WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 34 |

Так как по условию ±1, то выполнение равенства (34) для коэффициентов матрицы (88) невозможно. Это означает, что псевдоевклидовы вращения не содержат движений. Матрица (88) указана в первой строке таблицы 4 преобразований второго рода (приложение 3).

Псевдоевклидовы вращения F1, F2 с центром K и коцентром N назовем сопряженными, если их коэффициенты – противоположные числа. Образы одной и той же точки в сопряженных псевдоевклидовых вращениях симметричны относительно прямой KN.

Докажем, что если псевдоевклидовы вращения F1, F2 имеют противоположные коэффициенты и центр (коцентр) вращения F1 является коцентром (центром) вращения F2, то псевдоевклидовы вращения F1, Fсовпадают, то есть для любой точки М плоскости: F1 (M) = F2 (M).

Действительно, по первому условию определения псевдоевклидова вращения для F1, F2 имеем:

((PM')(PM) (PK)(PN)) = –1.

Пусть K0, N0 – точки, коллинеарные соответственно точкам K и N на прямой ММ' (рис. 38). Тогда ((PM')(PM) (PK)(PN)) = (M'M K0N0).

Поэтому по свойствам сложного отношения четырех прямых пучка и сложного отношения четырех точек одной прямой получаем:

((NM')(NM) (NK)(NP)) = (M'M SN0) = (M'M SK0)(M'M K0N0) = = – (M'M SK0) = – ((KM')(KM) (KN)(KP)), где S – точка пересечения прямых ММ' и t.

Так как вращения F1, F2 имеют противоположные коэффициенты, то последнее равенство с учетом второго условия определения вращения доказывает утверждение.

Данные точки K, N являются инвариантными элементами преобразования. Кроме того, как и в Р каждом преобразовании копсевдоевклидовой плоскости в М преобразовании (88) инвариантна точка KМ' Р пересечения абсолютных прямых.

NСледовательно, данное преобразование можно рассматривать как вращение N S вокруг точки Р в плоскости, абсолют K которой состоит из точек K, N и Рис. проходящей через них прямой, то есть в псевдоевклидовой плоскости. Это свойство введенного преобразования объясняет его название – псевдоевклидово вращение.

Из условий (77), (85) находим а =.

(89) 2 а11 - аТаким образом, модуль коэффициента псевдоевклидова вращения (89) является коэффициентом искажения данного преобразования (35).

а11 Пусть при условии - а12 > задана матрица А5 из таблицы (приложение 2). Тогда по формуле (89) можно однозначно определить значение. Затем, рассматривая выражения (77), (85), (86), (87) как n k k,, уравнения относительно переменных можно однозначно k2 k2 kопределить инвариантные точки K, N. Следовательно, заданием матрицы Аа11 при условии - а12 > однозначно определено некоторое псевдоевклидово вращение.

9. Евклидово вращение Выберем неизотропную прямую t, пару мнимо сопряженных ортогональных точек K, N на этой прямой и мнимое число.

ERK N Евклидовым вращением с коэффициентом (обозначение: ), назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой точке M плоскости соответствует такая ее точка M', что:

1) изотропные прямые РМ и РМ' гармонически разделяют мнимо сопряженные изотропные прямые РK и РN;

2) ((KM)(KM'),(KN)) = – 1/, или ((KM)(KM')(KP)(KN)) =.

Найдем аналитическую запись евклидова вращения с коэффициентом.

Ортогональные мнимо сопряженные точки K, N в некотором каноническом репере зададим координатами:

K (a + ib: a -ib: a3 + ib3), N (a -ib : a + ib : a3 -ib3).

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего пункта, получим матрицу евклидова вращения b2 - a2 a2 + b2 - a2 - b2 a2 - b2 0.

(90) - (aа3 + bb3) + i(ab3 - a3b) (aa3 - bb3) - i(ab3 + a3b) 2iab По определению – мнимое число, поэтому все коэффициенты аij, i, j = 1, 2, 3, матрицы (90) – действительные числа, следовательно, матрица определяет преобразование второго рода копсевдоевклидовой плоскости.

Для коэффициентов а11, а12 матрицы (90) справедливо неравенство:

2 2 а11 - а12 = (b2 - a2) -(a2 + b2) = - 4a2b2 < 0, (91) следовательно, евклидово вращение – преобразование второго вида. Поэтому евклидовы вращения не содержат движений.

В евклидовом вращении инвариантны данные, мнимо сопряженные точки K, N и, следовательно, проходящая через них прямая. Таким образом, введенное преобразование можно рассматривать как некоторое вращение вокруг точки Р плоскости евклидовой с абсолютом, состоящим из пары точек K, N. Все евклидовы вращения представлены во второй строке таблицы копсевдоевклидовых преобразований (приложение 2).

Матрица (90) определяет псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости, если для ее коэффициентов выполняются условия (40). В этом случае = ± i.

