коевклидовой плоскости, на плоскости копсевдоевклидовой для невырожденных линий второго порядка существует не более одного инварианта относительно фундаментальной группы преобразований. Доказательство данного факта аналогично доказательству, приведенному в первой части пособия (§1, гл. 5).

Если квадрика касается хотя бы одной прямой абсолюта, то хотя бы одно из чисел 1, 2 равно нулю. Равенство нулю одного из этих чисел, дает одно условие зависимости для координат квадрики, следовательно, количество независимых коэффициентов уравнения (1) сокращается на единицу. Поэтому квадрики, касающиеся абсолюта, не имеют инварианта копсевдоевклидовых преобразований.

Если квадрика проходит через общую точку прямых абсолюта, то для ее общего уравнения справедливо условие (8), то есть число независимых коэффициентов в уравнении (1) равно четырем. И так как это число совпадает с подвижностью плоскости, указанная квадрика также не имеет инварианта фундаментальной группы преобразований.

Таким образом, каждые две линии одного типа, для которых а3312 = 0, могут быть переведены одна в другую некоторым преобразованием группы Q, то есть являются копсевдоевклидово эквивалентными. Согласно таблице на копсевдоевклидовой плоскости существует пять типов овальных линий (параболы, бипараболы, орипараболы, гиперболические параболы, оригиперболы) таких, что любые две линии одного типа копсевдоевклидово эквивалентны.

2. Аналитические условия принадлежности овальной линии одному из оставшихся четырех типов не содержат равенств, поэтому не дают возможности выразить одну из координат квадрики через другие, то есть не дают возможности сократить число независимых коэффициентов общего уравнения квадрики, следовательно, линии данных типов имеют один инвариант относительно группы копсевдоевклидовых преобразований.

Определим инварианты овальных линий следующих четырех типов:

эллипсов, гипербол, бигипербол и эквигипербол.

Пусть, линия одного из указанных типов, задана в каноническом репере R уравнением (1). Проведем изотропные касательные k1 (t1: –1: 0), k2 (t2: –1: 0), где t = : µ и 2 +µ2 0, линии. Уравнение (10) определяет отношение координат x1: x3 точек касания, следовательно, его дискриминант равен нулю:

d 2 = t2(a23 - a22a33)+ 2t(a13a23 - a12a33)+ a13 - a11a33 = 0, (14) или в тангенциальных координатах:

t2 A11 - 2tA12 + A22 = 0.

(15) По формуле (44) главы 1 для изотропных прямых k1, k2:

t1t2 -1 t1t2 -chk1k2 = =.

(16) 2 2 2 t1 -1 t2 -(t1t2 +1) - (t1 + t2) Параметры t1, t2 – корни уравнения (15). По формулам Виета:

A22 At1t2 =, t1 + t2 = 2.

(17) A11 AИз равенств (16), (17) находим A11 - Achk1k2 = ±.

(18) (A11 + A22 ) - 4AЗнак «+» («–») в формуле (18) соответствует отрицательному (положительному) значению координаты А11.

Расстояние между изотропными касательными квадрики инвариантно относительно группы Q, следовательно, правая часть выражения (18) – инвариант квадрики, обозначим его.

Преобразуем к следующему виду:

А11 - А22 А11 - А = ± = ±, (19) (А11 + А22 - 2А12)(А11 + А22 - 2А12) или А11 - А22 А11 - А = ± = ±.

(20) 2 (А11 - А22) + 4(А11А22 - А12) (А11 - А22) + 4I Равенство (19) показывает, что если числа 1, 2 одного знака, то инвариант – число действительное. Если 1, 2 имеют различные знаки, то инвариант квадрики – мнимое число.

Если – действительное число, то согласно равенству (20) модуль больше (меньше) единицы при I < 0 (I > 0).

Таким образом, для эллипсов, бигипербол и эквигипербол число – действительное, причем для эллипсов и бигипербол | | > 1, для эквигипербол | | < 1, причем если мнимые изотропные касательные эквигиперболы гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых, то инвариант равен нулю. Инвариант гипербол – число в общем случае мнимое. Если изотропные касательные гиперболы гармонически разделяют прямые абсолюта, то инвариант гиперболы равен нулю.

5.3 Основные элементы, определяющие овальную линию 1. Фокусами овальной линии назовем собственные для плоскости полюсы абсолютных прямых относительно данной линии.