Рассмотрим один из частных видов евклидовых вращений, для которых = ± i. Канонический репер R выберем таким образом, чтобы инвариантные точки вращения оказались гармонически сопряженными относительно координатных вершин А1, А2. На прямой t существует единственная пара действительных точек А1, А2, гармонически разделяющих данные ортогональные мнимо сопряженные точки K, N. В репере R для координат точек K(a + ib: a – ib: a3 + ib3), N(a – ib: a + ib: a3 – ib3) выполняется одно из равенств: a = ± b, а матрица (90) (при = ± i) принимает вид одной из матриц L3, L4 (53). Следовательно, в заданном каноническом репере R выделенный вид евклидова вращения является абсолютным псевдодвижением.

10. Отражение от точки Отражением от заданной точки K, или симметрией относительно точки K (обозначение: ZK), назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, при котором каждой точке М плоскости соответствует такая ее точка М', что:

1) М' принадлежит прямой MK;

2) точки М, М' гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые PK и k (рис. 39).

Точку K назовем центром отражения (или центром симметрии).

Данное преобразование является преобразованием второго рода, так как lP любую точку абсолютной прямой l1 (l2) переводит в точку, лежащую на прямой, гармонически разделяющей с прямой l(l2) прямые k и PK, то есть на прямой l(l1). Кроме того, в данном преобразовании инвариантна каждая прямая пучка с центром в точке K.

M K l2 M' k Следовательно, преобразование расположено в последней строке Рис. таблицы 4 (приложение 2).

Найдем его аналитическую запись.

Если точка K в некотором каноническом репере R имеет координаты: K (k1: k2: k3), то условие гармонической сопряженности точки М (m1: m2: m3) со своим образом М' (54) Если точки М, М' принадлежат одному абсолютному углу, то точка K – середина, или квазисередина неизотропного отрезка ММ'.

в данном преобразовании относительно ортогональных изотропных прямых PK и k дает отношение (77).

Точки K, M, M' по определению преобразования лежат на одной прямой, следовательно, выполняется равенство:

a11m1 +a12m2 -a12m1 -a11m2 a31m1 +a32m2 +a33mm1 m2 m3 = 0, (92) k1 k2 kили 2 m1 (a31k2 + a12k3)+ m2 (a12k3 - a32k1)+ m1m2(2a11k3 - a31k1 + a32k2)+ (93) m1m3(a33k2 - a12k1 - a11k2)+ m2m3(- a11k1 - a33k1 - a12k2) = 0.

Тождественное выполнение равенства (93) дает однозначное выражение отношений:

a31 k3 a32 k3 a33 k12 - k= -, =, =.

(94) a12 k2 a12 k1 a12 2k1kСледовательно, матрица отражения от точки K может иметь вид:

-(k12 + k2 ) 2k1k2 Z = - 2k1k2 k12 + k2 0.

(95) - 2k1k3 2k2k3 k12 - k Для коэффициентов матрицы (95) вида А5 (приложение 2) выполняются условия (30), (32), таким образом, каждое отражение от точки является преобразованием первого вида и движением.

(k3 : k1),(k2 : k1) Система уравнений (77), (94) относительно переменных, коэффициентов матрицы (95), допускает единственное решение, следовательно, каждое преобразование, заданное матрицей А5 при условиях (30) и (32) является отражением от точки.

Центр отражения, точка K (k1: k2: k3), является действительной собственной точкой копсевдоевклидовой плоскости, поэтому 2 k12 + k2 0, k12 - k2 0.

Если центр отражения принадлежит изотропной координатной прямой x1 = 0 (x2 = 0), то матрица (95) принимает вид матрицы Н3 (Н4) (51) при условии a31 = 0 (a32 = 0) соответственно, следовательно, отражение от некоторой собственной точки изотропной координатной прямой является абсолютным движением копсевдоевклидовой плоскости.

Таким образом, свойство отражения от точки быть абсолютным движением зависит от выбора системы координат.

Если центр симметрии совпадает с координатной вершиной, то в матрице Н3 (Н4) (51) a31 = a32 = 0.

11. Скользящее отражение На копсевдоевклидовой плоскости имеют место следующие три теоремы, справедливые и на плоскости коевклидовой.

Теорема 16. Композиция отражения от точки и сдвига на данный неизотропный ковектор является коммутативной тогда и только тогда, когда центр симметрии принадлежит направляющей ковектора.

Доказательство. Пусть в каноническом репере R отражение от точки K(k1: k2: k3) задано матрицей Z (95), а сдвиг на неизотропный ковектор V(v1; v2) матрицей:

1 0 T = 0 1 0.

(96) - v1 - v2 Произведение матриц Z и T коммутативно тогда и только тогда, когда выполняется условие k1v1 + k2v2 = 0.

(97) Направляющая ковектора V(v1; v2) ((17), гл. 2, ч. 1) в репере R имеет однородные координаты: (v1: v2: 0). Следовательно, условие (97) выражает принадлежность точки K направляющей ковектора V.

Что и требовалось доказать.

Преобразование копсевдоевклидовой плоскости, являющееся композицией сдвига на неизотропный ковектор V и отражения от точки K, принадлежащей направляющей ковектора V, назовем скользящим отражением от точки K с ковектором V, или кратко: скользящим K SV = ZK ° TV отражением. Обозначение:.

K SV Если V – нулевой ковектор, то – центральная симметрия. Итак, центральная симметрия – частный случай скользящего отражения.

Следствием теоремы 16 и определения скользящего отражения является следующая теорема.

Теорема 17. В скользящем отражении композиция отражения от точки и сдвига на неизотропный ковектор коммутативна.

Следующая теорема позволит нам конструктивно определить каждое движение второго рода.

Теорема 18. Любое движение второго рода можно представить в виде композиции отражения от точки и сдвига на ковектор, направляющая которого проходит через центр отражения.

Теорема справедлива, так как согласно проведенной классификации копсевдоевклидовых преобразований каждое движение второго рода копсевдоевклидовой плоскости является либо скользящим отражением, либо отражением от точки, которое можно рассматривать как скользящее отражение с нулевым ковектором.

Если ковектор V – нулевой, то, очевидно, матрица S скользящего отражения имеет вид Z (95).

Пусть в каноническом репере R ненулевой ковектор V задан координатами (v1; v2), а точка K (–v2: v1: k) – некоторая точка направляющей этого ковектора. Тогда матрица S скользящего отражения от точки K с ковектором V имеет вид:

2 -(v1 + v2 ) - 2v1v2 2 S = 2v1v2 v1 + v2 0.

(98) 2v k + v1(v1 + v2 2v1k + v2(v1 - v2 v2 - v2 2 2 2 2 ) ) Если точка K, центр отражения, принадлежит первой (второй) координатной оси, то v1 = 0 (v2 = 0), и матрица S принимает вид матрицы H(H3) (51). Следовательно, скользящее отражение от некоторой точки координатной прямой является абсолютным движением.

4.7 Инволюции копсевдоевклидовой плоскости 1. Инволюции первого рода Пусть преобразование Н первого рода копсевдоевклидовой плоскости задано матрицей (1) при = 1. Определим матрицу А квадрата данного преобразования.

2 a11 + a12 2a11a12 2 A = 2a11a12 a11 + a12.

a a31 + a12a32 + a31a33 a11a32 + a12a31 + a32a33 a Матрица A задает тождественное преобразование тогда и только тогда, когда имеют место следующие равенства:

2 2 a11 + a12 = a33, a11a12 = 0, (99) a11a31 + a12a32 + a31a33 = 0, a11a32 + a12a31 + a32a33 = 0.

Из второго равенства (99) получаем a11 = 0 или a12 = 0.

2 a12 = aПри a11 = 0 первое равенство (99) дает:. Следовательно, в данном случае имеем: a11 = a12 = a33 = 0. Но при таких требованиях матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости.

При a12 = 0 последние два условия (99) имеют вид a32(a11 + a33) = 0.

a31(a11 + a33) = 0, Откуда с учетом первого равенства (99) получаем две возможные матрицы преобразований.

a11 0 a11 0 E = 0 a11, I = 0 a11 0.

a a32 - a0 0 a Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно определению не является инволютивным. Матрица I совпадает с матрицей Н2 (50) и определяет абсолютное движение – симметрию относительно неизотропной прямой (a31 : a32: –2a11).

Доказана теорема.

Теорема 19. Инволюциями первого рода являются симметрии относительно неизотропных прямых, и только они.

2. Инволюции второго рода = Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при -.

Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:

2 a11 - a12 0 2 B = 0 a11 - a12 0.

a a31 - a12a32 + a31a33 - a11a32 + a12a31 + a32a33 a Матрица В определяет тождественное преобразование тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия (17), (19). При этих условиях преобразование H является отражением от точки.

Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 20. Инволюциями второго рода являются отражения от точки, и только они.

Итак, инволюциями копсевдоевклидовой плоскости являются симметрии относительно прямой и отражения от точки.

Глава 5. Квадрики копсевдоевклидовой плоскости Для линий второго порядка копсевдоевклидовой плоскости справедливы все рассуждения пунктов 1, 2 §1 главы 5 первой части пособия, проведенные для линий плоскости коевклидовой. Исследуя квадрики копсевдоевклидовой плоскости, будем применять все термины, введенные в указанных пунктах.

5.1 Типы невырожденных линий второго порядка 1. Абсолютные прямые копсевдоевклидовой плоскости, в отличие от абсолютных прямых плоскости коевклидовой, являются действительными. В связи с этим теория линий второго порядка на копсевдоевклидовой плоскости значительно богаче. В зависимости от положения по отношению к абсолюту можно различать девять типов овальных линий. Рассмотрим каждый из возможных случаев взаимного расположения на копсевдоевклидовой плоскости невырожденной квадрики и прямых абсолюта. На рисунках 40 – 48 представлены линии i, i = 1 9, различных типов, для которых число общих точек с абсолютом равно: нулю (i = 1), единице (i = 2), двум (i = 3, 4, 5), трем (i = 6, 7), четырем (i = 8, 9).

Название каждому типу линий дадим с учетом их схожести по наличию бесконечно удаленных элементов с невырожденными линиями второго порядка евклидовой плоскости.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 34 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.