Если овальная линия задана в каноническом репере R уравнением (1), а прямые абсолюта – уравнениями (2), (3), то системы уравнений a11 f1 + a12 f2 + a13 f3 =, a f1 + a22 f2 + a23 f3 = m, a13 f1 + a23 f2 + a33 f3 = 0, где – ненулевое число, определяют координаты (f1: f2: f3) полюсов абсолютных прямых l1, l2 относительно данной линии [2, стр. 60].

Определитель матрицы координат овальной линии отличен от нуля, следовательно, отличен от нуля и определитель каждой из указанных систем.

Переходя к тангенциальным координатам квадрики и учитывая однородность проективных координат точки, получаем координаты полюсов абсолютных прямых l2, l1 соответственно:

Р2,1(А11 ± А12 : А12 ± А22 : А13 ± А23) (21) Точка Р1 (Р2 ) является фокусом линии тогда и только тогда, когда эта точка не принадлежит абсолюту, то есть когда координаты точки не удовлетворяют ни одному из уравнений (2), (3). Данное требование равносильно условиям:

А11 А22, 1 0 (А11 А22, 2 0).

(22) Координаты точек Р1, Р2 (21) при условиях (22) удовлетворяют неравенству (22) главы 1, следовательно, фокусы каждой овальной линии, если они существуют, принадлежат одному абсолютному углу.

Фокус овальной линии будем называть внутренним (внешним), если он является внутренней (внешней) точкой по отношению к линии.

Известно, что полюс некоторой прямой относительно овальной линии является внутренней точкой по отношению к линии тогда и только тогда, когда прямая не имеет с линией действительных общих точек. Внешней точкой по отношению к линии – тогда и только тогда, когда прямая пересекает линию в двух действительных точках, и принадлежит линии тогда и только тогда, когда прямая является касательной к линии [2, стр. 60].

Данные утверждения позволяют определить количество и характер расположения фокусов овальных линий каждого типа.

1. Эллипс не содержит действительных точек прямых абсолюта, следовательно, имеет два внутренних фокуса.

2. Парабола касается одной из абсолютных прямых и не имеет общих действительных точек с другой. Следовательно, единственный фокус параболы – внутренний.

3. Бипарабола касается обеих прямых абсолюта, следовательно, фокусов не имеет.

4. Орипарабола не имеет фокусов, так как оба полюса абсолютных прямых относительно линии принадлежат касательной к орипараболе абсолютной прямой.

5. Гипербола копсевдоевклидовой плоскости пересекает одну прямую абсолюта, полюс этой прямой относительно линии – внешняя точка. С другой абсолютной прямой линия не имеет общих действительных точек, ее полюс – внутренняя точка по отношению к линии.

Возможны два случая взаимного расположения указанных полюсов и прямых абсолюта.

Если абсолютная прямая l1 содержит полюс прямой l2, то прямая lсодержит полюс прямой l1, следовательно, оба полюса – несобственные точки плоскости. В этом случае гипербола не имеет фокусов.

Гиперболу, не имеющую фокусов, назовем нефокальной гиперболой.

Если полюс прямой l1 не принадлежит прямой l2, то оба полюса – собственные точки плоскости. Гипербола имеет два фокуса: один – внутренний, другой – внешний.

Гиперболу, обладающую двумя фокусами, будем называть фокальной гиперболой.

6. Гиперболическая парабола касается одной прямой абсолюта, ее полюс принадлежит самой прямой, следовательно, является несобственной точкой плоскости, и пересекает в двух действительных точках другую абсолютную прямую, полюс которой – внешняя точка по отношению к линии. Если эта точка принадлежит первой прямой абсолюта, то прямая, будучи касательной к линии, должна пройти через одну из точек пересечения линии со второй прямой абсолюта. Это означает, что линия должна содержать общую точку абсолютных прямых. Но для гиперболических парабол это невозможно. Следовательно, гиперболическая парабола имеет один внешний фокус.

7. Оригипербола пересекает обе абсолютные прямые и проходит через их общую точку Р. Полюсы абсолютных прямых относительно линии принадлежат касательной к линии в точке Р, следовательно ни один из полюсов не может принадлежать абсолютной прямой. Таким образом, оригипербола имеет два внешних фокуса.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.